Pochodna funkcji jednej zmiennej: Przykłady

Nawigacja

Menu strony głównej

Wirtualne Wydziały

virTUL

Skróty klawiszowe

Ctrl +Alt +F

Otwórz/zamknij menu główne i przejdź do wyszukiwania pozycji w menu.

Ctrl +Alt +H

Otwórz/zamknij menu główne i przejdź do wyszukiwania przedmiotu.

Ctrl +Alt +M

Otwórz/zamknij menu użytkownika.

Ctrl +Alt +→

Wysuń menu nawigacji po portalu.

Ctrl +Alt +←

Ukryj menu nawigacji po portalu.

Tab

Przejdź do następnej pozycji w menu głównym.

Shift +Tab

Przejdź do poprzedniej pozycji w menu głównym.

Enter

Wybierz wyróżnioną pozycję w menu głównym (przekierowanie do wybranej lokalizacji).

Esc

Zamknij/zwiń aktywne menu.

2.2 Twierdzenie Taylora

Przykłady

Wyznaczymy wielomian Taylora stopnia

$n$

Wartości

$f$

Wyznaczymy wielomian Taylora stopnia

$n$

Wyznaczamy wartość funkcji

$f$

Wyznaczymy wielomian Maclaurina stopnia

$3$

Wyznaczymy wielomian Taylora stopnia

$2$

Pokażemy, że na przedziale $I=(-0.2,0.2)$ $I=(-0.2,0.2)$ funkcję $f(x)=e^x$ można przybliżyć jej wielomianem Maclaurina stopnia drugiego z dokładnością $\varepsilon =0.004$ .

Rozwiązanie

Funkcja $f$ posiada pochodną trzeciego rzędu w $\mathbb{R}$ , zatem na mocy twierdzenia Taylora możemy zapisać:

$f(x)=P_2(x)+R_3(x)$ dla $x\in \mathbb{R}$ ,

gdzie $P_2$ jest wielomianem Maclaurina funkcji $f$ , zaś $R_3$ oznacza resztę Maclarina, przy czym $P_2(x)=1+x+\frac{1}{2} x^2$ , $\ R_3(x)=\frac{e^c}{6}x^3$ dla pewnego $c$ leżącego pomiędzy $0$ a $x$ .

Pokażemy, że dla wszystkich $x\in I$

$\vert f(x)-P_2(x)\vert$ .

Istotnie, jeśli $x\in I$ , to $c\in I$ i $e^c$ . Stąd

$\vert f(x)-P_2(x)\vert=\vert R_3(x)\vert =\vert \frac{e^c}{6}x^3 \vert=\frac{e^c}{6}\vert x\vert ^3$ .

Oszacujemy błąd przybliżenia $\cos x \approx 1 - \frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}$ dla $|x|$ .

Rozwiązanie

Niech $f(x) = \cos x$ . Korzystając ze wzoru Maclaurina dla funkcji $f$ i $n=6$ , mamy

$\cos x = 1 - \frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!} + \frac{f^{(6)} (c)}{6!}x^6$

dla pewnego $c$ leżącego pomiędzy $0$ i $x$ . Oszacujemy moduł reszty $\frac{f^{(6)} (c)}{6!}x^6$ . Ze względu na równość $f^{(6)} (x) = -\cos x$ dostajemy:

$\left|\frac{f^{(6)} (c)}{6!}x^6 \right| = \left|\frac{-\cos c}{6!}x^6 \right| = \frac{|\cos c|}{6!}|x|^6 \leq \frac{1}{6!}\left|x \right|^6 < \frac{1}{6!}\left(\frac{\pi}{3}\right)^6 \approx 0.0018$ .

Kursy oznaczone gwiazdką

Nawigacja

Menu strony głównej

Wirtualne Wydziały

virTUL

Skróty klawiszowe

Rachunek różniczkowy funkcji jednej zmiennej

2.2 Twierdzenie Taylora

Przykłady