Rachunek różniczkowy funkcji jednej zmiennej

Zadanie 1

Zbadaj przebieg zmienności funkcji $f(x)=3x^4-8x^3+6x^2$.

Odpowiedź: $D=\mathbb{R}$. $\lim\limits_{x\to -\infty}f(x)=\lim\limits_{x\to +\infty}f(x)=+\infty$, brak asymptot. Funkcja jest malejąca na przedziale $(-\infty, 0)$, rosnąca na przedziale $(0, +\infty)$, w punkcie $x=0$ funkcja ma minimum lokalne równe  $0$. Funkcja jest wypukła na każdym z przedziałów: $(-\infty, \frac13)$, $(1, +\infty)$, wklęsła na przedziale $(\frac13, 1)$, punkty $\left(\frac13, \frac{11}{27}\right)$, $\left(1, 1\right)$ są punktami przegięcia funkcji.

Zadanie 2

Zbadaj przebieg zmienności funkcji $f(x)=\frac{x^2}{x-2}$.

Odpowiedź: $D=\left(-\infty, 2\right)\cup\left(2, +\infty\right)$. Wykres funkcji ma asymptotę pionową obustronną $x=2$, $\lim\limits_{x\to 2^-}f(x)=-\infty$, $\lim\limits_{x\to {2}^+}f(x)=\infty$, asymptotę ukośną o równaniu $y=x+2$ w $-\infty$ i $+\infty$. Funkcja jest rosnąca na każdym z przedziałów: $(-\infty, 0)$, $(4, +\infty)$, malejąca na każdym z przedziałów $(0, 2)$, $(2, 4)$, w punkcie $x=0$ funkcja ma maksimum lokalne równe $0$, w punkcie $x=4$ funkcja ma minimum lokalne równe $8$.  Funkcja jest wklęsła na przedziale $(-\infty, 2)$, wypukła na przedziale $(2, +\infty)$, brak punktów przegięcia.

Zadanie 3

Zbadaj przebieg zmienności funkcji: $f(x)=\frac x{2-\ln x}$.

Odpowiedź: $D=\left(0, e^2\right)\cup \left(e^2, +\infty\right)$. $\lim\limits_{x\to {0}^+}f(x)=0$, wykres funkcji  ma asymptotę pionową obustronną $x=e^2$, $\lim\limits_{x\to {e^2}^-}f(x)=\infty$, $\lim\limits_{x\to {e^2}^+}f(x)=-\infty$, $\lim\limits_{x\to +\infty}f(x)=-\infty$, brak asymptoty ukośnej. Funkcja jest rosnąca na każdym z przedziałów: $(0, e^2)$, $(e^2, e^3)$ malejąca na przedziale $(e^3, +\infty)$, w punkcie $x=e^3$ funkcja ma maksimum lokalne równe $-e^3$. Funkcja jest wypukła na każdym z przedziałów $(0, e^2)$, $(e^4, +\infty)$, wklęsła na przedziale $(e^2, e^4)$, punkt $\left(e^4, -\frac{e^4}{2}\right)$ jest punktem przegięcia funkcji.

Zadanie 4

Zbadaj przebieg zmienności funkcji: $f(x)=x-\ln \left(1+2x\right)$.

Odpowiedź:  $D=\left(-\frac12, +\infty\right)$. Wykres funkcji ma asymptotę pionową prawostronną $x=-\frac12$, $\lim\limits_{x\to {-\frac12}^+}f(x)=\infty$, $\lim\limits_{x\to +\infty}f(x)=+\infty$, brak asymptoty ukośnej. Funkcja jest malejąca na przedziale $\left(-\frac12, \frac12\right)$, rosnąca na przedziale $\left(\frac12, +\infty\right)$, w punkcie $x=\frac12$ funkcja ma minimum lokalne równe  $\frac12-\ln 2$. Funkcja jest wypukła w każdym punkcie swojej dziedziny.

Zadanie 5

Zbadaj przebieg zmienności funkcji: $f(x)=\frac{e^x+1}{e^x-1}$.

Odpowiedź: $D=\left(-\infty, 0\right)\cup \left(0, +\infty\right)$. Wykres funkcji  ma asymptotę pionową obustronną $x=0$, $\lim\limits_{x\to {0}^-}f(x)=-\infty$, $\lim\limits_{x\to {0}^+}f(x)=+\infty$  oraz asymptotę poziomą $y=-1$ w $-\infty$, $y=1$ w $+\infty$.  Funkcja jest malejąca w całej swojej dziedzinie. Funkcja jest wklęsła na przedziale $(-\infty, 0)$, wypukła na przedziale $(0, +\infty)$, brak punktów przegięcia.