Pochodna funkcji jednej zmiennej - 25 sty

---------------------------------------------

Definicja

Niech $T\subset \mathbb{R}$. Wielkością przeciętną (względną, średnią) funkcji 

$f:T\rightarrow \mathbb{R}$ nazywamy

$\frac{\Delta f}{\Delta x}=\frac{f(x_{0}+\Delta x)-f(x_{0})}{\Delta x}$,

czyli iloraz przyrostu funkcji do przyrostu argumentu (iloraz różnicowy funkcji). Dokładniejszą charakterystykę szybkości zmian funkcji otrzymamy wtedy, gdy w powyższym ilorazie przejdziemy do granicy. Konieczna jest jednak znajomość analitycznego wzoru rozważanej funkcji.

Potrzebę wprowadzenia pochodnej objaśnimy na przykładzie fizycznych wielkości:

1. Prędkość $V$

Rozpatrzmy ruch po linii prostej, aby nie trzeba się było posługiwać wektorami. 

Wyobraźmy sobie punkt materialny $P$ poruszający się ze zmienną prędkością po osi liczbowej $s$ w taki sposób, że jego pozycja w chwili $t_{0}$ określona jest jako funkcja czasu i wynosi $s(t_{0})$.

W chwili $t_{0}+\Delta t$ współrzędna (pozycja) tego punktu jest równa $s(t_{0}+\Delta t)$, 

Przesunięcie w czasie $\Deltat$ jest równe $\Delta s=s(t+\Delta t)-s\left( t\right)$. Zatem prędkość średnia jest równa

$V_{śr} =\frac{\Delta s}{\Delta t}=\frac{s(t_{0}+\Delta t)-s(t_{0})}{\Delta t}$,

zaś prędkość chwilowa w chwili $t_{0}$ jest równa

$V\left( t_{0}\right) =\lim\limits_{ \Delta t\to 0}\frac{\Delta s}{\Delta t}=\lim\limits_{\Delta t\to 0}\frac{s(t_{0}+\Delta t)-s(t_{0})}{\Delta t}=\frac{ds}{dt}(t_0)=s'(t_{0})$.

2. Przyspieszenie $a$

W czasie $Δt$ punkt materialny $P$  przyspieszy od chwili $t₀$ do chwili $t₀+Δt$ średnio o
$a=\frac{\Delta V}{\Delta t}=\frac{V(t_{0}+\Delta t)-V(t_{0})}{\Delta t}$.

Granicę właściwą tego ilorazu różnicowego, gdy $Δt→0$ nazywamy przyspieszeniem punktu $P$ w chwili $t₀$

$a(t_{0})=\underset{\Delta t\rightarrow 0}{\lim }\Delta a=\underset{\Delta t\rightarrow 0}{\lim }\frac{\Delta V}{\Delta t}=\underset{\Delta t\rightarrow 0}{\lim }\frac{V(t_{0}+\Delta t)-V(t_{0})}{\Delta t}=\frac{dV}{dt}(t_{0})=s''(t_{0})$.
3. Natężenie prądu $I$

Prąd elektryczny to uporządkowany ruch ładunków elektrycznych wzdłuż przewodnika. Niech $ΔQ$ oznacza ładunek przepływający przez ustalony przekrój przewodnika w czasie $Δt$. Wówczas wielkość $I_{\acute{s}r}=\frac{\Delta Q}{\Delta t}$ nazywa się średnim natężeniem prądu. Chwilowym natężeniem prądu jest wielkość nazywa się średnim natężeniem prądu. Chwilowym natężeniem prądu jest wielkość

$I\left( t_{0}\right) =\underset{\Delta t\rightarrow 0}{\lim }\frac{\Delta Q}{\Delta t}=\frac{dQ}{dt}(t_{0})=Q'(t_{0})$.

 4.Gęstość rozkładu masy $μ$

Załóżmy, że mamy pręt o długości $L$ taki, że masa części tego pręta liczona od początku do punktu $x₀∈[0,L]$ dana jest funkcją $M(x₀)$. Wtedy masa zawarta w przedziale $[x₀,x₀+Δx]$ wynosi:

$\Delta M=M(x_{0}+\Delta x)-M(x_{0})$.

Średnia gęstość masy na tym przedziale jest równa:

$\overline{\mu }=\frac{\Delta M}{\Delta x}=\frac{M(x_{0}+\Delta x)-M(x_{0})}{\Delta x}$

W granicy otrzymuje się gęstość masy w punkcie $x₀$

$\mu \left( x_{0}\right) =\underset{\Delta x\rightarrow 0}{\lim }\frac{\Delta M}{\Delta x}=M'(x_{0})$.

--------------------------------------------

Definicja
Niech $T⊂R$. Wielkością przeciętną  (względną, średnią) funkcji $f:T→R$, nazywamy

$\frac{\Delta f}{\Delta x}=\frac{f(x_{0}+\Delta x)-f(x_{0})}{\Delta x} , \label{1}$  $(1)$

czyli iloraz przyrostu funkcji do przyrostu argumentu (iloraz różnicowy funkcji).
    Funkcję $\frac{f(x)}{x}$ nazywamy funkcją przeciętną, średnią.

    Uwaga

Wielkość przeciętna określa, w jakim stopniu funkcja $f$ jest czuła na przyrost zmiennej $x$. Jednakże ocena reakcji funkcji na podstawie wzoru $(1)$ daje pogląd jedynie na przeciętną prędkość zmiany wartości tej funkcji w przedziale $[x₀,x₀+Δx]$. Zmiany te nie muszą zachodzić tak równomiernie, jak wskazuje wartość średnia. Dokładniejszą charakterystykę szybkości zmian funkcji otrzymamy wtedy, gdy w ilorazie $(1)$ przejdziemy do granicy. Konieczna jest jednak znajomość analitycznego wzoru rozważanej funkcji.

Definicja  Wielkością krańcową funkcji  $f:T→R$ w punkcie $x₀$, nazywamy granicę właściwą (o ile istnieje):

$\underset{\Delta x\rightarrow 0}{\lim }\frac{\Delta f}{\Delta x}=\underset{%\Delta x\rightarrow 0}{\lim }\frac{f(x_{0}+\Delta x)-f(x_{0})}{\Delta x}%=f'(x_{0})$,

czyli pochodną pierwszego rzędu funkcji $f$  w punkcie $x₀$. Funkcję $f′$ określoną na $T$ nazywamy funkcją krańcową.

Zauważmy, że dla funkcji jednej zmiennej $f(x)$, dla małych przyrostów $Δx$ mamy:

$\Delta f=f(x_{0}+\Delta x)-f(x_{0})\approx f'(x_{0})\Delta x$.

Niech $Δx=1$, czyli argument zwiększa się o jednostkę w stosunku do poziomu wyjściowego. Wtedy powyższa zależność ma postać:

$\Delta f=f(x_{0}+1)-f(x_{0})\approx f'(x_{0})$,

czyli zwiększenie argumentu o jednostkę powoduje wzrost funkcji o $f′(x₀)$. Zatem wielkość krańcowa funkcji jest w przybliżeniu równa przyrostowi funkcji przy wzroście argumentu funkcji o jednostkę. Wielkość krańcowa jest miarą szybkości zmian wartości funkcji w punkcie x₀.

    Przykłady

1.Funkcja kosztu

   Koszt wytworzenia dowolnej wielkości produkcji zależy od wielkości nakładów poszczególnych czynników produkcji oraz ich cen. Jest on więc funkcją kilku zmiennych. Jeżeli jednak nasze rozważania ograniczymy do krótkiego okresu, a więc czasu, w którym przynajmniej jeden czynnik produkcji jest stały i koszt możemy przedstawić jako funkcję jednej zmiennej: wielkości produkcji.
    Koszty całkowite są sumą kosztów stałych i kosztów zmiennych.

    Niech $K:R₊→R_{+ }$ będzie funkcją kosztu całkowitego zależną od wielkości produkcji $x$, gdzie $x∈(0,+∞)$.
    Wtedy funkcję

$K_{p}:x\rightarrow K_{p}\left( x\right) =\frac{K(x)}{x}$

nazywamy funkcją kosztów przeciętnych, a jej wartość  $K_{p}\left( x_{0}\right) =\frac{K(x_{0})}{x_{0}}$    kosztem przeciętnym (jednostkowym) wytworzenia jednostki produktu przy poziomie produkcji x₀.
    Przy podejmowaniu decyzji dotyczących wielkości produkcji (i jej wpływu na koszty) bardzo ważną wskazówką jest kształtowanie się kosztów jednostkowych przy różnych rozmiarach produkcji. W tego typu analizach przydatne jest wykorzystanie kosztów krańcowych.

Definicja
Koszt krańcowy to koszt wytworzenia dodatkowej jednostki produktu (przy założeniu, że produkcja zmienia się skokowo), czyli przyrost kosztów spowodowany zwiększeniem produkcji o jednostkę. Tak więc koszty krańcowe informują o tym, jak wzrosną koszty całkowite przy wzroście produkcji o jedną jednostkę $\left( K_{x}=\frac{\Delta K}{\Delta x}\right) .$
Często jednak zakładamy ciągłą, a nie skokową zmianę wielkości produkcji.

Przy założeniu, że funkcja $K(x)$ jest różniczkowalna oraz $x₀>0$, $Δx>0$, $x₀+Δx>0$, gdzie $Δx$ jest dodatnim przyrostem argumentu funkcji (przyrostem produkcji), można zbudować iloraz różnicowy (przyrost przeciętny) tej funkcji:

$\frac{K(x_{0}+\Delta x)-K(x_{0})}{\Delta x}=\frac{\Delta K}{\Delta x}$.

Wyraża on przeciętny koszt wytworzenia dodatkowych jednostek produktu $Δx$ poczynając od poziomu $x₀$. Granicą tego ilorazu jest pochodna funkcji $K$ w punkcie $x₀$
$K'(x_{0})=\underset{\Delta x\rightarrow 0}{\lim }\frac{\Delta K}{\Delta x}.%$

Stąd

$K_{x}(x₀)=K′(x₀)$.

Natomiast funkcja $K_{x}: x→K′(x)$ jest funkcją kosztu krańcowego.

2. Funkcja produkcji
    Funkcja produkcji określa relacje między wielkością produkcji a liczbą zaangażowanych czynników produkcji. Funkcja produkcji określa, jaką maksymalną wielkość produkcji może osiągnąć przedsiębiorstwo w wyniku użycia posiadanych zasobów, przy danej technice wytwarzania.
    Funkcja produkcji
    $TP=f(K,L), K≥0,L≥0$
    gdzie: $TP$ --całkowita wielkość produkcji ($Q$); $K$ -- ilość użytych jednostek kapitału; $L$ -- ilość użytych jednostek pracy.
    Jak widać (po uproszczeniu) produkcja zależy od zaangażowanych w nią kapitału i pracy.
    Krótki okres (SR) to taki czas (stan), w którym ilość jednego lub więcej czynników produkcji jest stała (przynajmniej jeden czynnik produkcji jest stały,  pozostałe mogą być zmienne).

    Definicje:
    Produkt całkowity T(total) P(product) to łączna wielkość produkcji przedsiębiorstwa wytwarzana przy zatrudnianiu kolejnych jednostek zmiennego czynnika wytwórczego.
    Produkt przeciętny A(average)P(product ) to średnia wielkość produkcji całkowitej $TP$ przypadająca na jednostkę zmiennego czynnika wytwórczego $QL$ lub $QK$.

Produkt marginalny M(marginal) P(product) Dodatkowa wielkość produktu całkowitego $ΔTP$ wywołana zwiększeniem zatrudnienia zmiennego czynnika wytwórczego o jednostkę $ΔQ_{L}$, $ΔQ_{K}$.

$MP=((ΔTP)/(ΔQ_{L}))$,

$MP=((ΔTP)/(ΔQ_{K}))$.

Produkt marginalny (krańcowy) to przyrost produkcji ($TP$) wynikający z zatrudnienia dodatkowego pracownika (dodatkowej jednostki zmiennego czynnika produkcji).

  $MP_{L} = ((ΔTP)/(ΔL))$,
   $MP_{K} = ((ΔTP)/(ΔK))$.
Prawo malejących dochodów głosi, że jeżeli następuje wzrost nakładów jednego czynnika produkcji (przy założeniu stałości pozostałych czynników), to począwszy od pewnego poziomu, przyrosty produkcji zaczynają maleć. Formuła liczenia:

    $MP=TP′=((ΔTP)/(ΔQ_{L}))$.
3. Funkcja konsumpcji

    Dochody gospodarstw domowych mają być przeznaczone na wydatki konsumpcyjne lub na oszczędności $Y=C+S$. Przy danym poziomie dochodów im większe wydatki konsumpcyjne, tym mniejsze oszczędności i odwrotnie, im większe oszczędności, tym mniejsze wydatki konsumpcyjne. Wynika z tego, że decyzje gospodarstw domowych w sprawie wydatków konsumpcyjnych są zarazem decyzjami w sprawie oszczędzania. Funkcja konsumpcji  pokazuje poziom zamierzonych łącznych wydatków konsumpcyjnych przy różnych poziomach dochodu. Zależności między wydatkami konsumpcyjnymi a dochodem charakteryzują się kilkoma cechami:
    Przeciętna skłonność do konsumpcji to stosunek wydatków konsumpcyjnych do dochodu. Wielkość ta informuje, jaka części dochodu przeznaczona jest na konsumpcję: $(C/Y)$.
    Krańcowa skłonność do konsumpcji to stosunek przyrostu wydatków konsumpcyjnych do przyrostu dochodu. Wielkość ta informuje jaka część przyrostu dochodu przeznaczona jest na wydatki konsumpcyjne:

    $K_{sk}=((ΔC)/(ΔY))$.
W polityce gospodarczej znajomość krańcowej skłonności do konsumpcji ma duże znaczenie. Pozwala bowiem odpowiedzieć, z dużą dozą prawdopodobieństwa, na co ludzie przeznaczą dodatkowe dochody i w jakiej proporcji wydadzą je na dobra konsumpcyjne, a ile zaoszczędzą.

4.Funkcja użyteczności

Funkcja użyteczności to funkcja, której wartościami są wartości użyteczności (satysfakcji, komfortu psychicznego). Można mówić o użyteczności różnych zjawisk (koszyków towarów). Użyteczność pieniądza (bogactwa) jest np. funkcją, która wartości pieniężnej przyporządkowuje użyteczność dla otrzymującego tę wartość. Funkcja użyteczności jest pojęciem psychologicznym, co oznacza, że każdy ma swoją funkcję użyteczności. Jednak pewne ogólne własności są wspólne. Mianowicie, ponieważ każdy woli posiadać więcej niż mniej, więc funkcja użyteczności jest rosnąca. Ponadto krańcowa użyteczność jest malejąca, tzn. każdy dodatkowy procent wzrostu bogactwa powoduje coraz mniejszy przyrost użyteczności. Przykładowo, ktoś kto nic nie ma, podejmie wysiłek w celu zarobienia $10$ zł., bo ta kwota zapewni mu np. posiłek. Dla osoby bogatej ta kwota będzie prawie bez znaczenia.

Definicja: Ustalmy koszyk towarów $x∈R₊$. Pochodną $u′(x)$ nazywamy krańcową użytecznością towaru w koszyku $x$.

Funkcja użyteczności $u(x)$ jest funkcją spełniającą warunki:

$u' (x) > 0$ -- postulat niedosytu oznacza, że wzrost ilości towaru w koszyku zwiększa użyteczności koszyka,

$u''(x) < 0$ -- krańcowa użyteczność każdego towaru maleje, w miarę jak wzrasta jego spożycie.

Określa ona użyteczność posiadania przez osobę/instytucję wartości (pieniężnej) $x$.

------------------------------

Zadanie 1

Korzystając z definicji pochodnej wyznacz pochodną funkcji $f$ we wskazanym punkcie:

a)  $f(x)=3x-4$ w punkcie $x_{0}=2$,  

Odpowiedź $f^{^{\prime }}(2)=3$.

Wskazówka  $f^{^{\prime }}(2)=\lim\limits_{x\rightarrow 2}\frac{f(x)-f(2) }{x-2}$, gdzie $f(2)=3\cdot 2-4$.

b) $f(x)=2-x^{3}$ w punkcie $x_{0}=1$,

Odpowiedź  $f^{^{\prime }}(1)=-3$.

Wskazówka $f^{^{\prime }}(1)=\lim\limits_{x\rightarrow 1}\frac{f(x)-f(1) }{x-1}$, gdzie $f(1)=2-(1)^{3}$.

c) $f(x)=\frac{1}{x}$ w punkcie $x_{0}=2$,

Odpowiedź $f^{^{\prime }}(2)=-\frac{1}{4}$.

Wskazówka  $f^{^{\prime }}(2)=\lim\limits_{x\rightarrow 2}\frac{f(x)-f(2)}{x-2}$, gdzie $f(2)=\frac{1}{2}$.

d) $f(x)=\sin x$ w punkcie $x_{0}=\frac{\pi }{2}$,

Odpowiedź $f^{^{\prime }}(\frac{\pi }{2})=0$.

Wskazówka  $f^{^{\prime }}(\frac{\pi }{2})=\lim\limits_{x\rightarrow \frac{\pi }{2}}\frac{f(x)-f(\frac{\pi }{2})}{x-\frac{\pi }{2}}$, gdzie $f(\frac{\pi }{2})=\sin (\frac{\pi }{2})$.

Wykorzystać wzory $\sin (\alpha )-\sin (\beta )=2\cdot \sin (\frac{\alpha -\beta }{2})\cdot \cos (\frac{\alpha +\beta }{2})$ i $\lim\limits_{x\rightarrow 0}\frac{\sin (x)}{x}=1$.

Zadanie 2

a) $f(x)=\sqrt{3x+3}$ w punkcie $x_{0}=2$,

Odpowiedź $f'(2)=\frac{1}{2}$.

Wskazówka  $f^{^{\prime }}(2)=\lim\limits_{x\rightarrow 2}\frac{f(x)-f(2) }{x-2}$, gdzie $f(2)=\sqrt{3\cdot 2+3}$.

b) $f(x)=\left\{ \begin{array}{lll} x+3 & \text{dla} & x\leq -3 \\ x^{2}-9 & \text{dla} & x>-3 \end{array} \right.$ w punkcie $x_{0}=-3$,

Odpowiedź $f^{^{\prime }}(-3)$ nie istnieje.

Wskazówka  Obliczyć pochodne jednostronne funkcji w punkcie $x_0=-3$.  Wartość funkcji $f$ w punkcie $x_{0}=-3$ jest równa $f(-3)=-3+3=0$.

c) $f(x)=\left\{ \begin{array}{lll} \frac{1}{x} & \text{dla} & x0 \end{array} \right.$ w punkcie $x_{0}=0$.

Odpowiedź $f^{^{\prime }}(0)=+\infty$.

Wskazówka  Obliczyć pochodne jednostronne funkcji $f_{+}^{^{\prime }}(0)$ i $f_{-}^{^{\prime }}(0)$. Wartość funkcji $f$ w punkcie $x_{0}=0$ jest równa $f(0)=1$.

Zadanie 3

Korzystając z definicji pochodnej wyznacz pochodną funkcji $f$ w dowolnym punkcie $x_{0}$ dziedziny:

a) $f(x)=\cos x$,

Odpowiedź $f^{^{\prime }}(x_{0})=-\sin x_{0}$,  $x_0\in \mathbb R$.

Wskazówka  $f^{^{\prime }}(x_{0})=\lim\limits_{x\rightarrow x_{0}}\frac{ f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0}}$. Skorzystać ze wzoru na różnicę cosinusów: $\cos (\alpha )-\cos (\beta )=-2\cdot \sin \left(\frac{\alpha +\beta }{2}\right)\cdot \sin \left(\frac{ \alpha-\beta}{2}\right)$.

b) $f(x)=x^{4}$,

Odpowiedź $f^{^{\prime }}(x_{0})=4x_{0}^{3},$  $x_0\in \mathbb R$.

Wskazówka  $f^{^{\prime }}(x_{0})=\lim\limits_{x\rightarrow x_{0}}\frac{f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0}}$. Skorzystać dwa razy ze wzoru skróconego mnożenia na różnicę kwadratów $x^{2}-x_{0}^{2}=(x-x_{0})(x+x_{0})$.

c) $f(x)=\frac{1}{x}$.

Odpowiedź $f^{^{\prime }}(x_{0})=-\frac{1}{x_{0}^{2}}$,  $x_0\in \mathbb R\setminus \{0\}$. Wskazówka  $f^{^{\prime }}(x_{0})=\lim\limits_{x\rightarrow x_{0}}\frac{f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0}}$.

Zadanie 4

Korzystając ze wzorów bezpośrednich i praw działań na pochodnych oblicz pochodną funkcji:

a) $f(x)=2x^5+4e\sqrt[3]x+\frac1{x^6}-7$,

Odpowiedź  $f^\prime(x)=10x^4+\frac43ex^{-\frac23}-\frac6{x^7}$,

b) $f(x)=x^2\cdot\cos x$,

Odpowiedź  $f^\prime(x)=2x\cdot\cos x-x^2\cdot\sin x$,

c) $f(x)=\frac{\ln x}{x^4-5}$.

Odpowiedź $f^\prime(x)=\frac{\frac1x\cdot (x^4-5)-4x^3\cdot \ln x}{(x^4-5)^2}$.

Zadanie 5

Korzystając ze wzorów bezpośrednich i praw działań na pochodnych oraz twierdzenia o pochodnej funkcji złożonej oblicz pochodną funkcji:

a) $f(x)=e^{4x}-\sin(x^3-2)+\mathrm{arctg}(x^6)-\ln^5 x$,

Odpowiedź  $f^\prime(x)=4e^{4x}-3x^2\cdot\cos(x^3-2)+\frac{6x^5}{1+x^{12}}-\frac{5\ln^4x}x$.

b) $f(x)=\sqrt{x^6+\mathrm{tg}x-e^x+1}$,

Odpowiedź $f^\prime(x)=\frac{6x^5+\frac1{\cos^2x}-e^x}{2\sqrt{x^6+\mathrm{tg}x-e^x+1}}$,

c) $f(x)=\sqrt x\cdot \mathrm{arcsin}3x$, 

Odpowiedź $f^\prime(x)=\frac1{2\sqrt x}\cdot \mathrm{arcsin}3x+\frac{3\sqrt x}{\sqrt{1-9x^2}}$,

d) $(x)=e^{-x}\cdot \sin 2x$,

Odpowiedź $f^\prime(x)=-e^{-x}\cdot \sin2x+2e^{-x}\cos 2x$,

e) $f(x)=\frac{\cos4x}{x^2+4}$, 

Odpowiedź  $f^\prime(x)=\frac{-4\left(x^2+4\right)\cdot\sin4x-2x\cdot\cos4x}{\left(x^2+4\right)^2}$,

f) $f(x)=\frac{\mathrm{tg} 2x+1}{7x-e^{2x}}$.

Odpowiedź  $f^\prime(x)=\frac{\frac2{\cos^22x}\cdot\left(7x-e^{2x}\right)-\left(7-2e^{2x}\right)\cdot\left(\mathrm{tg} 2x+1\right)}{\left(7x-e^{2x}\right)^2}$.

Zadanie 6

Oblicz pochodną funkcji:

a) $f(x)=\frac{\ln^3 x}{2^x\cdot \sin 3x}$, 

Odpowiedź  $f^\prime(x)=\frac{\frac{3\ln^2x}{x}\cdot2^x\cdot \sin 3x-\ln^3x\cdot\left( 2^x\cdot\ln2\cdot\sin3x+2^x\cdot3\cos3x\right)}{2^{2x}\cdot\sin^23x}$,

b) $f(x)=x^7\cdot\log_3 (x^2+5)\cdot \sqrt{\mathrm{arcctg}x}$, 

Wskazówka $f(x)=\big(x^7\cdot\log_3 (x^2+5)\big)\cdot \sqrt{\mathrm{arcctg}x}$,

Odpowiedź  $f^\prime(x)=\left(7x^6\cdot\log_3 (x^2+5)+x^7\cdot \frac{2x}{\left(x^2+5\right)\cdot\ln3}\right)\cdot \sqrt{\mathrm{arcctg}x}-\frac{x^7\cdot\log_3 (x^2+5)}{2\left(x^2+1\right)\cdot\sqrt{\mathrm{arcctg}x}}$,

c) $f(x)=\sin\left(\cos\left(x^5\right)\right)$,

Odpowiedź $f^\prime(x)=-5x^4\cos\left(\cos\left(x^5\right)\right)\cdot\sin \left(x^5\right)$,

d) $f(x)=\sin^5\left(\sqrt{5x\cdot\mathrm{ctg} x}\right)$,

Odpowiedź  $f^\prime(x)=5\sin^4\left(\sqrt{5x\cdot\mathrm{ctg}x}\right)\cdot\cos\left(\sqrt{5x\cdot\mathrm{ctg}x}\right)\cdot \frac1{2\sqrt{5x\cdot\mathrm{ctg} x}}\cdot\left(5\mathrm{ctg}x -\frac{5x}{\sin^2x}\right)$,

e) $f(x)=\left(\mathrm{arctg}x\right)^{\sin x}$.

Wskazówka $f(x)=e^{\sin x\cdot \ln\left(\mathrm{arctg}x\right)}$.

Odpowiedź  $f^\prime(x)=e^{\sin x\cdot \ln\left(\mathrm{arctg}x\right)}\cdot\left(\cos x\cdot \ln\mathrm{arctg}x+\frac{\sin x}{\left(1+x^2\right)\cdot \mathrm{arctg}x}\right)$.

Zadanie 7

Wyznacz równanie stycznej do wykresu funkcji:

a) $f(x)=\frac{x+2}{x^{3}+2x+1}$ w punkcie $x_0=1$,

Odpowiedź $y=-\frac{11}{16}x+\frac{23}{16}$.

Wskazówka  Obliczyć $f(1)$, $f^{^{\prime }}(x)$, $f^{^{\prime }}(1)$. Wartości $f(1)$ i $f^{^{\prime }}(1)$ podstawić do wzoru $y-f(x_{0})=f^{\prime }(x_{0})(x-x_{0})$.

b) $f(x)=x^{3}-4x$ w punkcie $x_{0}=3$,

Odpowiedź  $y=23x-54$.

Wskazówka  Obliczyć $f(3)$, $f^{^{\prime }}(x)$, $f^{^{\prime }}(3)$. Wartości $f(3)$ i $f^{^{\prime }}(3)$ podstawić do wzoru $y-f(x_{0})=f^{\prime }(x_{0})(x-x_{0})$.

c) $f(x)=1-2^{x}$ w punkcie $x_{0}=3$.

Odpowiedź  $y=-8x\ln 2+24\ln 2-7$.

Wskazówka  Obliczyć $f(3)$, $f^{^{\prime }}(x)$, $f^{^{\prime }}(3)$. Wartości $f(3)$ i $f^{^{\prime }}(3)$ podstawić do wzoru $y-f(x_{0})=f^{\prime }(x_{0})(x-x_{0})$.

Zadanie 8

Wyznacz równanie stycznej do wykresu funkcji:

a) $f(x)=\ln x+1$ w punkcie $x_0=e$,

Odpowiedź  $y=\frac{x}{e}+1$.

Wskazówka  Obliczyć $f(e)$, $f^{^{\prime }}(x)$, $f^{^{\prime }}(e)$ i otrzymane wartości $f(e)$ i $f^{^{\prime }}(e)$ podstawić do wzoru $y-f(x_{0})=f^{\prime }(x_{0})(x-x_{0})$.

b) $f(x)=2+xe^{2x}$ w punkcie $x_{0}=0$,

Odpowiedź  $y=x+2$.

Wskazówka  Obliczyć $f(0)$, $f^{^{\prime }}(x)$, $f^{^{\prime }}(0)$ i otrzymane wartości $f(0)$ i $f^{^{\prime }}(0)$ podstawić do wzoru $y-f(x_{0})=f^{\prime }(x_{0})(x-x_{0})$.

c) $f(x)=\mathrm{arctg}^{2}x$ w punkcie $x_{0}=\sqrt{3}$.

Odpowiedź  $y=\frac{\pi }{6}x-\frac{3\sqrt{3}\pi -2\pi ^{2}}{18}$.

Wskazówka  Obliczyć $f(\sqrt{3})$, $f^{^{\prime }}(x)$, $f^{^{\prime }}(\sqrt{3})$ i otrzymane wartości $f(\sqrt{3})$ i $f^{^{\prime }}(\sqrt{ 3})$ podstawić do wzoru $y-f(x_{0})=f^{\prime }(x_{0})(x-x_{0})$.

1

Wykażemy, że funkcja określona wzorem $f(x)=x^{2}+3\ln x$ jest monotoniczna w całej dziedzinie.

Funkcja $f$ jest określona na zbiorze $(0,+\infty)$. Obliczamy pochodną funkcji $f$:

$f^{\prime }(x)=(x^{2}+3\ln x)^{\prime }=(x^{2})^{\prime }+(3\ln x)^{\prime }=2x+\frac{3}{x}$ dla $x\in (0,+\infty)$.

Ponieważ $f^{\prime }(x)>0$ dla $x\in (0,+\infty)$, więc funkcja $f$ jest rosnąca w całej swojej dziedzinie.

Film

2

Wyznaczymy przedziały monotoniczności funkcji określonej wzorem  $f(x)=\ln\frac{x^2-4}{x}$.

Aby wyznaczyć dziedzinę funkcji $f$ należy rozwiązać nierówność $\frac{x^2-4}{x}>0$. Ponieważ

$\frac{x^2-4}{x}>0 \Leftrightarrow  x(x-2)(x+2)>0 \Leftrightarrow x\in (-2,0) \cup (2,\infty)$,

zatem $D=(-2,0) \cup (2,\infty)$. Obliczamy pochodną funkcji $f$:

$f'(x)=\frac{x}{x^2-4} \cdot \frac{2x \cdot x-(x^2-4)\cdot 1}{x^2}=\frac{x^2+4}{x \cdot (x^2-4)}$ dla $x\in D$.

Zauważamy, że  pochodna funkcji jest dodatnia w całej dziedzinie. Nie oznacza to jednak, że funkcja jest rosnąca w całej dziedzinie, gdyż dziedzina nie jest przedziałem a sumą przedziałów. A zatem stwierdzamy, że funkcja $f$ jest rosnąca na przedziale $(-2,0)$ i na przedziale $(2,\infty)$.

3

Wyznaczymy przedziały monotoniczności funkcji określonej wzorem  $f(x)=\frac{x^3}{x-1}$.

W tym przypadku $D=(-\infty,1) \cup (1,\infty)$. Obliczamy pochodną funkcji $f$:

$f'(x)= \left(\frac{x^3}{x-1}\right)^{\prime }=\frac{3x^2 \cdot (x-1)- x^3\cdot 1}{(x-1)^2} =\frac{2 x^{3} - 3 x^{2}}{(x- 1)^2}=\frac{x^2(2x - 3)}{(x- 1)^2}$ dla $x\in D$.

Aby wyznaczyć przedziały monotoniczności funkcji $f$ badamy, gdzie pochodna funkcji  przyjmuje wartości dodatnie, a gdzie ujemne. Ponieważ $(x-1)^{2} >0$ dla każdego $x\in D$ oraz

$x^2(2x - 3) >0\; \Leftrightarrow \; x \in (\frac{3}{2},+\infty )$,

$x^2(2x - 3)$,

więc

$f^{\prime }(x)>0\Leftrightarrow \frac{x^2 (2x - 3)}{(x- 1)^2}>0\Leftrightarrow  x\in (\frac{3}{2},+\infty )$,

$f^{\prime }(x)0\Leftrightarrow  x\in (-\infty ,0)\cup (0,1) \cup (1,\frac{3}{2} )$.

A zatem badana funkcja jest rosnąca na przedziale $(\frac{3}{2},+\infty )$ oraz malejąca na każdym z przedziałów $(-\infty ,0)$, $(0,1)$  i $(1,\frac{3}{2} )$.

Film

4.

Wyznaczymy przedziały monotoniczności funkcji określonej wzorem  $f(x)=x\, e^{4x}$.

Dziedziną funkcji jest zbiór $D=\mathbb R$. Obliczamy pochodną funkcji:

$f^{\prime} (x)=\left(x\, e^{4x}\right)^\prime=x^\prime \cdot e^{4x}+x\cdot \left(e^{4x}\right)^\prime=1\cdot e^{4x}+x\cdot e^{4x}\cdot \left(4x\right)^\prime=e^{4x}+4xe^{4x}=e^{4x}\left(1+4x\right)$ dla $x\in \mathbb R$.

Aby wyznaczyć przedziały monotoniczności funkcji $f$ badamy, gdzie pochodna funkcji  przyjmuje wartości dodatnie, a gdzie ujemne. Ponieważ  $e^{4x}>0$ dla każdego $x\in \mathbb R$ więc 

$f^{\prime} (x)>0 \Leftrightarrow  e^{4x}\left(1+4x\right)>0 \Leftrightarrow 1+4x >0 \Leftrightarrow x\in \left(-\frac14, \infty\right)$,

$f^{\prime} (x)$.

Zatem badana funkcja jest rosnąca na przedziale $\left(-\frac14, \infty\right)$ oraz malejąca na przedziale $\left(-\infty, -\frac14\right)$.

Definicja

Załóżmy, że funkcja $f$ jest różniczkowalna na pewnym otoczeniu punktu $x_0$. Niech $L_0$ będzie styczną do jej wykresu w punkcie $(x_0, f(x_0))$. Funkcję $f$ nazywamy wypukłą w punkcie $x_0$, jeżeli istnieje takie sąsiedztwo $S_{x_0}$ punktu $x_0$, że dla każdego $x\in S_{x_0}$ punkty tej krzywej leżą powyżej stycznej $L_0$, tzn. istnieje sąsiedztwo $S_{x_0}$ punktu $x_0$ takie, że dla $x\in S_{x_0}$ zachodzi nierówność

$f(x)>f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)$.

Definicja

Załóżmy, że funkcja $f$ jest różniczkowalna na pewnym otoczniu punktu $x_0$. Niech $L_0$ będzie styczną do jej wykresu w punkcie $(x_0, f(x_0))$. Funkcję $f$ nazywamy wklęsłą w punkcie $x_0$, jeżeli istnieje takie sąsiedztwo $S_{x_0}$ punktu $x_0$, że dla każdego $x\in S_{x_0}$ punkty tej krzywej leżą poniżej stycznej $L_0$, tzn. istnieje sąsiedztwo $S_{x_0}$ punktu $x_0$ takie, że dla $x\in S_{x_0}$ zachodzi nierówność

$f(x)$.

Definicja

Mówimy, że funkcja $f:(a,b)\rightarrow \mathbb{R}$ jest wypukła (wklęsła) na przedziale $(a,b)$, gdy jest wypukła (wklęsła) w każdym punkcie tego przedziału.

Twierdzenie -- warunek wystarczający wypukłości krzywej

Jeżeli funkcja $f$ jest dwukrotnie różniczkowalna na przedziale $(a,b)$ oraz $f''(x)>0$ dla każdego $x\in (a,b)$, to funkcja $f$ jest wypukła na tym przedziale.

Twierdzenie -- warunek wystarczający wklęsłości krzywej

Jeżeli funkcja $f$ jest dwukrotnie różniczkowalna na przedziale $(a,b)$ oraz $f''(x)$ dla każdego $x\in (a,b)$, to funkcja $f$ jest wklęsła na tym przedziale.

Przykład 1

Wykażemy, że funkcja $f(x)=x\ln x$ jest wypukła w całej dziedzinie.

Rozwiązanie

Dziedziną badanej funkcji jest zbiór $D=(0,+\infty )$.

Obliczamy pochodną tej funkcji $f^{\prime }(x)=\ln x+x\cdot\frac{1}{x}$. Zatem $f^{\prime }(x)=\ln x+1$, $x\in (0,+\infty )$.

Obliczamy teraz drugą pochodną $f^{\prime \prime }(x)= \frac{1}{x}$, $x\in (0,+\infty)$.

Rozwiązujemy nierówność:

$f^{\prime \prime }(x)>0$ $\Leftrightarrow \frac{1}{x}>0$ i $x\in (0,+\infty )\Leftrightarrow x\in (0,+\infty)$.

Ponieważ $f^{\prime \prime}(x)>0$ dla każdego $x\in (0,+\infty )$, to wnioskujemy, że funkcja $f(x)=x\ln x$ jest wypukła w każdym punkcie swojej dziedziny.

Przykład 2

Wykażemy, że funkcja $f(x)=-\frac{4}{5\sqrt{x^{5}}}$ jest wklęsła w całej dziedzinie.

Rozwiązanie

Dziedziną badanej funkcji jest zbiór $D = (0,+\infty)$.

Obliczamy pochodną tej funkcji $f^{\prime }(x)=(-\frac{4}{5\sqrt{x^{5}} })^{\prime }=-4\cdot \frac{1}{5}(x^{-\frac{5}{2}})^{\prime }=-\frac{4}{5} \cdot (-\frac{5}{2})x^{-\frac{7}{2}}=2x^{-\frac{7}{2}}$, czyli $f^{\prime}(x)=\frac{2}{\sqrt{x^{7}}}$, $x\in (0,+\infty )$.

Obliczamy teraz drugą pochodną $f^{\prime \prime }(x)=(\frac{2}{\sqrt{x^{7}}})^{\prime }=2(x^{-\frac{7}{2}})^{\prime }=-7x^{-\frac{9}{2}}$. Zatem $f^{\prime \prime }(x)=-\frac{7}{\sqrt{x^{9}}}$, $x\in (0,+\infty)$.

Rozwiązujemy nierówność:

$f^{\prime \prime }(x)$ $\Leftrightarrow -\frac{7}{\sqrt{x^{9}}}$ $\Leftrightarrow \frac{1}{\sqrt{x^{9}}}>0$ $\Leftrightarrow \sqrt{x^{9}}>0$ $\Leftrightarrow x>0$ i $x\in (0,+\infty )\Leftrightarrow x\in (0,+\infty )$.

Ponieważ $f^{\prime \prime }(x)$ dla każdego $x\in (0,+\infty )$, zatem funkcja $f(x)=-\frac{4}{5\sqrt{x^{5}}}$ jest wklęsła w każdym punkcie swojej dziedziny.

Przykład 3

Wyznaczymy przedziały wypukłości/wklęsłości funkcji $f(x)=xe^{-x}$.

Rozwiązanie

Dziedziną badanej funkcji jest zbiór $D= \mathbb{R}$.

Obliczamy pochodną tej funkcji $f^{\prime }(x)=e^{-x}+xe^{-x}(-1)$, czyli $f^{\prime }(x)=e^{-x}(1-x)$, $x\in \mathbb{R}$.

Obliczamy teraz drugą pochodną $\ f^{\prime \prime }(x)=e^{-x}(-1)(1-x)+e^{-x}(-1)$. Zatem $f^{\prime \prime }(x)=e^{-x}(x-2)$, $x\in \mathbb{R}$.

Rozwiązujemy nierówności:

$f^{\prime \prime }(x)>0$ $\Leftrightarrow e^{-x}(x-2)>0$ $\Leftrightarrow (x-2)>0$ $\Leftrightarrow x>2$ i $x\in \mathbb{R}\Leftrightarrow$ $x\in (2,+\infty )$,

$f^{\prime \prime }(x)$ $\Leftrightarrow e^{-x}(x-2)$ $\Leftrightarrow (x-2)$ $\Leftrightarrow x$ i $x\in \mathbb{R}\Leftrightarrow$ $x\in (-\infty ,2)$.

Ponieważ $f^{\prime \prime }(x)>0$ dla każdego $x\in (2,+\infty)$ zatem funkcja $f(x)=xe^{-x}$ jest wypukła na przedziale $(2,+\infty)$.

Ponieważ $f^{\prime \prime }(x)$ dla każdego $x\in (-\infty ,2)$ zatem funkcja $f(x)=xe^{-x}$ jest wklęsła na przedziale $(-\infty ,2)$.

Ćwiczenie 0

Dokończ poprawnie zdanie wybierając jedną z odpowiedzi.

Zobacz podpowiedź:

Ćwiczenie 1

Zastanów się, które rysunki przedstawiają wykresy funkcji wypukłej/wklęsłej na poszczególnych przedziałach dziedziny.

Ćwiczenie 2

Dokończ zdanie wybierając poprawne odpowiedzi.

Podpowiedź

Ćwiczenie 3

Uzupełnij luki.

Ćwiczenie 4

Druga pochodna funkcji $f :\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ dana jest wzorem $f''(x)=x+3$.

Ćwiczenie 4a

Dany jest wykres drugiej pochodnej funkcji $f(x)=xe^{-x}$. Dopasuj własności: wypukła/wklęsła do poszczególnych fragmentów wykresu.

Ćwiczenie 4b

Druga pochodna funkcji $f:\mathbb{R}\setminus\{0\}\to\mathbb{R}$ jest dodatnia dla $x\in\mathbb{R}\setminus\{0\}$. Zastanów się, czy funkcja może mieć wykres przedstawiony poniżej.

Ćwiczenie 4c

Połącz w pary: wzór i własność funkcji.

Przyciągnij wzory do własności.

Ćwiczenie 4d

Połącz w pary: wykres i własność funkcji.

Ćwiczenie 4e

Druga pochodna funkcji $f$ jest ujemna w całej dziedzinie. Zastanów się, czy funkcja może mieć wykres przedstawiony poniżej.

Ćwiczenie 5

Wiedząc, że funkcja $f$ jest różniczkowalna w punkcie $5$, uzupełnij trzeci wiersz tabeli.

Zawartość pustych pól w tabeli możesz zmienić poprzez kliknięcie.

Ćwiczenie 6

Wybrane informacje o drugiej pochodnej pewnej funkcji $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ zawarte są w poniższej tabeli.

Wybierz rysunki mogące przedstawiać wykres funkcji $f$.

Przenieś wybrane rysunki do obszaru znajdującego się nad nimi.

Ćwiczenie 7

Wybrane informacje o drugiej pochodnej pewnej dwukrotnie różniczkowalnej funkcji $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ zawarte są w poniższej tabeli. Uzupełnij trzeci wiersz tabeli.

Zawartość pustych pól w tabeli możesz zmienić poprzez kliknięcie.

 Definicja
    Punkt $P(x_0,f(x_0))$  nazywamy punktem przegięcia funkcji $f$, jeżeli istnieje styczna do tej krzywej w punkcie $P$ oraz funkcja ta jest
    wypukła (wklęsła) na pewnym lewostronnym oraz wklęsła (wypukła) na pewnym prawostronnym sąsiedztwie punktu $x_0$.
Twierdzenie -- warunek konieczny istnienia punktu przegięcia

Jeżeli funkcja $f$ ma ciągłą pochodną drugiego rzędu w punkcie $x_0$ oraz $(x_0, f(x_0))$
    jest punktem przegięcia tej funkcji, to $f''(x_0)=0.$
Twierdzenie --  I warunek wystarczający istnienia punktu przegięcia
Załóżmy, że funkcja $f$ jest ciągła w punkcie $x_0$ oraz dwukrotnie różniczkowalna na pewnym sąsiedztwie $S_{x_0}$ punktu $x_0$. Jeżeli wykres $f$ ma styczną w punkcie $(x_0, f(x_0))$ oraz
    
    (1) $f''(x)>0$ dla $x\in S^-_{x_0}$ oraz $f''(x)$ dla $x\in S^+_{x_0}$
    lub
    
    (2) $f''(x)$ dla $x\in S^-_{x_0}$ oraz $f''(x)>0$ dla $x\in S^+_{x_0}$,
    to $(x_0, f(x_0))$ jest punktem przegięcia funkcji $f$.

    Twierdzenie -- II warunek wystarczający istnienia punktu przegięcia
    Jeżeli funkcja $f$ ma pochodną trzeciego rzędu w punkcie $x₀$ i spełnia jednocześnie warunki:
(1) $f′′(x₀)=0$,
(2) $f′′′(x₀)≠0$,
(3) funkcja $f′′′$ jest ciągła w punkcie $x₀$, to $(x₀,f(x₀))$ jest punktem przegięcia funkcji $f$.

    Przykład 1
    Pokażemy, że funkcja $f(x)=\frac{e^{x-2}}{x}$ nie posiada punktów przegięcia.
    Rozwiązanie:
    Dziedziną funkcji jest zbiór $D=\mathbb{R}\backslash \left\{ 0\right\}$.
    Obliczamy pierwszą i drugą pochodną funkcji $f$:

$f^{\prime }(x)=\frac{e^{x-2}(x-1)}{x^{2}}$, $x\in \mathbb{R}\backslash \left\{ 0\right\}$,
$f^{\prime \prime }(x) =\frac{e^{x-2}(x^{2}-2x+2)}{x^{3}}$,  $x\in \mathbb{R}\backslash \left\{ 0\right\}\$

i przyrównujemy drugą pochodną do zera:

$f′′(x)=0 \iff \frac{e^{x-2}(x²-2x+2)}{x³}=0 \iff (e^{x-2}=0∨x²-2x+2=0)$. 
Ponieważ $e^{x-2}$ $>0$ i $x^{2}-2x+2\neq0$ dla każdego $x\in\mathbb{R}\backslash \left\{ 0\right\}$, więc powyższe równanie nie posiada rozwiązania, zatem funkcja $f$ nie posiada punktów przegięcia.
    Przykład 2
    Pokażemy, że funkcja $f(x)=4x^3+8x\ln x$ nie posiada punktów przegięcia.
    Rozwiązanie:

    Dziedziną funkcji jest zbiór $D=(0, +\infty)$.
    Obliczamy pierwszą i drugą pochodną funkcji $f$:

$f'(x) =12x^2+8\ln x+8\text{ , }x\in (0, +\infty)$, 
$f''(x)=24x+\frac 8x$, $x\in (0, +\infty)$.
Zauważmy, że dla każdego $x∈(0, +\infty)$ pochodna rzędu drugiego jest dodatnia, zatem nie jest spełniony warunek konieczny istnienia punktu przegięcia i funkcja $f$ nie posiada punktów przegięcia.

Zadania do samodzielnego rozwiązania wypukłość/wklęsłość

Zadanie 1

Wyznacz przedziały wypukłości/wklęsłości funkcji $f$:

(a) $f(x)=\frac{1}{3}x^{3}+2x-1$,

Odpowiedź $D=\mathbb{R}$. Funkcja $f$ jest wypukła na przedziale $(0,+\infty )$, wklęsła na przedziale $(-\infty ,0)$.

Wskazówka Wyznaczyć dziedzinę funkcji, obliczyć pochodną i drugą pochodną funkcji a następnie rozwiązać nierówności $f^{\prime \prime }(x)>0$, $f^{\prime \prime }(x)$.

(b) $f(x)=x-\mathrm{arctg}x$,

Odpowiedź $D=\mathbb{R}$. Funkcja $f$ jest wypukła na przedziale $(0,+\infty )$, wklęsła na przedziale $(-\infty ,0)$.

Wskazówka Wyznaczyć dziedzinę funkcji, obliczyć pochodną i drugą pochodną funkcji a następnie rozwiązać nierówności $f^{\prime \prime }(x)>0$, $f^{\prime \prime }(x)$.

(c) $f(x)=e^{x^{2}}$,

Odpowiedź $D=\mathbb{R}$. Funkcja $f$ jest wypukła na przedziałach $(-\infty ,-\frac{1}{4})$, $(0,+\infty )$, wklęsła na przedziale $(-\frac{1}{4} ,0)$.

Wskazówka Wyznaczyć dziedzinę funkcji, obliczyć pochodną i drugą pochodną funkcji a następnie rozwiązać nierówności $f^{\prime \prime }(x)>0$, $f^{\prime \prime }(x)$.

(d) $f(x)=x^{2}\ln x$.

Odpowiedź $D=(0,+\infty )$. Funkcja $f$ jest wypukła na przedziale $\ (e^{- \frac{3}{2}},+\infty )$, wklęsła na przedziale $(0,e^{-\frac{3}{2}})$.

Wskazówka Wyznaczyć dziedzinę funkcji, obliczyć pochodną i drugą pochodną funkcji a następnie rozwiązać nierówności $f^{\prime \prime }(x)>0$, $f^{\prime \prime }(x)$.

Zadanie 2

Wyznacz przedziały wypukłości/wklęsłości funkcji $f$:

(a) $f(x)=\frac{4x}{x^{2}+1}$,

Odpowiedź $D=\mathbb{R}$. Funkcja $f$ jest wypukła na przedziałach $(-\sqrt{3},0)$, $(\sqrt{3},+\infty )$, wklęsła na przedziałach $(-\infty ,-\sqrt{3})$ , $(0,\sqrt{3})$.

Wskazówka Wyznaczyć dziedzinę funkcji, obliczyć pochodną i drugą pochodną funkcji a następnie rozwiązać nierówności $f^{\prime \prime }(x)>0$, $f^{\prime \prime }(x)$.

(b) $f(x)=(x^{2}+1)e^{x}$,

Odpowiedź $D=\mathbb{R}$. Funkcja $f$ jest wypukła na przedziałach $(-\infty ,-3)$ , $(1,+\infty )$, wklęsła na przedziale $(-3,1)$.

Wskazówka Wyznaczyć dziedzinę funkcji, obliczyć pochodną i drugą pochodną funkcji a następnie rozwiązać nierówności $f^{\prime \prime }(x)>0$, $f^{\prime \prime }(x)$.

(c) $f(x)=\sqrt{x^{2}-1}$,

Odpowiedź $D=\mathbb{(}-\infty ,-1]\cup \lbrack 1,+\infty )$. Funkcja $f$ jest wklęsła na przedziałach $(-\infty ,-1)$, $(1,+\infty )$.

Wskazówka Wyznaczyć dziedzinę funkcji, obliczyć pochodną i drugą pochodną funkcji a następnie rozwiązać nierówności $f^{\prime \prime }(x)>0$, $f^{\prime \prime }(x)$.

(d) $f(x)=e^{\frac{x}{x+1}}$.

Odpowiedź $D=\mathbb{(}-\infty ,-1)\cup (-1,+\infty )$. Funkcja $f$ jest wypukła na przedziałach $(-\infty ,-1)$, $(-1,-\frac{1}{2})$, wklęsła na przedziale $(-\frac{1}{2},+\infty )$.

Wskazówka Wyznaczyć dziedzinę funkcji, obliczyć pochodną i drugą pochodną funkcji a następnie rozwiązać nierówności $f^{\prime \prime }(x)>0$, $f^{\prime \prime }(x)$.

    Zadanie 3

Wyznacz punkty przegięcia oraz przedziały wypukłości i wklęsłości funkcji $f$:

    a) $f(x)=x^3-3x^2$

    Odpowiedź. $D=R.$ Punkt przegięcia $P=(1,-2)$. Funkcja jest wypukła na przedziale $(1,+\infty)$, wklęsła na przedziale $(-\infty,1)$.

    b) $f(x)=x^2e^{-x}$

    Odpowiedź. $D=R$. Funkcja ma dwa punkty przegięcia $P_1=(2-\sqrt2,(2-\sqrt2)^2⋅e^{-2+\sqrt2})$, $P_2=(2+\sqrt2,(2+\sqrt2)^2⋅e^{-2-\sqrt2})$. Funkcja jest wypukła na przedziałach $(-\infty,2-\sqrt2)$, $(2+\sqrt2,+\infty)$, wklęsła na przedziale $(2-\sqrt2,2+\sqrt2)$.

    c) $f(x)=2x+\frac{4}{x}$

    Odpowiedź. $D=\mathbb{R}\backslash \left\{ 0\right\} .$ Brak punktów przegięcia. Funkcja jest wypukła na przedziale $(0,+\infty)$, wklęsła na przedziale $(-∞,0)$.

    d) $f(x)=\ln^2x$

    Odpowiedź. $D=(0,+\infty )$. Funkcja ma jeden punkt przegięcia $P=(e,1)$, jest wypukła na przedziale $(0,e)$, wklęsła na przedziale $(e,+\infty)$.

Zadanie 4

Wyznacz przedziały wypukłości i wklęsłości oraz punkty przegięcia funkcji $f$:

a) $f(x)=\ln (1+x^{2})$

Odpowiedź. $D=R$. Punkty przegięcia: $P_1=(-1,\ln2)$, $P_2=(1,\ln2)$. Funkcja jest wypukła na przedziale $(-1,1)$, wklęsła na przedziałach $(-\infty,-1)$, $(1,+\infty)$.

b)  $f(x)=\frac{x}{\sqrt{1+x^{2}}}$

Odp.  $D=\mathbb{R}.$ Punkt przegięcia:  $P=(0,0).$ Funkcja jest wypukła na przedziale $\left( -\infty,0\right),$ wklęsła na przedziale $\left( 0,+\infty \right) .$

c) $f(x)=\frac{x^{2}+1}{x-3}$

Odpowiedź. $D=\mathbb{R}\backslash \left\{ 3\right\}$.  Brak punktów przegięcia.
Funkcja jest wypukła na przedziale $\left( 3,+\infty \right)$, wklęsła na przedziale $\left( -\infty ,3\right)$.

d) $f(x)=x\ln (1-x)$

Odpowiedź. $D=\left( -\infty ,1\right)$.  Brak punktów przegięcia. Funkcja jest wklęsła na na przedziale $\left( -\infty ,1\right)$.

Przykład 1

Zbadamy przebieg zmienności funkcji $f(x)=\frac{x^2}{x^2+3}$.

Rozwiązanie

1. Dziedziną funkcji $f$ jest zbiór $D=\mathbb R$.

2. Wyznaczymy asymptoty wykresu funkcji $f$. Obliczamy w tym celu granice funkcji na krańcach jej dziedziny:

$\lim\limits_{x\to -\infty} \frac{x^2}{x^2+3}=\lim\limits_{x\to -\infty} \frac{\frac{x^2}{x^2}}{\frac{x^2}{x^2}+\frac3{x^2}}=\lim\limits_{x\to -\infty} \frac{1}{1+\frac3{x^2}}=1$,

$\lim\limits_{x\to +\infty} \frac{x^2}{x^2+3}=\lim\limits_{x\to+\infty} \frac{\frac{x^2}{x^2}}{\frac{x^2}{x^2}+\frac3{x^2}}=\lim\limits_{x\to +\infty} \frac{1}{1+\frac3{x^2}}=1$.

Zatem prosta o równaniu $y=1$ jest asymptotą poziomą wykresu funkcji w $-\infty$ i $+\infty$.

Wykres funkcji  nie ma asymptot pionowych.

3. Wyznaczymy przedziały monotoniczności i ekstrema lokalne funkcji $f$. Obliczamy w tym celu pochodną funkcji.

$f^\prime(x)=\left(\frac{x^2}{x^2+3}\right)^\prime=\frac{\left(x^2\right)^\prime\cdot \left(x^2+3\right)+x^2\cdot\left(x^2+3\right)^\prime}{\left(x^2+3\right)^2}=\frac{2x\cdot\left(x^2+3\right)-x^2\cdot 2x}{\left(x^2+3\right)^2}=\frac{6x}{\left(x^2+3\right)^2}, \; \; x\in\mathbb R$.

Wyznaczamy punkty stacjonarne funkcji:

$f^\prime(x)=0 \iff \frac{6x}{\left(x^2+3\right)^2}=0 \iff {6x}=0 \iff x=0$.

Badamy, gdzie pochodna funkcji przyjmuje wartości dodatnie, a gdzie ujemne.  Zauważmy najpierw, że $\left(x^2+3\right)^2>0$ dla każdego $x\in \mathbb R$, zatem znak funkcji pochodnej będzie taki sam jak znak wyrażenia $6x$. Mamy więc:

$f^\prime(x)>0 \iff \frac{6x}{\left(x^2+3\right)^2}>0 \iff 6x>0 \iff x>0$,

$f^\prime(x)$.

Zatem funkcja jest malejąca na przedziale $\left(-\infty, 0\right)$,  rosnąca na przedziale $\left(0, +\infty \right)$.

Korzystając z I warunku wystarczającego istnienia ekstremum funkcji wnioskujemy, że w punkcie $x=0$ funkcja ma minimum lokalne równe $0$.

4. Wyznaczymy przedziały wypukłości i wklęsłości oraz punkty przegięcia funkcji $f$. Obliczamy w tym celu drugą pochodną funkcji, następnie  rozwiązujemy równanie $f^{\prime\prime}(x)=0$.

$f^{\prime\prime}(x)=\left(\frac{6x}{\left(x^2+3\right)^2}\right)^\prime=\frac{\left(6x\right)^\prime\cdot \left(x^2+3\right)^2-6x\cdot \left(\left(x^2+3\right)^2 \right)^\prime}{\left(x^2+3\right)^4}=\frac{6\cdot \left(x^2+3\right)^2-6x\cdot 2\left(x^2+3\right)\cdot2x }{\left(x^2+3\right)^4}=\frac{\left(x^2+3\right)\cdot \left(-18x^2+18\right)}{\left(x^2+3\right)^4}=\frac{18\left(1-x^2\right)}{\left(x^2+3\right)^3}, \;  \; x\in \mathbb R$.

$f^{\prime\prime}(x)=0 \iff \frac{18\left(1-x^2\right)}{\left(x^2+3\right)^3}=0 \iff 1-x^2=0 \iff \left(1-x\right)\left(1+x\right)=0 \iff \left(x=1 \vee x=-1\right)$.

Badamy, gdzie druga pochodna funkcji przyjmuje wartości dodatnie , a gdzie ujemne. Zauważmy, że $\frac{18}{\left(x^2+3\right)^3}>0$ dla każdego $x\in \mathbb R$, zatem znak funkcji drugiej pochodnej będzie taki sam jak znak wyrażenia $\left(1-x^2\right)$.

$f^{\prime\prime}(x)>0 \iff \frac{18\left(1-x^2\right)}{\left(x^2+3\right)^3}>0 \iff 1-x^2>0 \iff x\in \left(-1, 1\right)$,

$f^{\prime\prime}(x)$.

Zatem funkcja jest wypukła na przedziale $\left(-1, 1\right)$, wklęsła na przedziałach $\left(-\infty, -1\right)$, $\left(1,+\infty\right)$. Punkty $\left(-1, \frac14\right)$, $\left(1, \frac14\right)$ są punktami przegięcia funkcji.

5. Tabelka przebiegu zmienności funkcji $f$.

6. Wykres funkcji $f$.

Przykład 2

Zbadamy przebieg zmienności funkcji $f(x)=\frac{4+\ln x}{x}$.

1.  Dziedziną funkcji $f$ jest zbiór $D=(0, +\infty)$.

2.Wyznaczymy asymptoty wykresu funkcji $f$. Obliczymy w tym celu granice funkcji na krańcach jej dziedziny:

$\lim\limits_{x\to 0^+} \frac{4+\ln x}{x}=\left[\frac{4+\ln 0^+}{0^+}=\frac{4-\infty}{0^+}=-\infty\cdot (+\infty)\right]=-\infty$.

Zatem funkcja ma asymptotę pionową prawostronną $x=0$,

$\lim\limits_{x\to+ \infty} \frac{4+\ln x}{x}=\left[\frac{+\infty}{+\infty}\right]\stackrel{[H]}{=}\lim\limits_{x\to +\infty}\frac{\frac1x}{1}=\lim\limits_{x\to +\infty}\frac{1}{x}=\left[\frac{1}{+\infty}\right]=0$.

Zatem prosta o równaniu $y=0$ jest asymptotą poziomą wykresu funkcji $f$ w $+\infty$.

3.  Wyznaczymy przedziały monotoniczności i ekstrema lokalne funkcji $f$. Obliczamy w tym celu pochodną funkcji.

$f^\prime(x)=\left(\frac{4+\ln x}{x}\right)^\prime=\frac{\left(4+\ln x\right)^\prime\cdot x-\left(4+\ln x\right)\cdot x^\prime}{x^2}=\frac{\frac1x\cdot x-\left(4+\ln x\right)\cdot 1}{x^2}=\frac{-3-\ln x}{x^2}, \; \; x \in (0, +\infty)$.

Wyznaczamy punkty stacjonarne funkcji:

$f^\prime(x)=0 \iff \frac{-3-\ln x}{x^2}=0 \iff {-3-\ln x}=0 \iff \ln x=-3\iff  x=e^{-3}$.

Badamy, gdzie pochodna funkcji przyjmuje wartości dodatnie, a gdzie ujemne.  Zauważmy najpierw, że $x^2>0$ dla każdego $x\in (0, +\infty)$, zatem znak funkcji pochodnej będzie taki sam jak znak wyrażenia $\left(-3-\ln x\right)$. Mamy więc:

$f^\prime(x)>0 \iff \frac{-3-\ln x}{x^2}>0 \iff-3-\ln x>0\iff \ln x$,

$f^\prime(x)$.

Zatem  funkcja jest rosnąca na przedziale $\left(0, e^{-3}\right)$, malejąca na przedziale $\left(e^{-3}, +\infty\right)$.

Korzystając z I warunku wystarczającego istnienia ekstremum funkcji wnioskujemy, że w punkcie $x=e^{-3}$ funkcja ma maksimum lokalne równe $e^3$.

4. Wyznaczymy przedziały wypukłości i wklęsłości oraz punkty przegięcia funkcji $f$. Obliczamy w tym celu drugą pochodną funkcji, następnie  rozwiązujemy równanie $f^{\prime\prime}(x)=0$.

$f^{\prime\prime}(x)=\left(\frac{-3-\ln x}{x^2}\right)^\prime=\frac{\left(-3-\ln x\right)^\prime\cdot x^2-\left(-3-\ln x\right)\cdot \left(x^2\right)^\prime}{x^4}=\frac{-\frac1x\cdot x^2-\left(-3-\ln x\right)\cdot 2x}{x^4}=\frac{x\left(-1+6+2\ln x\right)}{x^4}=\frac{x\left(5+2\ln x\right)}{x^4}=\frac{5+2\ln x}{x^3}, \; \; x\in (0, +\infty)$.

$f^{\prime\prime}(x)=0\iff \frac{5+2\ln x}{x^3}=0 \iff 5+2\ln x=0 \iff \ln x=-\frac 52\iff x=e^{-\frac 52}$.

Badamy, gdzie druga pochodna funkcji przyjmuje wartości dodatnie , a gdzie ujemne. Zauważmy, że $x^3>0$ dla każdego $x\in (0, +\infty)$, zatem znak  drugiej pochodnej  funkcji będzie taki sam jak znak wyrażenia $\left(5+2\ln x\right)$.

$f^{\prime\prime}(x)>0 \iff \frac{5+2\ln x}{x^3}>0 \iff 5+2\ln x>0 \iff \ln x>-\frac 52\iff x\in \left(e^{-\frac 52}, +\infty\right)$,

$f^{\prime\prime}(x)$.

Zatem funkcja $f$ jest wklęsła na przedziale $\left(0, e^{-\frac 52}\right)$, wypukła na przedziale $\left(e^{-\frac 52}, +\infty\right)$, punkt $\left(e^{-\frac 52}, \frac{3}2e^{\frac52}\right)$ jest punktem przegięcia funkcji.

5. Tabelka przebiegu zmienności funkcji f.

6. Wykres funkcji f.

Przykład 3

Zbadamy przebieg zmienności funkcji $f(x)=3\mathrm{arctg}x-2x$.

1. Dziedziną funkcji $f$ jest zbiór $\mathbb R$.

2. Wyznaczymy asymptoty wykresu funkcji $f$. Obliczymy w tym celu granice funkcji na krańcach jej dziedziny:

$\lim\limits_{x\to -\infty} f(x)=\lim\limits_{x\to -\infty}\left(3\mathrm{arctg}x-2x\right)=\left[{3\mathrm{arctg}(-\infty)-2\cdot(-\infty)=\frac {-3\pi}{2}}+\infty\right]=+\infty$,

$\lim\limits_{x\to+ \infty} f(x)=\lim\limits_{x\to+ \infty}\left(3\mathrm{arctg}x-2x\right)=\left[{3\mathrm{arctg}(+\infty)-2\cdot\infty=\frac {3\pi}{2}}-\infty\right]=-\infty$.

Ponieważ obie policzone powyżej granice są niewłaściwe więc wykres funkcji nie ma symptpty poziomej. Sprawdzamy istnienie asymptot ukośnych wykresu funkcji w $-\infty$ i $+\infty$.

W $-\infty$ mamy:

$\lim\limits_{x\to -\infty}\frac{f(x)}{x}= \lim\limits_{x\to -\infty}\frac{3\mathrm{arctg}x-2x}{x}=\lim\limits_{x\to -\infty} \frac{3\mathrm{arctg}x}{x}-2=\left[\frac{3\mathrm{arctg}(-\infty)}{-\infty}-2=\frac{-\frac {3\pi}{2}}{-\infty}-2\right]=-2 \Rightarrow a=-2$,

$\lim\limits_{x\to -\infty}(f(x)-ax)=\lim\limits_{x\to -\infty} \left(3\mathrm{arctg}x-2x-(-2x)\right)=\lim\limits_{x\to -\infty} 3\mathrm{arctg}x=\left[3\mathrm{arctg}(-\infty)\right]=\frac {-3\pi}{2}\Rightarrow b=\frac {-3\pi}{2}$.

Prosta o równaniu $y=ax+b$, czyli $y=-2x-\frac{3\pi}2$ jest asymptotą ukośną wykresu funkcji w $-\infty$.

W $+\infty$ mamy:

$\lim\limits_{x\to +\infty}\frac{f(x)}{x}= \lim\limits_{x\to +\infty}\frac{3\mathrm{arctg}x-2x}{x}=\lim\limits_{x\to +\infty} \frac{3\mathrm{arctg}x}{x}-2=\left[\frac{3\mathrm{arctg}(+\infty)}{+\infty}-2=\frac{\frac {3\pi}{2}}{+\infty}-2\right]=-2 \Rightarrow a=-2$,

$\lim\limits_{x\to+ \infty}(f(x)-ax)=\lim\limits_{x\to +\infty} \left(3\mathrm{arctg}x-2x-(-2x)\right)=\lim\limits_{x\to +\infty} 3\mathrm{arctg}x=\left[3\mathrm{arctg}(+\infty)\right]=\frac {3\pi}{2}\Rightarrow b=\frac {3\pi}{2}$.

Zatem prosta o równaniu $y=-2x+\frac{3\pi}2$ jest asymptotą ukośną wykresu funkcji w $+\infty$.

Podsumowując otrzymujemy, że prosta o równaniu $y=-2x-\frac{3\pi}2$ jest asymptotą ukośną wykresu funkcji w $-\infty$, prosta prosta o równaniu $y=-2x+\frac{3\pi}2$ jest asymptotą ukośną wykresu funkcji w $+\infty$. Wykres funkcji $f$ nie ma asymptot pionowych.

3.  Wyznaczymy przedziały monotoniczności i ekstrema lokalne funkcji $f$. Obliczamy w tym celu pochodną funkcji.

$f^\prime(x)=\left(3\mathrm{arctg}x-2x\right)^\prime=\frac{3}{1+x^2}-2, \; \; x \in \mathbb R$.

Wyznaczamy punkty stacjonarne funkcji:

$f^\prime(x)=0 \iff \frac{3}{1+x^2}-2=0 \iff \frac{3-2(1+x^2)}{1+x^2}=0 \iff\frac{1-2x^2}{1+x^2}=0 \iff 1-2x^2=0 \iff \left(x=-\frac{\sqrt2}2 \; \vee \; x=\frac{\sqrt2}2\right)$.

Badamy, gdzie pochodna funkcji przyjmuje wartości dodatnie, a gdzie ujemne.  Zauważmy najpierw, że $\left(1+x^2\right)>0$ dla każdego $x\in\mathbb R$, zatem znak  pochodnej funkcji będzie taki sam jak znak wyrażenia $\left(1-2x^2\right)$. Mamy więc:

$f^\prime(x)>0 \iff \frac{1-2x^2}{1+x^2}>0\iff {1-2x^2}>0 \iff x\in\left(-\frac{\sqrt 2} 2, \frac{\sqrt2} 2\right)$,

$f^\prime(x)$.

Zatem funkcja jest malejąca na każdym z przedziałów $\left(-\infty, -\frac{\sqrt 2}2\right)$, $\left(\frac{\sqrt 2} 2, +\infty\right)$, rosnąca na przedziale $\left(-\frac{\sqrt 2} 2, \frac{\sqrt2} 2\right)$. Korzystając z I warunku wystarczającego istnienia ekstremum funkcji wnioskujemy, że w punkcie $x=-\frac{\sqrt2}2$ funkcja ma minimum lokalne, równe $-3\mathrm{arctg}\left(\frac{\sqrt 2}2\right)+\sqrt 2$, w punkcie $x=\frac{\sqrt2}2$ funkcja ma maksimum lokalne równe $3\mathrm{arctg}\left(\frac{\sqrt 2}2\right)-\sqrt 2$.

4. Wyznaczymy przedziały wypukłości i wklęsłości oraz punkty przegięcia funkcji $f$. Obliczamy w tym celu drugą pochodną funkcji, następnie  rozwiązujemy równanie $f^{\prime\prime}(x)=0$.

$f^{\prime\prime}(x)=\left(\frac{1-2x^2}{1+x^2}\right)^\prime=\frac{\left(1-2x^2\right)^\prime\cdot \left(1+x^2\right)-\left(1-2x^2\right)\cdot \left(1+x^2\right)^\prime}{\left(1+x^2\right)^2}=\frac{-4x\left(1+x^2\right)-2x\left(1-2x^2\right)}{\left(1+x^2\right)^2}=-\frac{6x}{\left(1+x^2\right)^2}, \; \; x\in \mathbb R$.

$f^{\prime\prime}(x)=0 \iff -\frac{6x}{\left(1+x^2\right)^2} \iff 6x=0 \iff x=0$.

Badamy, gdzie druga pochodna funkcji przyjmuje wartości dodatnie , a gdzie ujemne. Zauważmy, że $\left(1+x^2\right)^2>0$ dla każdego $x\in \mathbb R$, zatem znak funkcji drugiej pochodnej będzie taki sam jak znak wyrażenia $\left(-6x\right)$.

$f^{\prime\prime}(x)>0 \iff -\frac{6x}{\left(1+x^2\right)^2}>0 \iff -6x>0 \iff x$,

$f^{\prime\prime}(x)$.

Zatem funkcja $f$ jest wypukła na przedziale $\left(-\infty, 0\right)$, wklęsła na przedziale $\left(0, +\infty\right)$, w punkcie $\left(0, 0\right)$ funkcja ma punkt przegięcia.

5. Tabelka przebiegu zmienności funkcji f.

6. Wykres funkcji f.

Ćwiczenie 3

Niech $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}.$ Informacje o pierwszej i drugiej pochodnej funkcji $f$ zawarte są w poniższej tabeli. Uzupełnij ostatni wiersz tabeli.

Zawartość pustych pól w tabeli możesz zmienić poprzez kliknięcie.

Zadanie 1

Zbadaj przebieg zmienności funkcji $f(x)=3x^4-8x^3+6x^2$.

Odpowiedź: $D=\mathbb{R}$. $\lim\limits_{x\to -\infty}f(x)=\lim\limits_{x\to +\infty}f(x)=+\infty$, brak asymptot. Funkcja jest malejąca na przedziale $(-\infty, 0)$, rosnąca na przedziale $(0, +\infty)$, w punkcie $x=0$ funkcja ma minimum lokalne równe  $0$. Funkcja jest wypukła na każdym z przedziałów: $(-\infty, \frac13)$, $(1, +\infty)$, wklęsła na przedziale $(\frac13, 1)$, punkty $\left(\frac13, \frac{11}{27}\right)$, $\left(1, 1\right)$ są punktami przegięcia funkcji.

Zadanie 2

Zbadaj przebieg zmienności funkcji $f(x)=\frac{x^2}{x-2}$.

Odpowiedź: $D=\left(-\infty, 2\right)\cup\left(2, +\infty\right)$. Wykres funkcji ma asymptotę pionową obustronną $x=2$, $\lim\limits_{x\to 2^-}f(x)=-\infty$, $\lim\limits_{x\to {2}^+}f(x)=\infty$, asymptotę ukośną o równaniu $y=x+2$ w $-\infty$ i $+\infty$. Funkcja jest rosnąca na każdym z przedziałów: $(-\infty, 0)$, $(4, +\infty)$, malejąca na każdym z przedziałów $(0, 2)$, $(2, 4)$, w punkcie $x=0$ funkcja ma maksimum lokalne równe $0$, w punkcie $x=4$ funkcja ma minimum lokalne równe $8$.  Funkcja jest wklęsła na przedziale $(-\infty, 2)$, wypukła na przedziale $(2, +\infty)$, brak punktów przegięcia.

Zadanie 3

Zbadaj przebieg zmienności funkcji: $f(x)=\frac x{2-\ln x}$.

Odpowiedź: $D=\left(0, e^2\right)\cup \left(e^2, +\infty\right)$. $\lim\limits_{x\to {0}^+}f(x)=0$, wykres funkcji  ma asymptotę pionową obustronną $x=e^2$, $\lim\limits_{x\to {e^2}^-}f(x)=\infty$, $\lim\limits_{x\to {e^2}^+}f(x)=-\infty$, $\lim\limits_{x\to +\infty}f(x)=-\infty$, brak asymptoty ukośnej. Funkcja jest rosnąca na każdym z przedziałów: $(0, e^2)$, $(e^2, e^3)$ malejąca na przedziale $(e^3, +\infty)$, w punkcie $x=e^3$ funkcja ma maksimum lokalne równe $-e^3$. Funkcja jest wypukła na każdym z przedziałów $(0, e^2)$, $(e^4, +\infty)$, wklęsła na przedziale $(e^2, e^4)$, punkt $\left(e^4, -\frac{e^4}{2}\right)$ jest punktem przegięcia funkcji.

Zadanie 4

Zbadaj przebieg zmienności funkcji: $f(x)=x-\ln \left(1+2x\right)$.

Odpowiedź:  $D=\left(-\frac12, +\infty\right)$. Wykres funkcji ma asymptotę pionową prawostronną $x=-\frac12$, $\lim\limits_{x\to {-\frac12}^+}f(x)=\infty$, $\lim\limits_{x\to +\infty}f(x)=+\infty$, brak asymptoty ukośnej. Funkcja jest malejąca na przedziale $\left(-\frac12, \frac12\right)$, rosnąca na przedziale $\left(\frac12, +\infty\right)$, w punkcie $x=\frac12$ funkcja ma minimum lokalne równe  $\frac12-\ln 2$. Funkcja jest wypukła w każdym punkcie swojej dziedziny.

Zadanie 5

Zbadaj przebieg zmienności funkcji: $f(x)=\frac{e^x+1}{e^x-1}$.

Odpowiedź: $D=\left(-\infty, 0\right)\cup \left(0, +\infty\right)$. Wykres funkcji  ma asymptotę pionową obustronną $x=0$, $\lim\limits_{x\to {0}^-}f(x)=-\infty$, $\lim\limits_{x\to {0}^+}f(x)=+\infty$  oraz asymptotę poziomą $y=-1$ w $-\infty$, $y=1$ w $+\infty$.  Funkcja jest malejąca w całej swojej dziedzinie. Funkcja jest wklęsła na przedziale $(-\infty, 0)$, wypukła na przedziale $(0, +\infty)$, brak punktów przegięcia.

Przykład 1
 Stacja orbitalna porusza się prostoliniowo na wysokości $H=400 km$ nad Ziemią z prędkością $v=500 km/h$. Antena odbierająca sygnały znajduje się bezpośrednio pod trajektorią stacji. W każdej chwili oś anteny jest skierowana na stację, Jaka jest prędkość kątowa anteny w chwili, gdy stacja znajduje się  w odległości $D=200$ km od anteny?
    
    Rozwiązanie:

Jeśli współrzędna kątowa ciała określa kąt $\alpha$, to wartość prędkości kątowej $\omega$ jest równa:

    $\omega =\frac{d\alpha }{dt}.$

    gdzie $t$ oznacza czas. 
    RYSUNEK
    

Wyznaczamy zatem kąt $\alpha$. Zauważmy, że 

   $\mathbb{tg} \alpha =\frac{D}{H}=\frac{vt}{H}.$

Stąd

      $\alpha =\mathbb{arctg} \left( \frac{vt}{H}\right).$

Zatem

    $\omega =\frac{d\alpha }{dt}=\frac{d}{dt}\mathbb{arctg} \left( \frac{vt}{H}\right)=\frac{1}{1+\left( \frac{vt}{H}\right)^{2}}\cdot \frac{v}{H}=\frac{vH}{H^{2}+D^{2}}.$

Po podstawieniu danych otrzymujemy, że prędkość kątowa anteny w chwili, gdy stacja znajduje się w odległości $D=200 km$ od anteny wynosi

   $\omega =1\ \left[\frac{\text{rad}}{h}\right].$
   

Przykład 4

Stół bilardowy ma następujący kształt (bandy są w kształcie parabol). Gracz ma
możliwość ustawienia bili w dowolnym miejscu na linii łączącej wierzchołki parabol. Jego zadanie polega na traeniu do pokazanego otworu przy wykorzystaniu dokładnie jednego odbicia od bandy. Zakładając, że ustawił bilę w konkretnym miejscu, w którym kierunku powinien uderzyć?

Przykład 5

z zerami

bez zer