Pochodna funkcji jednej zmiennej
Strona: | WIKAMP Port |
Przedmiot: | Rachunek różniczkowy funkcji jednej zmiennej |
Książka: | Pochodna funkcji jednej zmiennej |
Wydrukowane przez użytkownika: | Gość |
Data: | środa, 2 kwietnia 2025, 07:45 |
Spis treści
- Wstęp
- 1. Wprowadzenie
- 1.1 Pochodna funkcji w punkcie
- Teoria
- Przykłady
- Ćwiczenia interaktywne
- 1.2 Reguły różniczkowania
- Teoria
- Przykłady
- Ćwiczenia interaktywne, cz.1
- Ćwiczenia interaktywne, cz.2
- 1.3 Interpretacja geometryczna pochodnej w punkcie
- Teoria
- Przykłady
- Ćwiczenia interaktywne
- 1.4 Interpretacja fizyczna pochodnej w punkcie
- 1.5 Interpretacja ekonomiczna pochodnej w punkcie
- 1.6 Zadania
- 2. Twierdzenia o wartości średniej i wnioski z nich
- 3. Reguła de l'Hospitala
- 4. Monotoniczność funkcji, ekstrema lokalne i ekstrema globalne
- 5. Wypukłość, wklęsłość funkcji, punkty przegięcia
- 6. Badanie przebiegu zmienności funkcji
- 7. Pochodna w zastosowaniach praktycznych - przykłady
Wstęp
Kurs Pochodna funkcji jednej zmiennej przeznaczony jest dla studentów pierwszego roku uczelni wyższych, jak również dla zainteresowanych uczniów klas maturalnych. Znajdziemy w nim podstawowe definicje i twierdzenia związane z rachunkiem różniczkowym funkcji jednej zmiennej oraz różne przykłady zastosowania pochodnej.
Materiał zawarty w poszczególnych rozdziałach kursu podzielony jest na następujące części:
- Teoria – tu znajdziemy elementy teorii związanej z rachunkiem różniczkowym: definicje, twierdzenia oraz filmy,
- Przykłady – przykładowe zadania z rozwiązaniami ilustrowane interaktywnymi filmami,
- Ćwiczenia interaktywne – różnego typu interaktywne ćwiczenia do samodzielnego rozwiązania z możliwością sprawdzenia poprawności podanych odpowiedzi, na początku każdej strony z ćwiczeniami znajdują się również linki do wykorzystywanych definicji i twierdzeń,
- Zadania – zadania do samodzielnego rozwiązania z odpowiedziami i wskazówkami.
Wszystkie zamieszczone w kursie rysunki zostały wykonane za pomocą programu GeoGebra 6.0. W interaktywnych ćwiczeniach wykorzystano aplety GeoGebry oraz różnego typu zasoby H5P.
Kurs jako otwarty zasób edukacyjny został przygotowany w roku 2018 przez zespół wykładowców z Centrum Nauczania Matematyki i Fizyki Politechniki Łódzkiej w składzie: dr inż. Renata Długosz, dr Mariusz Doliński, dr inż. Gertruda Gwóźdź-Łukawska, dr inż. Izabela Jóźwik, dr inż. Elżbieta Kotlicka-Dwurznik, dr Joanna Kucner, dr Monika Lindner, dr inż. Agnieszka Niedziałkowska, dr Monika Potyrała, dr Joanna Rzepecka, dr inż. Małgorzata Terepeta, dr inż. Witold Walas.
1. Wprowadzenie
W tym rozdziale poznamy:
- definicję pochodnej
funkcji w punkcie (właściwej i niewłaściwej)
- definicję pochodnej jako funkcji
- definicję różniczki funkcji w punkcie
- reguły różniczkowania funkcji
- interpretację geometryczną, fizyczną i ekonomiczną pochodnej funkcji w punkcie.
Nauczymy się jak:
- badać istnienie pochodnej funkcji w punkcie korzystając z definicji
- obliczać pochodną funkcji korzystając ze wzorów na pochodną sumy, iloczynu, ilorazu funkcji, pochodną funkcji złożonej oraz pochodną funkcji odwrotnej
- wyznaczać przybliżoną wartość funkcji za pomocą różniczki
- wyznaczać równanie stycznej do wykresu funkcji w punkcie.
1.1 Pochodna funkcji w punkcie
W tym rozdziale dostępne są: Teoria, Przykłady, Ćwiczenia interaktywne.
Teoria
Załóżmy, że funkcja jest określona na pewnym otoczeniu
punktu
. Niech
będzie różnym od zera przyrostem zmiennej
takim, że
należy do tego otoczenia. Niech
będzie przyrostem wartości funkcji odpowiadającym przyrostowi
. Ilorazem różnicowym funkcji
w punkcie
dla przyrostu
nazywamy wyrażenie
Jeżeli istnieje i jest skończona granica
to nazywamy ją pochodną funkcji w punkcie
i oznaczamy
lub
. Zatem
(o ile granica ta istnieje i jest skończona).
Funkcję jednej zmiennej, która ma pochodną w punkcie nazywamy funkcją różniczkowalną w tym punkcie.
Załóżmy, że funkcja jest określona na pewnym prawostronnym otoczeniu
. Niech
będzie różnym od zera przyrostem zmiennej
takim, że
należy do tego otoczenia. Niech
będzie przyrostem funkcji odpowiadającym przyrostowi
. Jeżeli istnieje i jest skończona granica
to nazywamy ją pochodną prawostronną funkcji w punkcie
i oznaczamy
lub
. Zatem
Załóżmy, że funkcja jest określona na pewnym lewostronnym otoczeniu
. Niech
będzie różnym od zera przyrostem zmiennej
takim, że
należy do tego otoczenia. Niech
będzie przyrostem funkcji odpowiadającym przyrostowi
. Jeżeli istnieje i jest skończona granica
to nazywamy ją pochodną lewostronną funkcji w punkcie
i oznaczamy
. Zatem
Przykłady
Ćwiczenia interaktywne
Przypomnij sobie:
• definicję pochodnej funkcji w punkcie • warunek konieczny różniczkowalności funkcji w punkcie
Wskaż poprawne odpowiedzi.
Wskaż poprawne odpowiedzi.
Udziel odpowiedzi na pytania.
1.2 Reguły różniczkowania
W tym rozdziale dostępne są: Teoria, Przykłady, Ćwiczenia interaktywne.
Teoria
Przykłady
Korzystając ze wzorów bezpośrednich i praw działań na pochodnych obliczymy pochodne funkcji:
Korzystając ze wzorów bezpośrednich i praw działań na pochodnych oraz twierdzenia o pochodnej funkcji złożonej obliczymy pochodne funkcji:
Ćwiczenia interaktywne, cz.1
Przypomnij sobie:
• wzory na pochodną sumy, iloczynu i ilorazu funkcji • wzory na pochodne podstawowych funkcji elementarnych
Uzupełnij:
Uzupełnij:
Uzupełnij:
Uzupełnij:
Ćwiczenia interaktywne, cz.2
Przypomnij sobie:
• wzory na pochodną sumy, iloczynu i ilorazu funkcji • wzory na pochodne podstawowych funkcji elementarnych
Oblicz pierwszą i drugą pochodną funkcji .
Uzupełnij. Edycja tekstów w GeoGebrze
1.3 Interpretacja geometryczna pochodnej w punkcie
W tym rozdziale dostępne są: Teoria, Przykłady, Ćwiczenia interaktywne.
Teoria
Iloraz różnicowy równy jest tangensowi kąta
nachylenia prostej (siecznej) przechodzącej przez punkty
i
:
Jeżeli granica istnieje i jest skończona, to jej wartość równa jest tangensowi kąta
nachylenia stycznej do wykresu funkcji
poprowadzonej w punkcie
, zatem
Pochodna jest równa współczynnikowi kierunkowemu stycznej do wykresu funkcji
poprowadzonej w punkcie
.
Przykłady
Ćwiczenia interaktywne
Przypomnij sobie:
• definicję stycznej do wykresu funkcji w punkcie • postać równania stycznej
Wyznacz równanie stycznej do wykresu funkcji w punkcie
.
Uzupełnij. Edycja tekstów w GeoGebrze
Rozwiązanie:
Wyznacz równanie stycznej do wykresu funkcji w punkcie
.
Uzupełnij. Edycja tekstów w GeoGebrze
Rozwiązanie:
Wyznacz równanie stycznej do wykresu funkcji w punkcie
.
Uzupełnij. Edycja tekstów w GeoGebrze
Rozwiązanie:
Wyznacz równanie stycznej do wykresu funkcji w punkcie
.
Uzupełnij. Edycja tekstów w GeoGebrze
Rozwiązanie:
1.4 Interpretacja fizyczna pochodnej w punkcie
Dokładniejszą charakterystykę szybkości zmian funkcji otrzymamy wtedy, gdy w powyższym ilorazie przejdziemy do granicy. Konieczna jest jednak znajomość analitycznego wzoru rozważanej funkcji.
Potrzebę wprowadzenia pochodnej objaśnimy na przykładzie fizycznych wielkości:
Rozpatrzmy ruch po linii prostej, aby nie trzeba się było posługiwać wektorami.
Wyobraźmy sobie punkt materialny poruszający się ze zmienną prędkością po osi liczbowej
w taki sposób, że jego pozycja w chwili
określona jest jako funkcja czasu i wynosi
. W chwili
współrzędna (pozycja) tego punktu jest równa
. Przesunięcie w czasie
jest równe
. Zatem prędkość średnia jest równa
zaś prędkość chwilowa w chwili jest równa
W czasie punkt materialny
przyspieszy od chwili
do chwili
średnio o
Granicę właściwą tego ilorazu różnicowego, gdy nazywamy przyspieszeniem punktu
w chwili
Prąd elektryczny to uporządkowany ruch ładunków elektrycznych wzdłuż przewodnika. Niech oznacza ładunek przepływający przez ustalony przekrój przewodnika w czasie
. Wówczas wielkość
nazywa się średnim natężeniem prądu. Chwilowym natężeniem prądu jest wielkość
Załóżmy, że mamy pręt o długości taki, że masa części tego pręta liczona od początku do punktu
dana jest funkcją
. Wtedy masa zawarta w przedziale
wynosi:
Średnia gęstość masy na tym przedziale jest równa:
1.5 Interpretacja ekonomiczna pochodnej w punkcie
Wielkość przeciętna określa, w jakim stopniu funkcja jest czuła na przyrost zmiennej
. Jednakże ocena reakcji funkcji na podstawie wzoru (1) daje pogląd jedynie na przeciętną prędkość zmiany wartości tej funkcji w przedziale
. Zmiany te nie muszą zachodzić tak równomiernie, jak wskazuje wartość średnia. Dokładniejszą charakterystykę szybkości zmian funkcji otrzymamy wtedy, gdy w ilorazie (1) przejdziemy do granicy. Konieczna jest jednak znajomość analitycznego wzoru rozważanej funkcji.
Zauważmy, że dla funkcji jednej zmiennej , dla małych przyrostów
mamy:
Niech , czyli argument zwiększa się o jednostkę w stosunku do poziomu wyjściowego. Wtedy powyższa zależność ma postać:
czyli zwiększenie argumentu o jednostkę powoduje wzrost funkcji o . Zatem wielkość krańcowa funkcji jest w przybliżeniu równa przyrostowi funkcji przy wzroście argumentu funkcji o jednostkę. Wielkość krańcowa jest miarą szybkości zmian wartości funkcji w punkcie
.
Przykłady
1. Funkcja kosztu
Koszt wytworzenia dowolnej wielkości produkcji zależy od wielkości nakładów poszczególnych czynników produkcji oraz ich cen. Jest on więc funkcją kilku zmiennych. Jeżeli jednak nasze rozważania ograniczymy do krótkiego okresu, a więc czasu, w którym przynajmniej jeden czynnik produkcji jest stały i koszt możemy przedstawić jako funkcję jednej zmiennej: wielkości produkcji.
Koszty całkowite są sumą kosztów stałych i kosztów zmiennych.
Niech będzie funkcją kosztu całkowitego zależną od wielkości produkcji
, gdzie
. Wtedy funkcję
nazywamy funkcją kosztów przeciętnych, a jej wartość kosztem przeciętnym (jednostkowym) wytworzenia jednostki produktu przy poziomie produkcji
.
Przy podejmowaniu decyzji dotyczących wielkości produkcji (i jej wpływu na koszty) bardzo ważną wskazówką jest kształtowanie się kosztów jednostkowych przy różnych rozmiarach produkcji. W tego typu analizach przydatne jest wykorzystanie kosztów krańcowych.
Koszt krańcowy to koszt wytworzenia dodatkowej jednostki produktu (przy założeniu, że produkcja zmienia się skokowo), czyli przyrost kosztów spowodowany zwiększeniem produkcji o jednostkę. Tak więc koszty krańcowe informują o tym, jak wzrosną koszty całkowite przy wzroście produkcji o jedną jednostkę Często jednak zakładamy ciągłą, a nie skokową zmianę wielkości produkcji.
Przy założeniu, że funkcja jest różniczkowalna oraz
,
,
, gdzie
jest dodatnim przyrostem argumentu funkcji (przyrostem produkcji), można zbudować iloraz różnicowy (przyrost przeciętny) tej funkcji:
Wyraża on przeciętny koszt wytworzenia dodatkowych jednostek produktu poczynając od poziomu
. Granicą tego ilorazu jest pochodna funkcji
w punkcie
Stąd
Natomiast funkcja jest funkcją kosztu krańcowego.
2. Funkcja produkcji
Funkcja produkcji określa relacje między wielkością produkcji a liczbą zaangażowanych czynników produkcji. Funkcja produkcji określa, jaką maksymalną wielkość produkcji może osiągnąć przedsiębiorstwo w wyniku użycia posiadanych zasobów, przy danej technice wytwarzania.
Funkcja produkcji
gdzie: ‒ całkowita wielkość produkcji;
‒ ilość użytych jednostek kapitału;
‒ ilość użytych jednostek pracy.
Jak widać (po uproszczeniu) produkcja zależy od zaangażowanych w nią kapitału i pracy. Krótki okres (SR) to taki czas (stan), w którym ilość jednego lub więcej czynników produkcji jest stała (przynajmniej jeden czynnik produkcji jest stały, pozostałe mogą być zmienne).
- Produkt całkowity T(total) P(product) to łączna wielkość produkcji przedsiębiorstwa wytwarzana przy zatrudnianiu kolejnych jednostek zmiennego czynnika wytwórczego.
-
Produkt przeciętny A(average)P(product) to średnia wielkość produkcji całkowitej
przypadająca na jednostkę zmiennego czynnika wytwórczego
lub
.
- Produkt marginalny (krańcowy) M(marginal) P(product) to przyrost produkcji (
) wynikający z zatrudnienia dodatkowego pracownika (
) lub dodatkowej jednostki zmiennego czynnika produkcji (
).
Prawo malejących dochodów głosi, że jeżeli następuje wzrost nakładów jednego czynnika produkcji (przy założeniu stałości pozostałych czynników), to począwszy od pewnego poziomu, przyrosty produkcji zaczynają maleć. Formuła liczenia:
3. Funkcja konsumpcji
Dochody gospodarstw domowych mają być przeznaczone na wydatki konsumpcyjne lub na oszczędności . Przy danym poziomie dochodów im większe wydatki konsumpcyjne, tym mniejsze oszczędności i odwrotnie, im większe oszczędności, tym mniejsze wydatki konsumpcyjne. Wynika z tego, że decyzje gospodarstw domowych w sprawie wydatków konsumpcyjnych są zarazem decyzjami w sprawie oszczędzania. Funkcja konsumpcji pokazuje poziom zamierzonych łącznych wydatków konsumpcyjnych przy różnych poziomach dochodu. Zależność (liniową) między wydatkami konsumpcyjnymi a dochodem charakteryzuje skłonność do konsumpcji.
- Przeciętna skłonność do konsumpcji to stosunek wydatków konsumpcyjnych do dochodu. Wielkość ta informuje, jaka części dochodu przeznaczona jest na konsumpcję:
.
- Krańcowa skłonność do konsumpcji to stosunek przyrostu wydatków konsumpcyjnych do przyrostu dochodu. Wielkość ta informuje jaka część przyrostu dochodu przeznaczona jest na wydatki konsumpcyjne:
W polityce gospodarczej znajomość krańcowej skłonności do konsumpcji ma duże znaczenie. Pozwala bowiem odpowiedzieć, z dużą dozą prawdopodobieństwa, na co ludzie przeznaczą dodatkowe dochody i w jakiej proporcji wydadzą je na dobra konsumpcyjne, a ile zaoszczędzą.
4. Funkcja użyteczności
Funkcja użyteczności to funkcja, której wartościami są wartości użyteczności (satysfakcji, komfortu psychicznego). Można mówić o użyteczności różnych zjawisk (koszyków towarów). Użyteczność pieniądza (bogactwa) jest np. funkcją, która wartości pieniężnej przyporządkowuje użyteczność dla otrzymującego tę wartość. Funkcja użyteczności jest pojęciem psychologicznym, co oznacza, że każdy ma swoją funkcję użyteczności. Jednak pewne ogólne własności są wspólne. Mianowicie, ponieważ każdy woli posiadać więcej niż mniej, więc funkcja użyteczności jest rosnąca. Ponadto krańcowa użyteczność jest malejąca, tzn. każdy dodatkowy procent wzrostu bogactwa powoduje coraz mniejszy przyrost użyteczności. Przykładowo, ktoś kto nic nie ma, podejmie wysiłek w celu zarobienia zł., bo ta kwota zapewni mu np. posiłek. Dla osoby bogatej ta kwota będzie prawie bez znaczenia.
Funkcja użyteczności jest funkcją spełniającą warunki:
‒ postulat niedosytu oznacza, że wzrost ilości towaru w koszyku zwiększa użyteczności koszyka,
‒ krańcowa użyteczność każdego towaru maleje, w miarę jak wzrasta jego spożycie.

2. Twierdzenia o wartości średniej i wnioski z nich
W tym rozdziale poznamy:
- twierdzenie
Rolle'a i twierdzenie
Lagrange'a
- wnioski z twierdzenia Lagrange'a dotyczące monotoniczności funkcji
- twierdzenie
Taylora.
Nauczymy się jak
- wykorzystać rachunek różniczkowy w dowodzeniu tożsamości (nie tylko trygonometrycznych)
- wyznaczać wielomiany Taylora i wielomiany Maclaurina dla wybranych funkcji.
2.1 Twierdzenie Rolle'a i twierdzenie Lagrange'a
W tym rozdziale dostępne są: Teoria, Przykłady, Ćwiczenia interaktywne.
Teoria
Iloraz równy jest tangensowi kąta
nachylenia prostej (siecznej) przechodzącej przez punkty
i
.
Z twierdzenie Lagrange'a wnioskujemy, że na wykresie funkcji znajduje się przynajmniej jeden taki punkt (o odciętej
), w którym styczna do wykresu funkcji
jest równoległa do prostej przechodzącej przez punkty
i
.
Wnioski z twierdzenia Lagrange'a
Implikacje odwrotne do podanych we wniosku 3 i wniosku 4 nie zachodzą. W szczególności nie jest prawdą, że jeżeli jest funkcją rosnącą na przedziale
, to
dla każdego
. Przykładem jest funkcja
, która jest ściśle rosnąca, ale jej pochodna
zeruje się w punkcie
.
Wnioski 3 i 4 nie zachodzą w przypadku, gdy przedział zastąpimy sumą przedziałów.
Przykłady
Rozważmy funkcję . Zauważmy, że jej dziedziną jest zbiór
, zatem funkcja
jest poprawnie określona na przedziale
. Obliczmy pochodną funkcji
:
Obliczamy pierwszą i drugą pochodną funkcji :
Zatem na każdym przedziale zawartym w dziedzinie tej funkcji, zatem w szczególności na
. Na mocy wniosku 1 otrzymujemy, że
jest stała na tym przedziale, czyli istnieje stała
taka, że dla każdego
zachodzi równość
.
Obliczymy wartość funkcji dla argumentu
.
Ćwiczenia interaktywne
2.2 Twierdzenie Taylora
W tym rozdziale dostępne są: Teoria, Przykłady, Ćwiczenia interaktywne.
Teoria
Powyższy wzór nazywany jest wzorem Taylora, zaś wyrażenie resztą Taylora w postaci Lagrange'a. Wielomian postaci
nazywamy wielomianem Taylora stopnia w punkcie
.
Jeżeli , to wzór Taylora ma postać
i nazywany jest wzorem Maclaurina (punkt leży pomiędzy
i
). Pomijając w powyższym wzorze resztę Taylora
, otrzymujemy przybliżenie (aproksymację) funkcji
za pomocą wielomianu Maclaurina:
przy czym błąd bezwzględny tego przybliżenia wynosi . Jeżeli wszystkie pochodne funkcji
są wspólnie ograniczone, to
. Wówczas możemy obliczyć wartość funkcji
z dowolną dokładnością.
Przybliżenie wybranych funkcji za pomocą wzoru Maclaurina:
Przykłady
Pochodne funkcji , począwszy od rzędu pierwszego do piątego, są odpowiednio równe
- Wyznaczamy wartość funkcji
i jej pochodnych dla
:
Zatem wielomianem Taylora stopnia piątego w punkcie
dla funkcji
jest
Poniżej przedstawiamy wykres funkcji
i jej wielomianu Taylora
w punkcie
.
- Wartości
i jej pochodnych dla argumentów
i
są sobie równe. Stąd wielomianem Taylora stopnia piątego w punkcie
dla funkcji
jest
Poniżej znajduje się wykres funkcji
i jej wielomianu Taylora
w punkcie
.
Pochodne funkcji , począwszy od rzędu pierwszego do piątego, są odpowiednio równe
- Wyznaczamy wartość funkcji
i jej pochodnych dla
:
Zatem wielomianem Taylora stopnia czwartego w punkcie
dla funkcji
jest
Poniżej przedstawiamy wykres funkcji
i jej wielomianu Taylora
w punkcie
.
- Wyznaczamy wartość funkcji
i jej pochodnych dla
:
Wielomianem Taylora stopnia piątego w punkcie
dla funkcji
jest więc
Poniżej przedstawiamy wykres funkcji
i jej wielomianu Taylora
w punkcie
.
Ćwiczenia interaktywne
Przypomnij sobie:
• twierdzenie Taylora • przybliżenia wybranych funkcji za pomocą wielomianów Maclaurina
Przyporządkuj funkcji jej przybliżenie za pomocą wielomianu Maclaurina.
Wyznacz wielomian Maclaurina stopnia
dla funkcji
.
Uzupełnij. Edycja tekstów w GeoGebrze
Wyznacz wielomian Taylora stopnia
dla funkcji
w punkcie
.
Uzupełnij. Edycja tekstów w GeoGebrze
Wyznacz wielomian Taylora stopnia
dla funkcji
w punkcie
.
Uzupełnij. Edycja tekstów w GeoGebrze
Przykłady
Obliczymy granice funkcji stosując regułę de l'Hospitala:
- Zaczynamy od określenia symbolu granicy, aby zdecydować, czy można zastosować regułę de l'Hospitala. Następnie badamy, czy istnieje granica ilorazu pochodnych: Na mocy reguły de l'Hospitala otrzymujemy odpowiedź
- Zwykle stosując regułę de l'Hospitala stosujemy uproszczony zapis przedstawiony poniżej.
- Określamy symbol badanej granicy: Symbol granicy jest oznaczony, a zatem w tym przypadku nie można wykorzystać reguły de l'Hospitala. Aby obliczyć granicę należy zastosować odpowiednie twierdzenia arytmetyki granic funkcji: Na koniec zauważmy, że w tym przypadku a zatem granica ilorazu pochodnych różni się od badanej granicy. Przykład ten pokazuje, iż stosowanie reguły de l'Hospitala bez sprawdzenia założeń tego twierdzenia może prowadzić do błędnej odpowiedzi.
Obliczymy granice funkcji stosując regułę de l'Hospitala:
- Obliczymy podaną granicę funkcji stosując regułę de l'Hospitala:
- W przypadku tej granicy regułę de l'Hospitala zastosujemy dwukrotnie:
- Obliczymy podaną granicę funkcji stosując regułę de l'Hospitala i wykorzystując fakt, że
.
- Podobnie jak w poprzednich przykładach zaczynamy od określenia symbolu badanej granicy
przy czym
na mocy twierdzenia o dwóch funkcjach. W tym przypadku nie możemy wykorzystać reguły de l'Hospitala, gdyż zaś taka granica nie istnieje. Nie oznacza to jednak, że nie istnieje badana granica – trzeba tylko policzyć ją innym sposobem. Ponieważ oraz
, więc na mocy twierdzenia o trzech funkcjach
. Stąd
- W tym przypadku a zatem stosowanie reguły de l'Hospitala nie jest efektywne. Granicę funkcji możemy jednak obliczyć w inny sposób:
- Zaczynamy od określenia symbolu badanej granicy funkcji:
W tym przypadku, aby zastosować regułę de l'Hospitala, wyrażenie
zapiszemy w postaci ilorazu
. Dwukrotnie stosując regułę de l'Hospitala otrzymujemy:
- Podobnie jak poprzednim przykładzie określimy najpierw symbol badanej granicy funkcji:
Następnie przekształcimy funkcję, której granicę obliczamy, w taki sposób by można było zastosować regułę de l'Hospitala. A zatem
- Ustalimy najpierw symbol badanej granicy funkcji:
Przekształcimy funkcję stosując tożsamość:
. A zatem
Korzystając z wyniku otrzymanego w podpunkcie (b) mamy
![\left[\infty-\infty\right] \left[\infty-\infty\right]](https://port.edu.p.lodz.pl/filter/tex/pix.php/0a4382dc250cc70672eb67f35df398fa.png)
![\left[ \frac{\infty}{\infty} \right] \left[ \frac{\infty}{\infty} \right]](https://port.edu.p.lodz.pl/filter/tex/pix.php/de5999aa6f0b4ca90cab98e7c03f31a2.png)
![\left[ \frac{0}{0} \right] \left[ \frac{0}{0} \right]](https://port.edu.p.lodz.pl/filter/tex/pix.php/8e3f348a630785530b38a36fe9e9c071.png)
- Określamy symbol granicy i przekształcamy funkcję w następujący sposób:
Dalej pomocniczo obliczymy granicę
dwukrotnie stosując regułę de l'Hospitala: Ostatecznie otrzymujemy
- Określamy symbol granicy: W tym przypadku, aby można było wykorzystać regułę de l'Hospitala, wystarczy sprowadzić ułamki do wspólnego mianownika. A zatem
- Stosujemy regułę de l'Hospitala po wykonaniu odpowiednich przekształceń:
Ćwiczenia interaktywne
Przypomnij sobie:
W przypadku których z poniższych symboli granic funkcji możemy bezpośrednio zastosować regułę de l'Hospitala?
Określ, czy podany symbol granicy jest oznaczony czy nieoznaczony, oraz czy możemy w takiej sytuacji bezpośrednio zastosować regułę de l'Hospitala:
Przeciągnij poprawne odpowiedzi w odpowiednie pola.
Oblicz podane granice.
Uzupełnij puste pola. Edycja tekstów w GeoGebrze
Oblicz podane granice. Czy i ile razy stosowałeś regułę de l'Hospitala?
Przeciągnij i upuść poprawne odpowiedzi.
Oblicz podane granice. Czy i ile razy stosowałeś regułę de l'Hospitala?
Przeciągnij i upuść poprawne odpowiedzi.
Oblicz podaną granicę.
Uzupełnij puste pola. Edycja tekstów w GeoGebrze
Oblicz podane granice stosując regułę de l'Hospitala po wykonaniu odpowiednich przekształceń.
Uzupełnij puste pola. Edycja tekstów w GeoGebrze
Zadania
4.1 Badanie monotoniczności funkcji
W tym rozdziale dostępne są: Teoria, Przykłady, Ćwiczenia interaktywne.
Teoria
- Jeżeli
dla każdego
, to funkcja
jest stała na przedziale
.
- Jeżeli
dla każdego
, to funkcja
jest rosnąca na przedziale
.
- Jeżeli
dla każdego
, to funkcja
jest malejąca na przedziale
.
- Jeżeli
dla każdego
, to funkcja
jest niemalejąca na przedziale
.
- Jeżeli
dla każdego
, to funkcja
jest nierosnąca na przedziale
.
Zwróćmy uwagę, że w powyższych twierdzeniach dotyczących związku znaku pochodnej funkcji z jej monotonicznością zakładamy, że funkcja jest określona na przedziale otwartym. Twierdzenia pozostają prawdziwe również w przypadku przedziałów domkniętych, jednostronnie domkniętych, czy też nieograniczonych. Natomiast nie można ich stosować np. dla funkcji określonej na zbiorze będącym sumą rozłącznych przedziałów.
Rozważmy funkcję ,
. Pochodna tej funkcji jest równa
dla
. Zatem
dla każdego
. Funkcja jest więc malejąca na przedziale
i funkcja jest malejąca na przedziale
. Natomiast nie jest prawdą, że funkcja
jest malejąca na zbiorze
.
Przykłady
Aby wyznaczyć dziedzinę funkcji należy rozwiązać nierówność
. Ponieważ
zatem . Obliczamy pochodną funkcji
:
Zauważamy, że pochodna funkcji jest dodatnia w całej dziedzinie. Nie oznacza to jednak, że funkcja jest rosnąca w całej dziedzinie, gdyż dziedzina nie jest przedziałem a sumą przedziałów. A zatem stwierdzamy, że funkcja jest rosnąca na przedziale
i na przedziale
.
Dziedziną funkcji jest zbiór . Obliczamy pochodną funkcji:
Aby wyznaczyć przedziały monotoniczności funkcji badamy, gdzie pochodna funkcji przyjmuje wartości dodatnie, a gdzie ujemne. Ponieważ
dla każdego
więc
Zatem badana funkcja jest rosnąca na przedziale oraz malejąca na przedziale
.
Z uwagi 2 wynika, że funkcja jest również monotoniczna na przedziałach domkniętych, tzn. rosnąca na przedziale
oraz malejąca na przedziale
– są to maksymalne przedziały monotoniczności funkcji
.
Ćwiczenia interaktywne
Przypomnij sobie:
• warunki wystarczające monotoniczności funkcji
Wyznacz przedziały monotoniczności funkcji określonej wzorem .
Uzupełnij. Edycja tekstów w GeoGebrze
Rozwiązanie:
Wyznacz przedziały monotoniczności funkcji określonej wzorem .
Uzupełnij. Edycja tekstów w GeoGebrze
Rozwiązanie:
4.2 Ekstrema lokalne funkcji
W tym rozdziale dostępne są: Teoria, Przykłady, Ćwiczenia interaktywne.
Teoria
Mówimy, że funkcja ma w punkcie
maksimum lokalne, jeżeli istnieje zawarte w dziedzinie funkcji
otoczenie
punktu
takie, że dla wszystkich
Mówimy, że funkcja ma w punkcie
minimum lokalne, jeżeli istnieje zawarte w dziedzinie funkcji
otoczenie
punktu
takie, że dla wszystkich
Jeżeli dla każdego zachodzi nierówność
, to mówimy o maksimum (minimum) lokalnym właściwym.
Jeżeli funkcja jest różniczkowalna w punkcie
i ma w tym punkcie ekstremum lokalne, to
Funkcja może mieć ekstremum lokalne jedynie w punkcie
, takim że
(gdy jest różniczkowalna w
) lub w punkcie
, w którym funkcja
nie ma pochodnej.
Punkty, w których pochodna funkcji zeruje się nazywamy punktami stacjonarnymi tej funkcji.
Jeżeli funkcja jest ciągła na pewnym otoczeniu
i różniczkowalna na sąsiedztwie
punktu
oraz
lub
to funkcja ma w punkcie
ekstremum
lokalne właściwe. Jest to maksimum lokalne w przypadku 1 oraz minimum lokalne, gdy zachodzi warunek 2.
Jeżeli funkcja jest dwukrotnie różniczkowalna na pewnym otoczeniu punktu
oraz
to funkcja ma w punkcie
ekstremum
lokalne właściwe, przy czym jest to maksimum lokalne, jeżeli
oraz minimum lokalne, gdy
.
Przykłady
Funkcja jest wielomianem, zatem dziedziną funkcji jest zbiór
. Obliczamy pochodną funkcji
:
Ponieważ dla
, więc
nie ma punktów stacjonarnych i w konsekwencji nie ma też ekstremów lokalnych (stosujemy wniosek z warunku koniecznego istnienia ekstremum lokalnego).
Obliczamy pochodną funkcji:
Wyznaczamy punkty stacjonarne funkcji rozwiązując równanie:
Wyznaczymy ekstrema lokalne funkcji określonej wzorem
Zadanie rozpoczynamy od określenia dziedziny funkcji (w tym przypadku ) i zbadania, czy funkcja posiada punkty stacjonarne. Obliczamy pochodną funkcji
:
Rozwiązujemy odpowiednie równanie:
Oba rozwiązania należą do dziedziny funkcji, a zatem ma dwa punkty stacjonarne. Dalej rozstrzygamy o istnieniu ekstremów lokalnych w tych punktach stosując jedną z dwóch metod podanych poniżej.
1 sposób (wykorzystujemy I warunek wystarczający istnienia ekstremum lokalnego)
Badamy, gdzie pochodna funkcji przyjmuje wartości dodatnie, a gdzie ujemne:
![]() |
Stąd wynika, że dla
(a zatem także dla pewnego lewostronnego sąsiedztwa
) oraz
dla
(przedział ten można potraktować jako prawostronne sąsiedztwo
). To oznacza, że
ma w punkcie
maksimum lokalne
Pododnie
dla
oraz
dla
, czyli
ma w punkcie
minimum lokalne.
Metodę tę stosujemy najczęściej wtedy, gdy jednocześnie mamy wyznaczyć przedziały monotoniczności funkcji .
2 sposób (wykorzystujemy II warunek wystarczający istnienia ekstremum lokalnego)
Obliczamy drugą pochodną funkcji :
Ponieważ , a zatem
ma w punkcie
maksimum lokalne. Ponadto
, co oznacza, że
ma w punkcie
minimum lokalne.
Ostatecznie stwierdzamy, że funkcja posiada dwa ekstrema lokalne: maksimum lokalne w punkcie
o wartości
oraz minimum lokalne w punkcie
o wartości
.
Wyznaczymy ekstrema lokalne funkcji określonej wzorem
Funkcja jest przykładem funkcji, dla której szukając ekstremów lokalnych wygodniej jest stosować II warunek wystarczający.
Dziedziną funkcji jest zbiór
. Obliczamy pochodną funkcji
i zapisujemy ją w postaci iloczynowej:
Wyznaczamy punkty stacjonarne funkcji :
Dalej obliczamy drugą pochodną funkcji :
Ponieważ
zatem ma w punkcie
maksimum lokalne równe
. Z kolei
a zatem ma w punkcie
minimum lokalne równe
.
Wyznaczymy przedziały monotoniczności i ekstrema lokalne funkcji określonej wzorem .
Wyznaczymy przedziały monotoniczności i ekstrema lokalne funkcji określonej wzorem .
Na początek zauważmy, że . Obliczamy pochodną funkcji i zapisujemy ją w postaci iloczynowej:
Wyznaczamy punkty stacjonarne funkcji :
To oznacza, że funkcja ma dwa punkty stacjonarne. Aby sprawdzić, czy
ma w nich ekstrema lokalne, zastosujemy I warunek wystarczający istnienia ekstremum lokalnego. W tym celu badamy, gdzie pochodna funkcji
przyjmuje wartości dodatnie, a gdzie ujemne:
Stąd wynika, że istnieją sąsiedztwa i
takie, że
dla
oraz
dla
czyli
ma w
minimum lokalne. Podobnie uzasadniamy, że w
istnieje maksimum lokalne.
Uzyskane wyniki i odpowiedź (uwzględniając również przedziały monotoniczności badanej funkcji) najczęściej zapisujemy w postaci tabeli.
Wyznaczymy przedziały monotoniczności i ekstrema lokalne funkcji określonej wzorem .
Na początek zauważmy, że . Obliczamy pochodną funkcji
:
Wyznaczamy punkty stacjonarne funkcji :
Następnie badamy, gdzie pochodna funkcji przyjmuje wartości dodatnie, a gdzie ujemne. Ponieważ
dla każdego
oraz
więc
Analogicznie
Uzyskane wyniki zapisujemy w tabeli:








Wyznaczymy przedziały monotoniczności i ekstrema lokalne funkcji określonej wzorem .
Na początek zauważmy, że . Obliczamy pochodną funkcji
:

Jeśli , to mianownik pierwszej pochodnej jest dodatni, a zatem
Analogicznie
Uzyskane wyniki zapisujemy w tabeli:
A zatem badana funkcja jest rosnąca na przedziae , malejąca na przedziale
oraz posiada maksimum lokalne w
równe
.
Wyznaczymy przedziały monotoniczności i ekstrema lokalne funkcji określonej wzorem , a następnie naszkicujemy wykres funkcji
wiedząc dodatkowo, że
,
,
oraz
.
. Obliczamy pochodną funkcji
:
Wyznaczamy punkty stacjonarne funkcji :
Analogicznie
Uzyskane wyniki zapisujemy w tabeli:
Badana funkcja jest zatem rosnąca na przedziale , malejąca na przedziałach
i
oraz posiada w
minimum lokalne równe
. Dodatkowo z informacji podanych w treści zadania wnioskujemy, że prosta o równaniu
jest asymptotą pionową wykresu funkcji
. Na tej podstawie szkicujemy wykres funkcji
:
Ćwiczenia interaktywne, cz.1
Przypomnij sobie:
• definicje ekstremów lokalnych • warunek konieczny istnienia ekstremum lokalnego • I warunek wystarczający istnienia ekstremum lokalnego • II warunek wystarczający istnienia ekstremum lokalnego
Przyporządkuj podane funkcje do odpowiedniej grupy.
Przeciągnij poprawne odpowiedzi w odpowiednie pola.
Ćwiczenia interaktywne, cz.2
Przypomnij sobie:
• definicje ekstremów lokalnych • warunek konieczny istnienia ekstremum lokalnego • I warunek wystarczający istnienia ekstremum lokalnego • II warunek wystarczający istnienia ekstremum lokalnego
Wyznacz ekstrema lokalne funkcji określonej wzorem
.
Uzupełnij. Edycja tekstów w GeoGebrze
Rozwiązanie:
Wyznacz ekstrema lokalne funkcji określonej wzorem
.
Uzupełnij. Edycja tekstów w GeoGebrze
Rozwiązanie:
Wyznacz ekstrema lokalne funkcji określonej wzorem
.
Uzupełnij. Edycja tekstów w GeoGebrze
Rozwiązanie:
Wyznacz przedziały monotoniczności i ekstrema lokalne funkcji określonej wzorem
.
Uzupełnij. Edycja tekstów w GeoGebrze
Rozwiązanie:
4.3 Ekstrema globalne funkcji
W tym rozdziale dostępne są: Teoria, Przykłady, Ćwiczenia interaktywne.
Teoria
Z twierdzenia Weierstrassa wynika, iż każda funkcja ciągła na przedziale domkniętym posiada w tym przedziale ekstrema globalne. Ekstremum globalne może być osiągnięte wewnątrz tego przedziału (jest to wtedy jednocześnie ekstremum lokalne) lub w punkcie brzegowym przedziału. Stąd wynika
Metoda wyznaczania ekstremów globalnych funkcji ciągłej na przedziale domkniętym
:
- w przedziale
znajdujemy punkty
,
,
, w których funkcja może mieć ekstrema lokalne, czyli punkty będące rozwiązaniami równania
lub punkty, w których pochodna nie istnieje,
- obliczamy wartości funkcji w punktach:
,
,
,
,
, czyli
- największa z liczb
,
,
,
,
jest maksimum globalnym, a najmniejsza ‒ minimum globalnym funkcji
na przedziale domkniętym
.
Przykłady
Wyznaczymy najmniejszą i największą wartość (ekstrema globalne) funkcji na przedziale
.
Wyznaczymy najpierw punkty wewnątrz przedziału, w których funkcja może mieć ekstrema lokalne.
Funkcja jest różniczkowalna w każdym punkcie przedziału
, zatem punkt
jest jedynym punktem w tym przedziale, w którym funkcja może mieć ekstremum lokalne.
Obliczymy teraz wartości funkcji w punktach, w których może osiągnąć ekstrema globalne, czyli punkcie
oraz w punktach będących krańcami podanego przedziału:
Zatem w przedziale największą wartość (maksimum globalne) dana funkcja przyjmuje dla
i wartość ta jest równa
, najmniejszą wartość (minimum globalne) przyjmuje dla
i wartość jest równa
.
Możemy też zapisać:
Wyznaczymy najmniejszą i największą wartość (ekstrema globalne) funkcji na przedziale
.
Wyznaczymy najmniejszą i największą wartość (ekstrema globalne) funkcji na przedziale
.
Wyznaczymy najpierw punkty wewnątrz przedziału, w których funkcja może mieć ekstrema lokalne.
Funkcja jest różniczkowalna w każdym punkcie przedziału
, zatem jedynymi punktami należącymi do tego przedziału, w których funkcja może mieć ekstrema lokalne są:
,
.
Obliczymy teraz wartości funkcji w wyznaczonych wyżej punktach oraz w punktach, które są krańcami podanego przedziału.
Zatem w przedziale największą wartość (maksimum globalne) dana funkcja przyjmuje dla
,
i wartość ta jest równa
, najmniejszą wartość (minimum globalne) przyjmuje dla
i wartość ta jest równa
.
Wyznaczymy najmniejszą i największą wartość (ekstrema globalne) funkcji na przedziale
.
Wyznaczymy najpierw punkty wewnątrz przedziału, w których funkcja może mieć ekstrema lokalne.
Funkcja jest różniczkowalna w każdym punkcie przedziału
, zatem punkty
,
są jedynymi w tym przedziale, w których funkcja może mieć ekstrema lokalne.
Obliczymy teraz wartości funkcji w wyznaczonych wyżej punktach oraz w punktach, które są krańcami podanego przedziału.
Zatem w przedziale największą wartość (maksimum globalne) dana funkcja przyjmuje dla
i wartość ta jest równa
, najmniejszą wartość (minimum globalne) przyjmuje dla
i wartość ta jest równa
.
Wyznaczymy najmniejszą i największą wartość (ekstrema globalne) funkcji na przedziale
.
Wyznaczymy najpierw punkty wewnątrz przedziału, w których funkcja może mieć ekstrema lokalne.
Funkcja jest różniczkowalna w każdym punkcie przedziału
, zatem punkty
,
są jedynymi w tym przedziale, w których funkcja może mieć ekstrema lokalne.
Obliczymy teraz wartości funkcji w wyznaczonych wyżej punktach oraz w punktach, które są krańcami podanego przedziału.
Zatem w przedziale największą wartość (maksimum globalne) dana funkcja przyjmuje dla
i wartość ta jest równa
, najmniejszą wartość (minimum globalne) przyjmuje w punkcie
i wartość ta jest równa
.
Wyznaczymy najmniejszą i największą wartość (ekstrema globalne) funkcji na przedziale
.
Wyznaczymy najpierw punkty wewnątrz przedziału, w których funkcja może mieć ekstrema lokalne.
Ponadto funkcja nie jest różniczkowalna w
(można pokazać, że
oraz
). To oznacza, że
może mieć ekstrema lokalne jedynie w punktach
i
.
Obliczymy teraz wartości funkcji w wyznaczonych wyżej punktach oraz w punktach, które są krańcami podanego przedziału.
Zatem w przedziale największą wartość (maksimum globalne) dana funkcja przyjmuje dla
i wartość ta jest równa
, najmniejszą wartość (minimum globalne) przyjmuje dla
i wartość ta jest równa
.
Ćwiczenia interaktywne, cz.1
Przypomnij sobie:
• definicje ekstremów globalnych • metodę wyznaczania ekstremów globalnych
Przyporządkuj podane funkcje do odpowiedniej grupy.
Przeciągnij poprawne odpowiedzi w odpowiednie pola.
Ćwiczenia interaktywne, cz.2
Przypomnij sobie:
• definicje ekstremów globalnych • metodę wyznaczania ekstremów globalnych
Wyznacz ekstrema globalne funkcji określonej wzorem na przedziale
.
Uzupełnij. Edycja tekstów w GeoGebrze
Rozwiązanie:
Wyznacz ekstrema globalne funkcji określonej wzorem na przedziale
.
Uzupełnij. Edycja tekstów w GeoGebrze
Rozwiązanie:
Wyznacz ekstrema globalne funkcji określonej wzorem na przedziale
.
Uzupełnij. Edycja tekstów w GeoGebrze
Rozwiązanie:
Wyznacz ekstrema globalne funkcji określonej wzorem na przedziale
.
Uzupełnij. Edycja tekstów w GeoGebrze
Rozwiązanie:
Wyznacz ekstrema globalne funkcji określonej wzorem na przedziale
.
Uzupełnij. Edycja tekstów w GeoGebrze
Rozwiązanie:
4.4 Zadania
Wyznacz ekstrema lokalne i przedziały monotoniczności funkcji określonej wzorem:
- Dziedziną funkcji jest zbiór
. Funkcja jest rosnąca na każdym z przedziałów:
,
, malejąca na przedziale
, w punkcie
funkcja ma maksimum lokalne,
, w punkcie
funkcja ma minimum lokalne,
- Dziedziną funkcji jest zbiór
. Funkcja jest rosnąca na każdym z przedziałów:
,
, malejąca na każdym z przedziałów:
,
, w punkcie
funkcja ma maksimum lokalne,
.
- Dziedziną funkcji jest zbiór
. Funkcja jest malejąca na każdym z przedziałów:
,
, rosnąca na przedziale
, w punkcie
funkcja ma minimum lokalne,
, w punkcie
funkcja ma maksimum lokalne,
.
- Dziedziną funkcji jest zbiór
. Funkcja jest rosnąca na każdym z przedziałów:
,
, malejąca na przedziale
, w punkcie
funkcja ma maksimum lokalne,
, w punkcie
funkcja ma minimum lokalne,
.
Wyznacz ekstrema lokalne i przedziały monotoniczności funkcji określonej wzorem:
- Dziedziną funkcji jest zbiór
. Funkcja jest rosnąca w całej swojej dziedzinie.
- Funkcja jest rosnąca na każdym z przedziałów:
,
, malejąca na przedziale
, w punkcie
funkcja ma minimum lokalne, o wartości
, w punkcie
funkcja ma maksimum lokalne,
.
- Dziedziną funkcji jest zbiór
. Funkcja jest rosnąca na każdym z przedziałów:
,
, malejąca na przedziale
, w punkcie
funkcja ma minimum lokalne,
.
- Dziedziną funkcji jest zbiór
. Funkcja jest rosnąca na każdym z przedziałów:
,
, malejąca na przedziale
, w punkcie j
funkcja ma maksimum lokalne,
.
Wyznacz ekstrema lokalne i przedziały monotoniczności funkcji określonej wzorem:
- Dziedziną funkcji jest zbiór
. Funkcja jest rosnąca na przedziale
, malejąca na przedziale
, w punkcie
funkcja ma maksimum lokalne,
.
- Dziedziną funkcji jest zbiór
. Funkcja jest rosnąca na przedziale
, malejąca na przedziale
, w punkcie
funkcja ma maksimum lokalne,
.
- Dziedziną funkcji jest zbiór
. Funkcja jest rosnąca na każdym z przedziałów:
,
, malejąca na przedziale
, w punkcie
funkcja ma maksimum lokalne,
, w punkcie
funkcja ma minimum lokalne,
.
Wyznacz asymptoty, ekstrema lokalne, przedziały monotoniczności oraz naszkicuj wykres funkcji określonej wzorem:
- Dziedziną funkcji jest zbiór
. Funkcja ma asymptotę pionową obustronną
, asymptotę ukośną
w
i w
. Funkcja jest malejąca na każdym z przedziałów:
,
, rosnąca na każdym z przedziałów:
,
, w punkcie
funkcja ma maksimum lokalne,
, w punkcie
funkcja ma minimum lokalne,
.
- Dziedziną funkcji jest zbiór
. Funkcja ma asymptotę poziomą
w
. Funkcja jest rosnąca na przedziale
, malejąca na przedziale
, w punkcie
funkcja ma maksimum lokalne,
.
- Dziedziną funkcji jest zbiór
. Funkcja ma asymptotę pionową obustronną
. Funkcja jest rosnąca na każdym z przedziałów
,
, malejąca na przedziale
, w punkcie
funkcja ma maksimum lokalne,
.
5. Wypukłość, wklęsłość funkcji, punkty przegięcia
W tym rozdziale poznamy:
- definicję funkcji wypukłej/wklęsłej w punkcie i na przedziale
- warunki wystarczające
wypukłości/wklęsłości funkcji na przedziale
- definicję punktu przegięcia wykresu funkcji
- warunek konieczny
istnienia punktu przegięcia
- warunek wystarczający istnienia punktu przegięcia.
Nauczymy się jak:
- wyznaczać przedziały wypukłości/wklęsłości funkcji wykorzystując drugą pochodną
- badać istnienie punktów przegięcia w oparciu o warunki wystarczające.
5.1 Badanie wypukłości i wklęsłości funkcji
W tym rozdziale dostępne są: Teoria, Przykłady, Ćwiczenia interaktywne.
Teoria
Załóżmy, że funkcja jest różniczkowalna na pewnym otoczeniu punktu
.
- wypukłą w punkcie
, jeżeli istnieje takie sąsiedztwo
punktu
, że dla każdego
zachodzi nierówność
;
- wklęsłą w punkcie
, jeżeli istnieje takie sąsiedztwo
punktu
, że dla każdego
zachodzi nierówność
.
Jeżeli nierówności w powyższych definicjach są ostre, to funkcja jest odpowiednio ściśle wypukła lub ściśle wklęsła.
Geometrycznie oznacza to, że funkcja jest wypukła (wklęsła) w punkcie , jeżeli istnieje takie sąsiedztwo
, że na
wykres funkcji leży powyżej (poniżej) lub pokrywa się z prostą styczną do wykresu tej funkcji w punkcie
.
Geometrycznie oznacza to, że funkcja jest wypukła (wklęsła) na przedziale , jeżeli na dowolnym przedziale
wykres funkcji leży pod (nad) lub pokrywa się z prostą sieczną przechodzącą przez punkty
i
.
Przykłady
Ćwiczenia interaktywne, cz.1
Przypomnij sobie:
• definicję funkcji wypukłej w punkcie • definicję funkcji wklęsłej w punkcie • definicję funkcji wypukłej na przedziale • definicję funkcji wklęsłej na przedziale • warunki wystarczające wypukłości/wklęsłości funkcji
Dokończ poprawnie zdanie wybierając jedną z odpowiedzi.
Zastanów się nad wypukłością/wklęsłością przedstawionych funkcji na poszczególnych przedziałach dziedziny.
Dokończ zdanie wybierając poprawne odpowiedzi.
Uzupełnij luki.
Połącz w pary: wzór i własność funkcji.
Przyciągnij wzory do własności.
Połącz w pary: wykres i własność funkcji.
Ćwiczenia interaktywne, cz.2
Przypomnij sobie:
• definicję funkcji wypukłej w punkcie • definicję funkcji wklęsłej w punkcie • definicję funkcji wypukłej na przedziale • definicję funkcji wklęsłej na przedziale • warunki wystarczające wypukłości/wklęsłości funkcji
Wyznacz przedziały wypukłości/wklęsłości funkcji określonej wzorem
.
Uzupełnij. Edycja tekstów w GeoGebrze
Rozwiązanie:
Wyznacz przedziały wypukłości/wklęsłości funkcji określonej wzorem
.
Uzupełnij. Edycja tekstów w GeoGebrze
Rozwiązanie:
5.2 Punkty przegięcia wykresu funkcji
W tym rozdziale dostępne są: Teoria, Przykłady, Ćwiczenia interaktywne.
Teoria
Przykłady
Dziedziną funkcji jest zbiór .
Obliczamy pierwszą i drugą pochodną funkcji :
Zauważmy, że dla każdego pochodna rzędu drugiego jest dodatnia, zatem nie jest spełniony warunek konieczny istnienia punktu przegięcia i wykres funkcji
nie posiada punktów przegięcia.
Funkcja jest wielomianem, jest więc określona dla każdego
.
Obliczamy pierwszą i drugą pochodną funkcji :
i przyrównujemy drugą pochodną do zera:
Stąd wynika, że wykres funkcji może mieć tylko jeden punkt przegięcia. Dalej o istnieniu punktu przegięcia rozstrzygamy stosując jedną z dwóch metod podanych poniżej.
1 sposób (wykorzystamy I warunek wystarczający istnienia punktu przegięcia)
Badamy, gdzie druga pochodna funkcji przyjmuje wartości dodatnie a gdzie ujemne:
oraz
Stąd wynika, że dla
(a zatem także dla pewnego lewostronnego sąsiedztwa 2) oraz
dla
(przedział ten można potraktować jako prawostronne sąsiedztwo 2). Zatem punkt
jest punktem przegięcia wykresu funkcji
.
Metodę tę stosujemy najczęściej wtedy, gdy jednocześnie mamy wyznaczyć przedziały wklęsłości i wypukłości funkcji .
2 sposób (wykorzystamy II warunek wystarczający istnienia punktu przegięcia)
Funkcja jest określona dla każdego
.
Obliczamy pierwszą i drugą pochodną funkcji :
i przyrównujemy drugą pochodną do zera:
Ponieważ dla każdego
, więc
dla
. Oczywiście
należy do dziedziny funkcji. Dalej badamy, gdzie druga pochodna funkcji przyjmuje wartości dodatnie a gdzie ujemne:
oraz
Ponieważ dla
, więc funkcja jest wypukła na przedziale
. Ponieważ
dla
, więc funkcja jest wklęsła na przedziale
. Na mocy I warunku wystarczającego istnienia punktu przegięcia punkt
jest punktem przegięcia wykresu funkcji
.
Uzyskane wyniki i odpowiedź (uwzględniając również przedziały wypukłości i wklęsłości badanej funkcji) najczęściej zapisujemy w postaci tabeli.
Zauważmy, że funkcja jest określona dla każdego
.
Obliczamy pierwszą i drugą pochodną funkcji :
i przyrównujemy drugą pochodną do zera:
Stąd wynika, że wykres funkcji może mieć tylko jeden punkt przegięcia. Dalej badamy, gdzie druga pochodna funkcji przyjmuje wartości dodatnie a gdzie ujemne:
oraz
Wyniki umieszczamy w tabeli:
Funkcja jest wypukła na przedziale , wklęsła na przedziale
, a punkt
jest punktem przegięcia wykresu funkcji
.
Ćwiczenia interaktywne, cz.1
Przypomnij sobie:
• definicję punktu przegięcia • warunek konieczny istnienia punktu przegięcia • I warunek wystarczający istnienia punktu przegięcia • II warunek wystarczający istnienia punktu przegięcia
Zastanów się, jakie punkty przegięcia posiadają funkcje o przedstawionych wykresach.
Przyporządkuj podane funkcje do odpowiedniej grupy.
Dopasuj do funkcji punkty przegięcia ich wykresów.
Zaznacz punkty przegięcia wykresu funkcji.
Ćwiczenia interaktywne, cz.2
Przypomnij sobie:
• definicję punktu przegięcia • warunek konieczny istnienia punktu przegięcia • I warunek wystarczający istnienia punktu przegięcia • II warunek wystarczający istnienia punktu przegięcia
Wyznacz przedziały wypukłości/wklęsłości i punkty przegięcia wykresu funkcji określonej wzorem
.
Uzupełnij. Edycja tekstów w GeoGebrze
Rozwiązanie:
Wyznacz przedziały wypukłości/wklęsłości i punkty przegięcia wykresu funkcji określonej wzorem
.
Uzupełnij. Edycja tekstów w GeoGebrze
Rozwiązanie:
Wyznacz przedziały wypukłości/wklęsłości i punkty przegięcia wykresu funkcji określonej wzorem
.
Uzupełnij. Edycja tekstów w GeoGebrze
Rozwiązanie:
5.3 Zadania
Punkt przegięcia:
. Funkcja jest wypukła na przedziale
, wklęsła na przedziale
.
. Punkty przegięcia:
,
. Funkcja jest wypukła na przedziałach
,
, wklęsła na przedziale
.
Brak punktów przegięcia. Funkcja jest wypukła na przedziale
, wklęsła na przedziale
.
. Punkt przegięcia:
. Funkcja jest wypukła na przedziale
, wklęsła na przedziale
.
. Punkty przegięcia:
,
. Funkcja jest wypukła na przedziale
, wklęsła na przedziałach
,
.
Punkt przegięcia:
Funkcja jest wypukła na przedziale
wklęsła na przedziale
.
. Brak punktów przegięcia. Funkcja jest wypukła na przedziale
, wklęsła na przedziale
.
. Brak punktów przegięcia. Funkcja jest wklęsła na na przedziale
.
6. Badanie przebiegu zmienności funkcji
W tym rozdziale nauczymy się badać przebieg zmienności funkcji wykorzystując rachunek różniczkowy.
Teoria
Badanie przebiegu zmienności funkcji jest zadaniem złożonym i obejmuje kilka etapów:
- wyznaczenie dziedziny funkcji,
- wyznaczenie asymptot wykresu funkcji,
- wyznaczenie przedziałów monotoniczności i ekstremów lokalnych funkcji (badanie pierwszej pochodnej funkcji: rozwiązanie równania
oraz nierówności
i
),
- wyznaczenie przedziałów wypukłości i wklęsłości oraz punktów przegięcia funkcji (badanie drugiej pochodnej funkcji: rozwiązanie równania
oraz nierówności
i
),
- zestawienie uzyskanych wyników w tabeli i sporządzenie na tej podstawie wykresu funkcji.
Przykłady
-
Wyznaczymy asymptoty wykresu funkcji
. Obliczamy w tym celu granice funkcji na krańcach jej dziedziny:
Zatem prosta o równaniu
jest asymptotą poziomą wykresu funkcji w
i
.
Wykres funkcji nie ma asymptot pionowych.
-
Wyznaczymy przedziały monotoniczności i ekstrema lokalne funkcji
. Obliczamy w tym celu pochodną funkcji.
Wyznaczamy punkty stacjonarne funkcji:
Badamy, gdzie pochodna funkcji przyjmuje wartości dodatnie, a gdzie ujemne. Zauważmy najpierw, że
dla każdego
, zatem znak funkcji pochodnej będzie taki sam jak znak wyrażenia
. Mamy więc:
Zatem funkcja jest malejąca na przedziale
, rosnąca na przedziale
.
Korzystając z I warunku wystarczającego istnienia ekstremum funkcji wnioskujemy, że w punkcie
funkcja ma minimum lokalne równe
.
-
Wyznaczymy przedziały wypukłości i wklęsłości oraz punkty przegięcia funkcji
. Obliczamy w tym celu drugą pochodną funkcji, następnie rozwiązujemy równanie
.
Badamy, gdzie druga pochodna funkcji przyjmuje wartości dodatnie , a gdzie ujemne. Zauważmy, że
dla każdego
, zatem znak funkcji drugiej pochodnej będzie taki sam jak znak wyrażenia
.
Zatem funkcja jest wypukła na przedziale
, wklęsła na przedziałach
,
. Punkty
,
są punktami przegięcia wykresu funkcji.
-
Tabelka przebiegu zmienności funkcji
.
-
Wykres funkcji
. Zaczynamy od narysowania asymptot, następnie zaznaczamy wyznaczone punkty specjalne (punkty ekstremalne i punkty przegięcia) oraz szkicujemy wykres funkcji na podstawie tabeli.
- Dziedziną funkcji
jest zbiór
.
- Wyznaczymy asymptoty wykresu funkcji
. Obliczymy w tym celu granice funkcji na krańcach jej dziedziny:
Zatem funkcja ma asymptotę pionową prawostronną
.
Zatem prosta o równaniu
jest asymptotą poziomą wykresu funkcji
w
.
-
Wyznaczymy przedziały monotoniczności i ekstrema lokalne funkcji
. Obliczamy w tym celu pochodną funkcji.
Wyznaczamy punkty stacjonarne funkcji:
Badamy, gdzie pochodna funkcji przyjmuje wartości dodatnie, a gdzie ujemne. Zauważmy najpierw, że
dla każdego
, zatem znak funkcji pochodnej będzie taki sam jak znak wyrażenia
. Mamy więc:
Zatem funkcja jest rosnąca na przedziale
, malejąca na przedziale
.
Korzystając z I warunku wystarczającego istnienia ekstremum funkcji wnioskujemy, że w punkcie
funkcja ma maksimum lokalne równe
.
-
Wyznaczymy przedziały wypukłości i wklęsłości oraz punkty przegięcia funkcji
. Obliczamy w tym celu drugą pochodną funkcji, następnie rozwiązujemy równanie
.
Badamy, gdzie druga pochodna funkcji przyjmuje wartości dodatnie , a gdzie ujemne. Zauważmy, że
dla każdego
, zatem znak drugiej pochodnej funkcji będzie taki sam jak znak wyrażenia
.
Zatem funkcja
jest wklęsła na przedziale
, wypukła na przedziale
, punkt
jest punktem przegięcia wykresu funkcji.
-
Tabelka przebiegu zmienności funkcji
.
-
Wykres funkcji
. Zaczynamy od narysowania asymptot, następnie zaznaczamy wyznaczone punkty specjalne (punkty ekstremalne i punkty przegięcia) oraz szkicujemy wykres funkcji na podstawie tabeli.
- Dziedziną funkcji
jest zbiór
.
-
Wyznaczymy asymptoty wykresu funkcji
. Obliczymy w tym celu granice funkcji na krańcach jej dziedziny:
Ponieważ obie policzone powyżej granice są niewłaściwe więc wykres funkcji nie ma symptoty poziomej. Sprawdzamy istnienie asymptot ukośnych wykresu funkcji w
i
.
Prosta o równaniu
, czyli
jest asymptotą ukośną wykresu funkcji w
.
Zatem prosta o równaniu
jest asymptotą ukośną wykresu funkcji w
.
Podsumowując otrzymujemy, że prosta o równaniu
jest asymptotą ukośną wykresu funkcji w
, prosta prosta o równaniu
jest asymptotą ukośną wykresu funkcji w
. Wykres funkcji
nie ma asymptot pionowych.
-
Wyznaczymy przedziały monotoniczności i ekstrema lokalne funkcji
. Obliczamy w tym celu pochodną funkcji.
Wyznaczamy punkty stacjonarne funkcji:
Badamy, gdzie pochodna funkcji przyjmuje wartości dodatnie, a gdzie ujemne. Zauważmy najpierw, że
dla każdego
, zatem znak pochodnej funkcji będzie taki sam jak znak wyrażenia
. Mamy więc:
Zatem funkcja jest malejąca na każdym z przedziałów
,
, rosnąca na przedziale
. Korzystając z I warunku wystarczającego istnienia ekstremum funkcji wnioskujemy, że w punkcie
funkcja ma minimum lokalne równe
, zaś w punkcie
funkcja ma maksimum lokalne równe
.
-
Wyznaczymy przedziały wypukłości i wklęsłości oraz punkty przegięcia funkcji
. Obliczamy w tym celu drugą pochodną funkcji, następnie rozwiązujemy równanie
.
Badamy, gdzie druga pochodna funkcji przyjmuje wartości dodatnie, a gdzie ujemne. Zauważmy, że
dla każdego
, zatem znak funkcji drugiej pochodnej będzie taki sam jak znak wyrażenia
.
Zatem funkcja
jest wypukła na przedziale
, wklęsła na przedziale
, punkt
jest punktem przegięcia wykresu funkcji.
-
Tabelka przebiegu zmienności funkcji
.
-
Wykres funkcji
. Zaczynamy od narysowania asymptot, następnie zaznaczamy wyznaczone punkty specjalne (punkty ekstremalne i punkty przegięcia) oraz szkicujemy wykres funkcji na podstawie tabeli.
Ćwiczenia interaktywne, cz.1
Przypomnij sobie:
• etapy badania przebiegu zmienności funkcji
Uzupełnij.
Uzupełnij.
Uzupełnij.
Uzupełnij.
Niech Informacje o pierwszej i drugiej pochodnej funkcji
zawarte są w poniższej tabeli. Uzupełnij ostatni wiersz tabeli.
Zawartość pustych pól w tabeli możesz zmienić poprzez kliknięcie.
Wybierz rysunki mogące przedstawiać wykres funkcji
Przenieś wybrane rysunki do obszaru znajdującego się nad nimi.
Ćwiczenia interaktywne, cz.2
Zadania
.
, brak asymptot. Funkcja jest malejąca na przedziale
, rosnąca na przedziale
, w punkcie
funkcja ma minimum lokalne równe
. Funkcja jest wypukła na każdym z przedziałów:
,
, wklęsła na przedziale
, punkty
,
są punktami przegięcia wykresu funkcji.
. Wykres funkcji ma asymptotę pionową obustronną
,
,
, oraz asymptotę ukośną o równaniu
w
i
. Funkcja jest rosnąca na każdym z przedziałów:
,
, malejąca na każdym z przedziałów
,
, w punkcie
funkcja ma maksimum lokalne równe
, w punkcie
funkcja ma minimum lokalne równe
. Funkcja jest wklęsła na przedziale
, wypukła na przedziale
, brak punktów przegięcia.
.
, wykres funkcji ma asymptotę pionową obustronną
,
,
,
, brak asymptoty ukośnej. Funkcja jest rosnąca na każdym z przedziałów:
,
, malejąca na przedziale
, w punkcie
funkcja ma maksimum lokalne równe
. Funkcja jest wypukła na każdym z przedziałów
,
, wklęsła na przedziale
, punkt
jest punktem przegięcia wykresu funkcji.
. Wykres funkcji ma asymptotę pionową prawostronną
,
,
, brak asymptoty ukośnej. Funkcja jest malejąca na przedziale
, rosnąca na przedziale
, w punkcie
funkcja ma minimum lokalne równe
. Funkcja jest wypukła w całej dziedzinie.
.
,
, brak asymptot. Funkcja jest malejąca na przedziale
, rosnąca na przedziale
, w punkcie
funkcja ma minimum lokalne równe
. Funkcja jest wypukła na przedziale:
, wklęsła na przedziale
, punkt
jest punktem przegięcia wykresu funkcji.
. Wykres funkcji ma asymptotę poziomą
w
,
. Funkcja jest malejąca na przedziale
, rosnąca na każdym z przedziałów
,
, w punkcie
funkcja ma minimum lokalne równe
, w punkcie
funkcja ma maksimum lokalne równe
. Funkcja jest wypukła na każdym z przedziałów:
,
, wklęsła na przedziale
, punkty
,
są punktami przegięcia wykresu funkcji.
7. Pochodna w zastosowaniach praktycznych - przykłady
Od podwojonej pewnej liczby ujemnej odjęto kwadrat jej odwrotności. Jaka powinna być ta liczba, aby wartość tak otrzymanego wyrażenia była największa?
Oznaczmy przez szukaną liczbę. Wówczas funkcja opisująca warunki zadania ma postać:
Wyznaczamy punkty stacjonarne funkcji :
Rozwiązujemy odpowiednie nierówności pamiętając, że :
Z I warunku wystarczającego istnienia ekstremum lokalnego wynika, że funkcja ma maksimum lokalne dla
. Czyli szukaną liczbą jest
.
Pewien tokarz otrzymał mosiężną kulę o promieniu by wykonać z niej walec o jak największej objętości. Jakie będą wymiary tego walca i jaka będzie objętość skrawków?
Niech oznacza promień podstawy walca wpisanego w kulę, zaś
jego wysokość. Wykonujemy pomocniczy rysunek (aplet), na którym możemy zaobserwować, w jaki sposób objętość walca zależy od jego wysokości:
Przypomnijmy wzór na objętość walca
Z twierdzenia Pitagorasa (zastosowanego do trójkąta prostokątnego będącego połową przekroju osiowego walca) wynika, że
Stąd . Wstawiając do wzoru na objętość walca otrzymujemy:
Dalej wyznaczymy największą wartość funkcji . W tym celu obliczamy pochodną
i przyrównujemy ją do zera:
dla
, natomiast
dla
. A zatem walec przyjmuje największą objętość dla
cm i objętość ta jest równa
Pozostaje obliczyć jeszcze objętość kuli
i na koniec objętość skrawków
Dana jest funkcja . Wyznacz taki punkt na wykresie funkcji
, którego odległość od punktu
jest najmniejsza.
Niech będzie punktem wykresu funkcji
. Wówczas odległość
tego punktu od początku układu współrzędnych można przedstawić jako funkcję zmiennej
Po podstawieniu otrzymujemy
Obliczamy najpierw pochodną funkcji
i przyrównujemy ją do zera:
Zgodnie z algorytmem wyznaczania ekstremów globalnych funkcja może posiadać minimum globalne w punktach:
oraz
. Obliczamy wartości funkcji we wskazanych punktach:
Stąd wynika, że funkcja przyjmuje wartość najmniejszą na przedziale
w punktach
oraz
. Punkty wykresu funkcji
, których odległość od początku układu jest najmniejsza to
oraz
. Odległość ta wynosi
.
Poniższy aplet przedstawia wykres funkcji z ruchomym punktem
oraz funkcję
.
Dwa miasta i
położone po przeciwnych stronach rzeki trzeba połączyć drogą z mostem prostopadłym do brzegów rzeki o prostoliniowych i równoległych brzegach. W którym miejscu należy wybudować most, aby droga łącząca te miasta miała najmniejszą długość? Odległość miasta
od rzeki wynosi
km, odległość miasta
od rzeki wynosi
km, zaś odległość między rzutami miast na linię rzeki to
km.
Niech będzie odległością mostu od rzutu miasta
na linię rzeki. Wówczas
, zaś droga łącząca miasta
i
ma długość
Ponieważ odcinek równy długości mostu ma stałą długość, wystarczy, że znajdziemy najmniejszą wartość funkcji
na przedziale
.
i przyrównujemy ją do zera:
Ponieważ
więc
Zgodnie z algorytmem wyznaczania ekstremów globalnych funkcja może posiadać minimum globalne w punktach:
oraz
. Obliczamy wartości funkcji we wskazanych punktach:
Stąd wynika, że funkcja przyjmuje wartość najmniejszą na przedziale
w punkcie
. Most należy zatem wybudować w odległości
km od miasta
(licząc wzdłuż brzegu rzeki).
Stacja orbitalna porusza się prostoliniowo na wysokości km nad Ziemią z prędkością
km/h. Antena odbierająca sygnały znajduje się bezpośrednio pod trajektorią stacji. W każdej chwili oś anteny jest skierowana na stację. Jaka jest prędkość kątowa anteny w chwili, gdy stacja znajduje się w odległości
km od anteny?
Stół bilardowy ma następujący kształt (bandy są w kształcie parabol). Gracz ma możliwość ustawienia bili w dowolnym miejscu na linii łączącej wierzchołki parabol. Jego zadanie polega na trafieniu do pokazanego otworu przy wykorzystaniu dokładnie jednego odbicia od bandy. Zakładając, że ustawił bilę w konkretnym miejscu, w którym kierunku powinien uderzyć?
Obróćmy stół bilardowy i opiszmy go funkcjami następująco:
Rozważymy jedną przykładową sytuację. Czytelnik może przeanalizować każdy inny przypadek samodzielnie. Załóżmy zatem, że otwór na stole bilardowym znajduje się w miejscu: Z prawa odbicia wynika, że bila (która leży na części osi
zawartej pomiędzy parabolami) pchnięta w stronę ramienia paraboli, odbije się od niej pod kątem równym kątowi padania na to ramię, czyli
będzie poruszała się wzdłuż prostej padania i po odbiciu wróci wzdłuż prostej odbicia.
Prosta jest styczną do paraboli w punkcie, w którym uderzy bila, prosta
jest prostopadła do stycznej, kąty padania i odbicia pokazane są na rysunku.
Zakładamy, że bilę umieścimy na stole bilardowym w punkcie
Wówczas należy uderzyć bilę w kierunku prostej o równaniu w kierunku lewej bandy (w przypadku uderzania w prawą bandę, prosta miałaby równanie
).
Bila odbije się od bandy w punkcie .
Styczna do bandy w tym punkcie ma równanie , zaś prosta odbicia
.
Bila, po odbicu, potoczy się do wskazanego otworu.
Koszt całkowity produkcji zależny od wielkości produkcji określa funkcja: .
(a) Wyznaczymy koszt krańcowy dla pewnych wielkości produkcji.
(b) Sprawdzimy, kiedy producent zrealizuje maksymalny zysk (optimum ekonomiczne) przy określonej cenie sprzedaży jednostki produktu.
(c) Ustalimy wielkość produkcji zapewniającą minimalny koszt jednostkowy (optimum techniczne).
(a) Koszt krańcowy produkcji jest równy pochodnej funkcji :
Dla wielkości produkcji ,
, zaś dla
,
. Oznacza to, że wytworzenie dodatkowej jednostki produktu przy wielkości produkcji
jednostek wynosi
jednostek pieniężnych, a przy wielkości produkcji
jednostek wynosi więcej, bo
jednostek pieniężnych.
(b) Zakładamy, że cała produkcja może zostać sprzedana. Załóżmy teraz , że cena sprzedaży jednostki produktu wynosi j.p. Niech funkcja
oznacza przychód ze sprzedaży,
- zysk producenta. Wtedy:
.
,
. Ponadto
. Oznacza to, że przy wielkości produkcji
jednostek producent osiągnie maksymalny zysk w wysokości
, czyli
j.p. (c) Niech funkcja
oznacza koszt jednostkowy.
.
. Stąd
. Ponadto
i
. Tym samym przy produkcji
j.p. koszt jednostkowy jest minimalny i wynosi
j.p.