Rachunek różniczkowy funkcji jednej zmiennej

Jeżeli funkcja $f$ jest ciągła na pewnym otoczeniu $U_{x_0}$ i różniczkowalna na sąsiedztwie $S_{x_0}$ punktu $x_0$ oraz

1. $f'(x)>0$ dla $x\in S^-_{x_0}$ oraz $f'(x)$ dla $x\in S^+_{x_0}$

lub

2. $f'(x)$ dla $x\in S^-_{x_0}$ oraz $f'(x)>0$ dla $x\in S^+_{x_0}$,

to funkcja $f$ ma w punkcie $x_0$ ekstremum lokalne właściwe. Jest to maksimum lokalne w przypadku 1 oraz minimum lokalne, gdy zachodzi warunek 2.

Załóżmy, że funkcja $f$ jest ciągła w punkcie $x_0$ oraz dwukrotnie różniczkowalna na pewnym sąsiedztwie $S_{x_0}$ punktu $x_0$. Jeżeli wykres $f$ ma styczną w punkcie $(x_0, f(x_0))$ oraz

$f''(x)>0$ dla $x\in S^-_{x_0}$ oraz $f''(x)$ dla $x\in S^+_{x_0}$

lub

$f''(x)$ dla $x\in S^-_{x_0}$ oraz $f''(x)>0$ dla $x\in S^+_{x_0}$,

to $(x_0, f(x_0))$ jest punktem przegięcia wykresu funkcji $f$.

Jeżeli funkcja $f$ jest dwukrotnie różniczkowalna na pewnym otoczeniu punktu $x_0$ oraz

1. $f'(x_0)=0$,
2. $f''(x_0)\neq 0$,

to funkcja $f$ ma w punkcie $x_0$ ekstremum lokalne właściwe, przy czym jest to maksimum lokalne, jeżeli $f''(x_0)$, oraz minimum lokalne, gdy $f''(x_0)>0$.

Jeżeli funkcja $f$ ma pochodną trzeciego rzędu w punkcie $x_0$ i spełnia jednocześnie warunki:

1. $f''(x_0)=0$,

2. $f'''(x_0)\neq0$,

3. funkcja $f'''$ jest ciągła w punkcie $x_0$,

to $(x_0,f(x_0))$ jest punktem przegięcia wykresu funkcji $f$.

Załóżmy, że funkcja $f$ jest określona na pewnym otoczeniu $U_{x_0}$ punktu $x_{0}$. Niech $\Delta x$ będzie różnym od zera przyrostem zmiennej $x$ takim, że $x_{0}+\Delta x$ należy do tego otoczenia. Niech $\Delta f=f(x_{0}+\Delta x)-f(x_{0})$ będzie przyrostem wartości funkcji odpowiadającym przyrostowi $\Delta x$.

Ilorazem różnicowym funkcji $f$ w punkcie $x_{0}$ dla przyrostu $\Delta x$ nazywamy wyrażenie

$\frac{\Delta f}{\Delta x}=\frac{f(x_{0}+\Delta x)-f(x_{0})}{ \Delta x}$.

Iloraz różnicowy może mieć także postać:

$\frac{\Delta f}{\Delta x}=\frac{f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0}},\text{ } x\in U_{x_0}$.