Słownik pojęć matematycznych

Wyszukaj pojęcia używając tego indeksu

Specjalne | A | Ą | B | C | Ć | D | E | Ę | F | G | H | I | J | K | L | Ł | M | N | Ń | O | Ó | P | Q | R | S | Ś | T | U | V | W | X | Y | Z | Ź | Ż | Wszystkie

Strona: 1 2 3 4 5 6 (Dalej)
Wszystkie

D

Definicja funkcji wklęsłej na przedziale

Niech $f:(a,b)\to \mathbb{R}$ . Przez $p$ oznaczamy funkcję liniową $p\colon \mathbb{R}\to \mathbb{R}$ przechodzącą przez punkty $(x_1, f(x_1))$ i $(x_2, f(x_2))$ . Mówimy, że funkcja $f$ jest wklęsła na przedziale $(a,b)$ jeżeli dla dowolnych $x_1, x_2\in (a,b)$ , $x_1$ , oraz $x\in (x_1, x_2)$ spełniony jest warunek $f(x)\geq p(x)$ .

Słowa kluczowe:

Definicja funkcji wklęsłej w punkcie

Załóżmy, że funkcja $f$ jest różniczkowalna na pewnym otoczeniu punktu $x_0$ .

Funkcję $f$ nazywamy wklęsłą w punkcie $x_0$ , jeżeli istnieje takie sąsiedztwo $S_{x_0}$ punktu $x_0$ , że dla każdego $x\in S_{x_0}$ zachodzi nierówność $f(x)\leq f(x_0)+f^\prime(x_0)(x-x_0)$ .

Słowa kluczowe:

Definicja funkcji wypukłej na przedziale

Niech $f:(a,b)\to \mathbb{R}$ . Przez $p$ oznaczamy funkcję liniową $p\colon \mathbb{R}\to \mathbb{R}$ przechodzącą przez punkty $(x_1, f(x_1))$ i $(x_2, f(x_2))$ . Mówimy, że funkcja $f$ jest: wypukła na przedziale $(a,b)$ jeżeli dla dowolnych $x_1, x_2\in (a,b)$ , $x_1$ , oraz $x\in (x_1, x_2)$ spełniony jest warunek $f(x)\leq p(x)$ .

Słowa kluczowe:

Definicja funkcji wypukłej w punkcie

Załóżmy, że funkcja $f$ jest różniczkowalna na pewnym otoczeniu punktu $x_0$ .

Funkcję $f$ nazywamy:wypukłą w punkcie $x_0$ , jeżeli istnieje takie sąsiedztwo $S_{x_0}$ punktu $x_0$ , że dla każdego $x\in S_{x_0}$ zachodzi nierówność $f(x)\geq f(x_0)+f^\prime(x_0)(x-x_0)$ .

Słowa kluczowe:

Definicja punktu przegięcia

Punkt $P=(x_0,f(x_0))$ nazywamy punktem przegięcia wykresu funkcji $f$ , jeżeli istnieje styczna do wykresu w punkcie $P$ oraz funkcja $f$ jest wypukła (wklęsła) na pewnym lewostronnym i wklęsła (wypukła) na pewnym prawostronnym sąsiedztwie punktu $x_0$ .

Słowa kluczowe:

Definicja stycznej do wykresu funkcji w punkcie

Załóżmy, że funkcja $f$ jest określona i ciągła na pewnym otoczeniu punktu $x_{0}$ . Styczną do wykresu funkcji $f$ w punkcie $x_{0}$ (w punkcie wykresu $(x_{0}$ , $f(x_{0}))$ ) nazywamy prostą będącą granicznym położeniem siecznych wykresu funkcji $f$ przechodzących przez punkty $(x_{0},f(x_{0}))$ i $(x, f(x))$ , gdy $x\rightarrow x_{0}$ .

Słowa kluczowe:

E

Edycja tekstów matematycznych

	edycja w GeoGebrze
$\infty$	Alt+u
$a \cdot b$	a*b lub a˽b (nie ab)
$\frac{a}{b}$	a/b
$\frac{a}{b+c}$	a/(b+c)
$x^n$	x Alt+n lub x^n
$\sqrt{x}$	sqrt(x)
$\sqrt[3]{x}$	cbrt(x)
$e^x$	e^x lub exp(x)
$\ln x$	ln(x) lub log(x)
$\log_a x$	log(a,x)
$\sin x$	sin(x)
$\arcsin x$	asin(x)
$\text{tg}\,x$	tan(x)
$\text{arctg}\, x$	atan(x)

Słowa kluczowe:

Ekstrema globalne

Niech $f:D \to \mathbb{R}$ , gdzie $D \subset \mathbb{R}$ .

Mówimy, że funkcja $f$ ma w punkcie $x_0$ maksimum globalne (absolutne), jeżeli dla wszystkich $x\in D$

$\ \qquad f(x)\leq f(x_0).$

Mówimy, że funkcja $f$ ma w punkcie $x_0$ minimum globalne (absolutne), jeżeli dla wszystkich $x\in D$

$\ \qquad f(x)\geq f(x_0).$

Jeżeli dla każdego $x\in D\setminus\{x_0\}$ zachodzi nierówność $f(x)< f(x_0)$ $(f(x)> f(x_0))$ , to mówimy o maksimum (minimum) globalnym właściwym.

Słowa kluczowe:

Ekstrema lokalne

Mówimy, że funkcja $f$ ma w punkcie $x_0$

maksimum lokalne, jeżeli istnieje zawarte w dziedzinie funkcji $f$ otoczenie $U_{x_0}$ punktu $x_0$ takie, że $\ \qquad f(x)\leq f(x_0)$ dla wszystkich $x\in U_{x_0}$ ,

minimum lokalne, jeżeli istnieje zawarte w dziedzinie funkcji $f$ otoczenie $U_{x_0}$ punktu $x_0$ takie, że $\ \qquad f(x)\geq f(x_0)$ dla wszystkich $x\in U_{x_0}$ .

Jeżeli dla każdego $x\in S_{x_0}$ zachodzi nierówność $f(x)< f(x_0)$ $(f(x)> f(x_0))$ , to mówimy o maksimum (minimum) lokalnym właściwym.

Słowa kluczowe:

Etapy badania przebiegu zmienności funkcji:

wyznaczenie dziedziny funkcji,
wyznaczenie asymptot wykresu funkcji,
wyznaczenie przedziałów monotoniczności i ekstremów lokalnych funkcji (badanie pierwszej pochodnej funkcji: rozwiązanie równania $f^\prime(x)=0$ oraz nierówności $f^\prime(x)$ i $f^\prime(x)>0$ ),
wyznaczenie przedziałów wypukłości i wklęsłości oraz punktów przegięcia funkcji (badanie drugiej pochodnej funkcji: rozwiązanie równania $f^{\prime\prime}(x)=0$ oraz nierówności $f^{\prime\prime}(x)$ i $f^{\prime\prime}(x)>0)$ ,
zestawienie uzyskanych wyników w tabeli i sporządzenie na tej podstawie wykresu funkcji.