Pochodna funkcji jednej zmiennej -5sty

Definicja 1 Załóżmy, że funkcja $f$ jest określona na pewnym otoczeniu $U_{x_{0}}$ punktu $x_{0}$. Niech $\triangle x$ będzie różnym od zera przyrostem zmiennej $x$ takim,  że $x_{0}+\triangle x$ należy do tego otoczenia. Niech $\triangle f=f(x_{0}+\triangle x)-f(x_{0})$ będzie przyrostem wartości funkcji odpowiadającym przyrostowi $\triangle x.$ Ilorazem różnicowym funkcji $f$ w punkcie $x_{0}$ dla przyrostu  $\triangle x$  nazywamy wyrażenie

$\frac{\triangle f}{\triangle x}=\frac{f(x_{0}+\triangle x)-f(x_{0})}{\triangle x}.$

Jeżeli istnieje i jest skończona granica

$\lim\limits_{\triangle x\rightarrow 0}\frac{\triangle f}{\triangle x},$

to nazywamy ją pochodną funkcji $f$ w punkcie $x_{0}$ i oznaczamy $f^{\prime }(x_{0})$ lub $\frac{df}{dx}(x_{0})$.

Zatem

$f^{\prime }(x_{0})=\lim\limits_{\triangle x\rightarrow 0}\frac{ f(x_{0}+\triangle x)-f(x_{0})}{\triangle x}$

(o ile granica ta istnieje i jest skończona).

Uwaga 1  Iloraz różnicowy może być także zapisany w postaci

$\frac{\triangle f}{\triangle x}=\frac{f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0}},\text{ }x\in U_{x_{0}}.$

Wówczas pochodna funkcji $f$ w punkcie $x_{0}$ ma postać

$f^{\prime }(x_{0})=\lim\limits_{\triangle x\rightarrow 0}\frac{ f(x_{0}+\triangle x)-f(x_{0})}{\triangle x}.$

Definicja 2 Załóżmy, że funkcja $f$ jest określona na pewnym prawostronnym otoczeniu $x_{0}$. Niech $\triangle x$ będzie różnym od zera przyrostem zmiennej $x$ takim, że $x_{0}+\triangle x$ należy do tego otoczenia. Niech $\triangle f=f(x_{0}+\triangle x)-f(x_{0})$ będzie przyrostem funkcji odpowiadającym przyrostowi $\triangle x.$ Jeżeli istnieje i jest skończona granica

$\lim\limits_{\triangle x\rightarrow 0^{+}}\frac{f(x_{0}+\triangle x)-f(x_{0})}{\triangle x}$

to nazywamy ją pochodną prawostronną funkcji $f$ w punkcie $x_{0}$ i oznaczamy $f_{+}^{^{\prime }}(x_{0})$ lub $\frac{df}{dx} (x_{0}^{+})$. Zatem

$f_{+}^{^{\prime }}(x_{0})=\lim\limits_{\triangle x\rightarrow 0^{+}}\frac{ f(x_{0}+\triangle x)-f(x_{0})}{\triangle x}.$

Uwaga 2   Pochodna prawostronna funkcji $f$ w punkcie $x_{0}$ może być także zapisana w postaci

$f_{+}^{^{\prime }}(x_{0})=\lim\limits_{x\rightarrow x_{0}^{+}}\frac{ f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0}},\text{ }x\in U^{+}_{x_{0}}.$

Definicja 3  Załóżmy, że funkcja $f$ jest określona na pewnym lewostronnym otoczeniu $x_{0}$. Niech $\triangle x$ będzie różnym od zera przyrostem zmiennej $x$ takim, że $x_{0}+\triangle x$ należy do tego otoczenia. Niech $\triangle f=f(x_{0}+\triangle x)-f(x_{0})$ będzie przyrostem funkcji odpowiadającym przyrostowi $\triangle x.$ Jeżeli istnieje i jest skończona granica

$\lim\limits_{\triangle x\rightarrow 0^{-}}\frac{f(x_{0}+\triangle x)-f(x_{0})}{\triangle x}$

to nazywamy ją pochodną lewostronną funkcji $f$ w punkcie $x_{0}$ i oznaczamy $f_{-}^{^{\prime }}(x_{0})$ lub $\frac{df}{dx}(x_{0}^{-})$. Zatem

$f_{-}^{^{\prime }}(x_{0})=\lim\limits_{\triangle x\rightarrow 0^{-}}\frac{ f(x_{0}+\triangle x)-f(x_{0})}{\triangle x}$

Uwaga 3   Pochodna lewostronna funkcji $f$ w punkcie $x_{0}$ może być także zapisana w postaci

$f_{-}^{^{\prime }}(x_{0})=\lim\limits_{x\rightarrow x_{0}^{-}}\frac{ f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0}},\text{ }x\in U^{-}_{x_{0}}.$

Twierdzenie 1 Warunek konieczny i wystarczający istnienia pochodnej w punkcie Funkcja $f$ ma pochodną w punkcie $x_{0}$ wtedy i tylko wtedy, gdy istnieją i są sobie równe pochodne jednostronne funkcji $f$ w punkcie $x_{0}$. Wówczas

$f^{^{\prime }}(x_{0})=f_{+}^{^{\prime }}(x_{0})=f_{-}^{^{\prime }}(x_{0}).$

Definicja 4 Załóżmy, że funkcja $f$ jest określona i ciągła na pewnym otoczeniu punktu $x_{0}$. Mówimy, że funkcja $f$ ma pochodną niewłaściwą w punkcie $x_{0}$, gdy

$\lim\limits_{\triangle x\rightarrow 0}\frac{f(x_{0}+\triangle x)-f(x_{0})}{ \triangle x}=-\infty \text{ lub }\lim\limits_{\triangle x\rightarrow 0}\frac{f(x_{0}+\triangle x)-f(x_{0})}{\triangle x}=+\infty \text{.}$

Wówczas piszemy

  $f^{^{\prime }}(x_{0})=-\infty \text{ lub }f^{^{\prime }}(x_{0})=+\infty \text{.}$

Definicja 5 Załóżmy, że funkcja $f$ jest określona i ciągła na pewnym prawostronnym otoczeniu punktu $x_{0}$. Mówimy, że funkcja $f$ ma pochodną niewłaściwą prawostronną w punkcie $x_{0}$, gdy

$\lim\limits_{\triangle x\rightarrow 0^{+}}\frac{f(x_{0}+\triangle x)-f(x_{0}) }{\triangle x}=-\infty \text{ lub }\lim\limits_{\triangle x\rightarrow 0^{+}} \frac{f(x_{0}+\triangle x)-f(x_{0})}{\triangle x}=+\infty \text{.}$

Wówczas piszemy

$f_{+}^{^{\prime }}(x_{0})=-\infty \text{ lub }f_{+}^{^{\prime }}(x_{0})=+\infty \text{.}$

Definicja 6 Załóżmy, że funkcja $f$ jest określona i ciągła na pewnym lewostronnym otoczeniu punktu $x_{0}$. Mówimy, że funkcja $f$ ma pochodną niewłaściwą prawostronną w punkcie $x_{0}$, gdy

$\lim\limits_{\triangle x\rightarrow 0^{-}}\frac{f(x_{0}+\triangle x)-f(x_{0}) }{\triangle x}=-\infty \text{ lub }\lim\limits_{\triangle x\rightarrow 0^{-}}\frac{f(x_{0}+\triangle x)-f(x_{0})}{\triangle x}=+\infty \text{.}$

Wówczas piszemy

$f_{-}^{^{\prime }}(x_{0})=-\infty \text{ lub }f_{-}^{^{\prime }}(x_{0})=+\infty \text{.}$

Definicja 7  Załóżmy, że funkcja f jest określona, ciągła i ma pochodną w każdym punkcie x zbioru A. Funkcję

$f^{^{\prime }}:x\rightarrow f^{^{\prime }}(x),x\in \text{A}$

nazywamy funkcją pochodną lub pochodną funkcji $f$ na zbiorze A.

Definicja 8 Funkcję jednej zmiennej, która ma pochodną w punkcie $x_{0}$ nazywamy funkcją różniczkowalną w tym punkcie.

Twierdzenie 2 Jeżeli funkcja $f$ jest różniczkowalna w punkcie $x_{0}$, to jest ciągła w tym punkcie.

Uwaga 4 Implikacja odwrotna nie zachodzi, tzn. nie jest prawdą, że jeżeli funkcja jest ciągła w punkcie $x_{0}$, to jest różniczkowalna w tym punkcie. Przykładem funkcji, która jest ciągła i nieróżniczkowalna w $x_{0}=0$ jest $f(x)=|x|$.

Przykład 1 

Korzystając z definicji obliczymy pochodną funkcji $f(x)=1-x^{2}$ w punkcie $x_{0}=3.$

Rozw.

$f^{^{\prime }}(3)=\lim\limits_{x\rightarrow 3}\frac{f(x)-f(3)}{x-3} =\lim\limits_{x\rightarrow 3}\frac{(1-x^{2})-(1-3^{2})}{x-3} =\lim\limits_{x\rightarrow 3}\frac{1-x^{2}-1+9}{x-3}=$

$=\lim\limits_{x\rightarrow 3}\frac{-x^{2}+9}{x-3}=\lim\limits_{x\rightarrow 3}\frac{9-x^{2}}{x-3}=\lim\limits_{x\rightarrow 3}\frac{(3-x)(3+x)}{x-3}=$

$=\lim\limits_{x\rightarrow 3}\frac{-(x-3)(3+x)}{x-3}=\lim\limits_{x \rightarrow 3}\frac{-(3+x)}{1}=\lim\limits_{x\rightarrow 3}(-3-x)=-6.$

Przykład 2 

Obliczymy teraz pochodne jednostronne funkcji  $f(x)=|x-a|$ w punkcie $x_{0}=a$, gdzie $a\in R$.

Rozw.

Iloraz różnicowy ma postać:

$I(x)=\frac{f(x)-f(a)}{x-a}=\frac{|x-a|-|a-a|}{x-a}=\frac{|x-a|-0}{x-a}=\frac{ |x-a|}{x-a}.$

Korzystając z definicji modułu mamy

$|x-a|=$

Obliczamy teraz

$f_{+}^{^{\prime }}(a)=\lim\limits_{x\rightarrow a^{+}}\frac{|x-a|}{x-a} =\lim\limits_{x\rightarrow a^{+}}\frac{x-a}{x-a}=\lim\limits_{x\rightarrow a^{+}}(1)=1$

$f_{-}^{^{\prime }}(a)=\lim\limits_{x\rightarrow a^{-}}\frac{|x-a|}{x-a} =\lim\limits_{x\rightarrow a^{-}}\frac{-(x-a)}{x-a}=\lim\limits_{x \rightarrow a^{-}}(-1)=-1.$

Czyli

$f_{+}^{^{\prime }}(a)\not=f_{-}^{^{\prime }}(a)$

zatem nie istnieje pochodna funkcji   w punkcie  $x_ 0=a.$

Przykład 3 

Obliczymy pochodną funkcji $f(x)=\sqrt{x}$ w dowolnym punkcie $x_{0}>0.$

Rozw.

$f^{^{\prime }}(x_{0})=\lim\limits_{x\rightarrow x_{0}}\frac{f(x)-f(x_{0})}{ x-x_{0}}=\lim\limits_{x\rightarrow x_{0}}\frac{\sqrt{x}-\sqrt{x_{0}}}{x-x_{0} }=$

$=\lim\limits_{x\rightarrow x_{0}}\frac{\sqrt{x}-\sqrt{x_{0}}}{(\sqrt{x}- \sqrt{x_{0}})(\sqrt{x}+\sqrt{x_{0}})}=\lim\limits_{x\rightarrow x_{0}}\frac{1 }{\sqrt{x}+\sqrt{x_{0}}}=\frac{1}{\sqrt{x_{0}}+\sqrt{x_{0}}}..$

Czyli

$f^{^{\prime }}(x_{0})=\frac{1}{2\sqrt{x_{0}}}\text{.}$

Twierdzenie -- reguła de l'Hospitala.

Niech funkcje $f,g$ będą różniczkowalne na pewnym sąsiedztwie punktu $x_0$. Jeżeli

1. $\lim\limits_{x\to x_0}f(x)=0, \quad \lim\limits_{x\to x_0}g(x)=0$,
2. istnieje granica $\displaystyle\lim\limits_{x\to x_0}\frac{f'(x)}{g'(x)}$ (właściwa lub niewłaściwa),

to istnieje granica $\displaystyle\lim\limits_{x\to x_0}\frac{f(x)}{g(x)}$, przy czym

$\displaystyle\lim\limits_{x\to x_0}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim\limits_{x\to x_0}\frac{f'(x)}{g'(x)}.$

Uwaga 1. Powyższe twierdzenie dotyczy symbolu nieoznaczonego typu $\frac 00$, ale przy odpowiedniej zmianie założeń pozostaje prawdziwe dla symbolu $\frac{\infty}{\infty}$ oraz dla granic jednostronnych i granic w $\pm \infty$.

Uwaga 2. Regułę można także stosować do pozostałych symboli nieoznaczonych, po sprowadzeniu ich do symbolu $\frac 00$ lub $\frac{\infty}{\infty}$ w następujący sposób:

• symbol $0\cdot \infty$ sprowadzamy do $\frac 00$ lub $\frac{\infty}{\infty}$ za pomocą przekształceń:
  $\ \qquad f(x)\cdot g(x)=\frac{f(x)}{\frac{1}{g(x)}}=\frac{g(x)}{\frac{1}{f(x)}};$
• symbol $\infty - \infty$ przekształcamy najpierw do symbolu $0\cdot \infty$ a następnie do $\frac 00$ lub $\frac{\infty}{\infty}$:
  $\ \qquad f(x)- g(x)=f(x)g(x)\left( \frac{1}{g(x)}-\frac{1}{f(x)}\right)=\frac{\frac{1}{g(x)}-\frac{1}{f(x)}}{\frac{1}{f(x)g(x)}};$
  
• symbole $1^{\infty}$, $0^0$ oraz $\infty^0$ sprowadzamy do $0\cdot \infty$ za pomocą tożsamości $f(x)^{g(x)}=e^{g(x)\cdot \ln f(x)}$ (wyrażenie $f(x)\cdot \ln g(x)$ jest zawsze wówczas symbolem typu $0\cdot \infty$).

Przykład 1

Obliczymy granice funkcji:

a)  $\underset{x\rightarrow 0}{\lim }\, \dfrac{e^x-1}{2\sin x}\quad$  b)  $\underset{x\rightarrow +\infty }{\lim }\, \dfrac{x}{\ln x} \quad$ c)  $\underset{x\rightarrow 0^{+}}{\lim }\, \dfrac{\ln x }{x}.$

a)  Zaczynamy od określenia symbolu granicy, aby zdecydować,  czy można zastosować regułę de l'Hospitala.

$\underset{x\rightarrow 0}{\lim}\,$ $\dfrac{e^x-1}{2\sin x} = \left[\dfrac{0}{0}\right]$

Następnie badamy, czy istnieje granica ilorazu pochodnych:

$\underset{x\rightarrow 0}{\lim }\, \dfrac{(e^x-1)'}{(2\sin x)'}=$ $\underset{x\rightarrow 0 }{\lim }\, \dfrac{e^x}{2\cos x} =\dfrac{1}{2}$

Na mocy reguły de l'Hospitala otrzymujemy odpowiedź

$\underset{x\rightarrow 0}{\lim }\, \dfrac{e^x-1}{2\sin x} =\dfrac{1}{2}.$

Zwykle stosując regułę de l'Hospitala stosujemy uproszczony zapis, przedstawiony w rozwiązaniu kolejnego zadania.

b)  $\underset{x\rightarrow +\infty }{\lim }\, \dfrac{x}{\ln x} = \left[\dfrac{\infty}{\infty}\right] \overset{\text{H}}{=}$$\underset{x\rightarrow +\infty }{\lim }\, \dfrac{(x)'}{(\ln x)'} =\underset{x\rightarrow +\infty }{\lim }\, \dfrac{1}{\frac{1}{x}} =\underset{x\rightarrow +\infty }{\lim }\, x = +\infty$

c)  Określamy symbol badanej granicy:

$\underset{x\rightarrow 0^{+} }{\lim }\, \dfrac{\ln x }{x} = \left[\dfrac{-\infty}{0^{+}}\right].$

Symbol granicy jest oznaczony, a zatem w tym przypadku nie można wykorzystać reguły de l'Hospitala. Aby obliczyć granicę należy zastosować odpowiednie twierdzenia arytmetyki granic funkcji:

$\underset{x\rightarrow 0^{+} }{\lim }\, \dfrac{\ln x }{x} = \underset{x\rightarrow 0^{+} }{\lim }\, \ln x \cdot \dfrac{1}{x} =\left[-\infty \cdot \dfrac{1}{0^{+}}\right] = [-\infty \cdot \infty]=-\infty.$

Na koniec zauważmy, że w tym przypadku

$\underset{x\rightarrow 0^{+} }{\lim }\, \dfrac{(\ln x)'}{(x)'} =\underset{x\rightarrow 0^{+} }{\lim }\, \dfrac{\frac{1}{x}}{1} = \left[\dfrac{1}{0^{+}}\right] = +\infty ,$

a zatem granica ilorazu pochodnych różni się od badanej granicy.

Przykład 2

Obliczymy granice funkcji:

a) $\underset{x\rightarrow 0}{\lim }\,\dfrac{x\cos 2x}{x+\arcsin x}\qquad$  b) $\underset{x\rightarrow +\infty }{\lim }\dfrac{e^{x^{2}}}{x^{3}}\qquad$ c)  $\underset{x\rightarrow 0^{+}}{\lim }\,\dfrac{\ln (\sin x )}{\ln ^{2}{x}}.$

a) $\underset{x\rightarrow 0}{\lim }\,\dfrac{x\cos 2x}{x+\arcsin x} = \left[\dfrac{0}{0}\right]\overset{\text{H}}{=} \underset{x\rightarrow 0}{\lim }\dfrac{(x\cos 2x)'}{(x+\arcsin x)'}=\underset{x\rightarrow 0}{\lim }\,\dfrac{\cos 2x-x\sin 2x\cdot 2}{1+\frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}}}=$$\left[\dfrac{1-0}{1+1}\right]=\dfrac{1}{2}\,.$

b) W przypadku tej granicy regułę de l'Hospitala zastosujemy dwukrotnie:

$\underset{x\rightarrow + \infty }{\lim }\dfrac{e^{x^{2}}}{x^{3}}=\left[ \dfrac{\infty }{\infty }\right] \overset{\text{H}}{=}\underset{x\rightarrow +\infty } {\lim }\dfrac{(e^{x^{2}})^{\prime }}{(x^{3})^{\prime }}=\underset{ x\rightarrow +\infty }{\lim }\dfrac{e^{x^{2}}\cdot 2x}{3x^{2}}=\underset{ x\rightarrow +\infty }{\lim }\dfrac{2e^{x^{2}}}{3x}=\left[ \dfrac{\infty }{\infty }\right] \overset{\text{H}}{=}$

$=\underset{ x\rightarrow +\infty }{\lim }\dfrac{(2e^{x^{2}})^{\prime }}{(3x)^{\prime }}=\underset{x\rightarrow +\infty }{\lim }\dfrac{2e^{x^{2}}\cdot 2x}{3 }=\left[ \dfrac{\infty}{3} \right] =\infty .$

c)  $\underset{x\rightarrow 0^{+}}{\lim }\,\dfrac{\ln (\sin x )}{\ln ^{2}{x}}=\left[ \dfrac{-\infty }{\infty }\right] \overset{\text{H}}{=}\underset{x\rightarrow 0^{+}}{\lim }\,\dfrac{\frac{1}{\sin x}\cdot \cos x}{2\ln x \cdot \frac{1}{x}}=\underset{x\rightarrow 0^{+}}{\lim }\,\dfrac{x}{\sin x} \cdot \dfrac{\cos x}{2\ln x}=\left[ 1\cdot\dfrac{1}{-\infty}\right] =0$

Wykorzystaliśmy tutaj fakt, że $\underset{x\rightarrow 0}{\lim }\,\dfrac{\sin x}{x}=1$.

Przykład 3

Obliczymy granice funkcji:

a)  $\underset{x\rightarrow \infty}{\lim }\,\dfrac{x-\sin x }{x} \qquad$ b)  $\underset{x\rightarrow \infty}{\lim }\,\dfrac{\sqrt{x^2+1}}{x}$.

Rozwiązanie

Podobnie jak w poprzednich przykładach zaczynamy od określenia symbolu badanej granicy

$\underset{x\rightarrow +\infty }{\lim }\, \dfrac{x-\sin x }{x} = \left[\dfrac{\infty}{\infty}\right],$

przy czym $\underset{x\rightarrow +\infty }{\lim }(x-\sin x)=\infty$ na mocy twierdzenia o dwóch ciągach.

W tym przypadku nie możemy wykorzystać reguły de l'Hospitala, gdyż

$\underset{x\rightarrow +\infty}{\lim}\,\dfrac{(x-\sin x)' }{(x)'}=\underset{x\rightarrow +\infty }{\lim}\,\dfrac{1-\cos x}{1},$

zaś taka granica nie istnieje. Nie oznacza to jednak, że nie istnieje badana granica -- trzeba tylko policzyć ją innym sposobem. Ponieważ

$\displaystyle\underset{x>0}{\bigwedge }-\underset{\underset{0}{\downarrow }}{\dfrac{1}{x}} \leq \dfrac{\sin x}{x}\leq \underset{\underset{0}{\downarrow }}{\dfrac{1}{x}} ,$

więc na mocy twierdzenia o trzech ciągach$\underset{x\rightarrow +\infty }{\lim }\dfrac{\sin x}{x}=0.$

Stąd $\underset{x\rightarrow +\infty }{\lim }\dfrac{x-\sin x }{x}=\underset{x\rightarrow +\infty }{\lim }\left(1-\dfrac{\sin x}{x} \right)=[1-0]=1.$

b)  W tym przypadku

$\underset{x\rightarrow \infty}{\lim }\,\dfrac{\sqrt{x^2+1}}{x}=\left[\dfrac{\infty}{\infty}\right]\overset{\text{H}}{=}\underset{x\rightarrow \infty}{\lim }\,\dfrac{\frac{1}{2\sqrt{x^2+1}}\cdot 2x}{1}=\underset{x\rightarrow \infty}{\lim }\,\dfrac{x}{\sqrt{x^2+1}}\overset{\text{H}}{=}\underset{x\rightarrow \infty}{\lim }\,\dfrac{\sqrt{x^2+1}}{x},$

a zatem stosowanie reguły de l'Hospitala nie jest efektywne. Granicę funkcji możemy jednak obliczyć w inny sposób:

$\underset{x\rightarrow \infty}{\lim }\,\dfrac{\sqrt{x^2+1}}{x}=\underset{x\rightarrow \infty}{\lim }\,\dfrac{\sqrt{x^2+1}}{\sqrt{x^2}}=\underset{x\rightarrow \infty}{\lim }\,\sqrt{1+\dfrac{1}{x^2}}=1$

Zadanie 1.

Stosując regułę de l'Hospitala oblicz granice funkcji:

(a) $\lim\limits_{x\to\infty}\frac {e^{3x}}{x+3}\quad$    Odp. $\infty$

(b) $\lim\limits_{x\to\infty}\frac{x^2+1}{\ln x};\quad$ Odp. $\infty$

(c) $\lim\limits_{x\to0}\frac{\sin x}{e^x-1};\quad$ Odp. $1$

(d) $\lim\limits_{x\to0}\frac{\mathrm{arctg}x}{\arcsin x};\quad$ Odp. $1$

(e) $\lim\limits_{x\to4^-}\frac{\mathrm{arctg}(x-4)}{\sqrt x-2};\quad$ Odp. $4$

(f) $\lim\limits_{x\to1^+}\frac{\ln(2-x)}{(x-1)^2};\quad$ Odp. $-\infty$

(g) $\lim\limits_{x\to0}\frac{x-\sin x}{x-\mathrm{tg} x};\quad$ Odp. $-\frac{1}2$

(h) $\lim\limits_{x\to-\infty}\frac{\sin\frac1x}{1-e^{\frac1x}};\quad$ Odp. $-1$

(i) $\lim\limits_{x\to0}\frac{x^2}{1-\sqrt{\cos x}};\quad$ Odp. $4$

Zadanie 2.

Oblicz granice funkcji:

(a) $\lim\limits_{x\to\infty}\left(e^x-\ln x\right);\quad$ Wskazówka $\quad \left(e^x-\ln x\right)= e^x\cdot \left(1-\frac{\ln x}{e^ x}\right);\quad$ Odp.$\infty$

(b) $\lim\limits_{x\to0^+}\left(\frac1x-\frac{1}{\mathrm{tg} x}\right);\quad$ Wskazówka $\quad \left(\frac1x-\frac{1}{\mathrm{tg} x}\right)=\frac{\mathrm{tg} x-x}{x\mathrm{tg} x};\quad$ Odp. $0$

(c) $\lim\limits_{x\to-\infty}\left(x^2+1\right)\cdot e^x;\quad$ Wskazówka $\quad \left(x^2+1\right)\cdot e^x= \frac{x^2-1}{e^{-x}};\quad$ Odp. $0$

(d) $\lim\limits_{x\to0^+}\frac1{x\ln x};\quad$ Wskazówka $\quad x\cdot\ln x=\frac{\ln x}{\frac{1}x};\quad$ Odp. $-\infty$

(e) $\lim\limits_{x\to0^+}\left(1-e^x\right)\cdot\mathrm{ctg} x;\quad$ Wskazówka $\quad \left(1-e^x\right)\cdot\mathrm{ctg} x=\frac{1-e^x}{\mathrm{tg} x};\quad$ Odp. $-1$

(f) $\lim\limits_{x\to0^-}x\cdot e^{-\frac1x};\quad$ Wskazówka $\quad x\cdot e^{-\frac1x}=\frac{e^{-\frac1x}}{\frac1{x}};\quad$ Odp. $-\infty$

(g) $\lim\limits_{x\to0^+}\left(\sin x\right)^x;\quad$ Wskazówka $\quad\left(\sin x\right)^x=e^{x\ln (\sin x)},\; x\cdot\ln (\sin x)=\frac{\ln (\sin x)}{\frac{1}x};\quad$ Odp. $1$

(h) $\lim\limits_{x\to0^+}x^{\sin x};\quad$ Wskazówka $\quad x^{\sin x}=e^{\sin x\cdot\ln x},\; \sin x\cdot\ln x=\frac{\ln x}{\frac{1}{\sin x}};\quad$ Odp. $1$

Przykład 1

Wykażemy, że funkcja określona wzorem $f(x)=x^{3}+3x$ nie posiada ekstremów lokalnych.

Funkcja $f$ jest wielomianem, zatem dziedziną funkcji jest zbiór $\mathbb{R}$. Obliczamy pochodną funkcji $f$:

$f^{\prime }(x)=(x^{3}+3x)^{\prime }=(x^{3})^{\prime }+(3x)^{\prime }=3x^{2}+3=3(x^{2}+1)$ dla $x\in \mathbb{R}$.

Ponieważ $f^{\prime }(x)\neq 0$ dla $x\in \mathbb{R}$, więc $f$ nie ma punktów stacjonarnych i w konsekwencji nie ma też ekstremów lokalnych (stosujemy wniosek z warunku koniecznego istnienia ekstremum lokalnego).

Przykład 2

Wykażemy, że funkcja określona wzorem $f(x)=\ln (x^{2}-4)$ nie posiada ekstremów lokalnych.

Wyznaczamy dziedzinę funkcji: $D=(-\infty ,-2)\cup (2,+\infty ).$

Obliczamy pochodną funkcji:

$f^{\prime }(x)=(\ln (x^{2}-4))^{\prime }=\frac{1}{x^{2}-4}(x^{2}-4)^{\prime }=\frac{2x}{x^{2}-4}$ dla $x\in D.$

Wyznaczamy punkty stacjonarne funkcji $f$ rozwiązując równanie: $f^{\prime }(x)=0.$

$\frac{2x}{x^{2}-4}=0\Leftrightarrow 2x=0\Leftrightarrow x=0.$

Jednakże $0\notin D$, zatem $f$ nie ma ekstremów lokalnych.

Przykład 3

Wyznaczymy ekstrema lokalne funkcji określonej wzorem $f(x)=x^{3}-3x^{2}.$

Zadanie rozpoczynamy od określenia dziedziny funkcji (w tym przypadku $\ D=\mathbb{R}$) i zbadania, czy funkcja posiada punkty stacjonarne. Obliczamy pochodną funkcji $f$:

$f^{\prime }(x)=(x^{3}-3x^{2})^{\prime }=3x^{2}-6x=3x\left( x-2\right) .$

Rozwiązujemy odpowiednie równanie:

$f^{\prime }(x)=0 \ \Leftrightarrow \; 3x\left( x-2\right) =0 \; \Leftrightarrow \; (x=0\vee x=2).$

Oba rozwiązania należą do dziedziny funkcji, a zatem $f$ ma dwa punkty stacjonarne. Dalej rozstrzygamy o istnieniu ekstremów lokalnych w tych punktach stosując jedną z dwóch metod podanych poniżej.

1 sposób (wykorzystujemy I warunek wystarczający istnienia ekstremum lokalnego)

Badamy, gdzie pochodna funkcji przyjmuje wartości dodatnie, a gdzie ujemne:

$f^{\prime }(x)>0\; \Leftrightarrow \; 3x\left( x-2\right) >0\; \Leftrightarrow \; x\in \left( -\infty ,0\right) \cup \left( 2,\infty \right)$ $f^{\prime }(x)$

Stąd wynika, że $f^{\prime }(x)>0$ dla $x\in \left( -\infty ,0\right)$ (a zatem także dla pewnego lewostronnego sąsiedztwa $0$) oraz $f^{\prime }(x)$dla $x\in (0,2)$ (przedział ten można potraktować jako prawostronne sąsiedztwo $0$). To oznacza, że $f$ ma w punkcie $0$ maksimum lokalne$.$ Pododnie $f^{\prime }(x)$ dla $x\in (0,2)$ oraz $f^{\prime }(x)>0$ dla $x\in \left( 2,\infty \right)$, czyli $f$ ma w punkcie $2$ minimum lokalne.

Metodę tę stosujemy najczęściej wtedy, gdy jednocześnie mamy wyznaczyć przedziały monotoniczności funkcji $f$.

2 sposób (wykorzystujemy II warunek wystarczający istnienia ekstremum lokalnego)

Obliczamy drugą pochodną funkcji $f$:

$f^{\prime \prime }(x)=(3x^{2}-6x)^{\prime }=6x-6.$

Ponieważ $f^{\prime \prime }(0)=-6$ a zatem $f$ ma w punkcie $0$ maksimum lokalne. Ponadto $f^{\prime \prime }(2)=6>0,$ co oznacza, że $f$ ma w punkcie $2$ minimum lokalne.

Ostatecznie stwierdzamy, że funkcja $f$ posiada dwa ekstrema lokalne: maksimum lokalne w punkcie $0$ o wartości $f(0)=0$ oraz minimum lokalne w punkcie $2$ o wartości $f(2)=-4$.

Przykład 4

Wyznaczymy ekstrema lokalne funkcji określonej wzorem $f(x)=(x^{2}-2x)\ln x-\frac{3}{2}x^{2}+4x.$

Funkcja $f$ jest to przykładem funkcji, dla której szukając ekstremów lokalnych wygodniej jest stosować II warunek wystarczający.

Dziedziną funkcji $f$ jest zbiór $D=(0,+\infty)$. Obliczamy pochodną funkcji $f$ i zapisujemy ją w postaci iloczynowej:

$f^{\prime }(x)=((x^{2}-2x)\ln x-\frac{3}{2}x^{2}+4x)^{\prime }=(2x-2)\ln x+(x^{2}-2x)\frac{1}{x}-3x+4=$

$=(2x-2)\ln x-2x+2=2\left( x-1\right) \left( \ln x-1\right)$ dla $x \in D.$

Wyznaczamy punkty stacjonarne funkcji $f$:

$f^{\prime }(x)=0\; \Leftrightarrow \; 2\left( x-1\right) \left( \ln x-1\right) \;\Leftrightarrow \;(x=1\vee \ln x=1)\;\Leftrightarrow \;(x=1\vee x=e).$

Dalej obliczamy drugą pochodną funkcji $f$:

$f^{\prime \prime }(x)=(2\left( x-1\right) \left( \ln x-1\right) )^{\prime }=2(1\cdot \left( \ln x-1\right) +\left( x-1\right) \frac{1}{x})=2\ln x-\frac{2}{x}$.

Ponieważ

$f^{\prime \prime }(1)=2\ln 1-2=-2$,

zatem $f$ ma w punkcie $1$ maksimum lokalne o wartości $\frac{5}{2}$. Z kolei

$f^{\prime \prime }(e)=2\ln e-\frac{2}{e}=2-\frac{2}{e}=\frac{2(e-1)}{e}>0$,

a zatem $f$ ma w punkcie $2$ minimum lokalne o wartości $2e - \frac{1}{2} e^2$.

Przykład 5

Wyznaczymy przedziały monotoniczności i ekstrema lokalne funkcji określonej wzorem $f(x)=x^{2}e^{-2x}$.

Na początek zauważmy, że $D=\mathbb{R}$. Obliczamy pochodną funkcji i zapisujemy ją w postaci iloczynowej:

$f^{\prime }(x)=(x^{2}e^{-2x})^{\prime }=2xe^{-2x}+x^{2}e^{-2x}(-2)=(-2x^{2}+2x)e^{-2x}=-2x\left( x-1\right) e^{-2x}$   dla $x\in \mathbb{R}$.

Wyznaczamy punkty stacjonarne funkcji $f$:

$f^{\prime }(x)=0\;\Leftrightarrow\; -2x\left( x-1\right) e^{-2x}=0.$

Ponieważ $e^{-2x}>0$ dla $x\in \mathbb{R}$, zatem

$f^{\prime }(x)=0\;\Leftrightarrow\; -2x\left( x-1\right)=0\;\Leftrightarrow \;(x=0\vee x=1).$

To oznacza, że funkcja $f$ ma dwa punkty stacjonarne. Aby sprawdzić, czy $f$ ma w nich ekstrema lokalne, zastosujemy I warunek wystarczający istnienia ekstremum lokalnego. W tym celu badamy, gdzie pochodna funkcji $f$ przyjmuje wartości dodatnie,  a gdzie ujemne:

$f^{\prime }(x)>0\Leftrightarrow -2x\left( x-1\right) e^{-2x}>0\Leftrightarrow -2x\left( x-1\right) >0\Leftrightarrow x\in (0,1)$

$f^{\prime }(x)$

Stąd wynika, że istnieją sąsiedztwa $S^{-}(0)$ i $S^{+}(0)$ takie, że $\ f^{\prime }(x)$  dla $x\in S^{-}(0)$ oraz $f^{\prime }(x)>0$ dla $x\in S^{+}(0),$ czyli $f$ ma w $0$ minimum lokalne. Podobnie uzasadniamy, że w $1$ istnieje maksimum lokalne.

Uzyskane wyniki i odpowiedź (uwzględniając również przedziały monotoniczności  badanej funkcji) najczęściej zapisujemy w postaci tabeli.

Przykład 6

Wyznaczymy przedziały monotoniczności i ekstrema lokalne funkcji określonej wzorem $f(x)=\frac{1}{x}+2\;$arctg$\,x$.

Na początek zauważmy, że $D=\mathbb{(-\infty },0)\cup (0,+\infty)$. Obliczamy pochodną funkcji $f$:

$f^{\prime }(x)=(\frac{1}{x}+2\,$arctg$\,x)^{\prime }=-\frac{1}{x^{2}}+\frac{2}{x^{2}+1}=\frac{x^{2}-1}{x^{2}\left( x^{2}+1\right) }=\frac{\left( x-1\right) \left( x+1\right) }{x^{2}\left( x^{2}+1\right) }$  dla $x\in D$.

Wyznaczamy punkty stacjonarne funkcji $f$:

$f^{\prime }(x)=0\;\Leftrightarrow \;\frac{\left( x-1\right) \left(x+1\right) }{x^{2}\left( x^{2}+1\right) }=0\;\Leftrightarrow\;\left( x-1\right) \left( x+1\right) =0 \; \Leftrightarrow\; (x=-1\vee x=1).$

Następnie badamy, gdzie pochodna funkcji $f$ przyjmuje wartości dodatnie, a gdzie ujemne:

$f^{\prime }(x)>0\;\Leftrightarrow \;( \frac{\left( x-1\right) \left(x+1\right) }{x^{2}\left( x^{2}+1\right) }>0\wedge x\in D)$

Ponieważ  $x^{2}\left( x^{2}+1\right) >0$ dla każdego $x\in D$ oraz

 $\left( x-1\right) \left( x+1\right) >0\; \Leftrightarrow \; x\in (-\infty ,-1)\cup (1,+\infty ),$

więc ostatecznie

$f^{\prime }(x)>0 \;\Leftrightarrow \;x\in \mathbb{(-\infty },-1)\cup (1,+\infty ).$

Analogicznie

$f^{\prime }(x)0\wedge x\in D)\; \Leftrightarrow\;x\in (-1,0)\cup (0,1)$

Uzyskane wyniki zapisujemy w tabeli:

Przykład 7

Wyznaczymy przedziały monotoniczności i ekstrema lokalne funkcji określonej wzorem $f(x)=4\ln x-\ln ^{2}x$.

Na początek zauważmy, że $D= (0,+\infty)$. Obliczamy pochodną funkcji $f$:

$f^{\prime }(x)=(4\ln x-\ln ^{2}x)^{\prime }=4\frac{1}{x}-2\ln x\cdot \frac{1}{x}=\frac{2(2-\ln x)}{x}$  dla $x\in D$.

Wyznaczamy punkty stacjonarne funkcji $f$:

$f^{\prime }(x)=0\ \Leftrightarrow \ \frac{2(2-\ln x)}{x}=0\ \Leftrightarrow \ 2-\ln x=0\ \Leftrightarrow \ \ln x=2\ \Leftrightarrow \ x=e^{2}$

Jeśli $x\in D$, to mianownik pierwszej pochodnej jest dodatni, a zatem

$f^{\prime }(x)>0\ \Leftrightarrow \ \frac{2(2-\ln x)}{x}>0\ \Leftrightarrow \ 2-\ln x>0\ \Leftrightarrow \ \ln x$

Analogicznie

$f^{\prime }(x)$

Uzyskane wyniki zapisujemy w tabeli:

Przykład 8

Wyznaczymy ekstrema lokalne i przedziały monotoniczności funkcji określonej wzorem $f(x)=\frac{x^2}{\ln x}$. Następnie naszkicujemy wykres funkcji $f$ wiedząc dodatkowo, że $\displaystyle \underset{x\rightarrow 0^+ }{\lim }f(x)=0$,  $\displaystyle \underset{x\rightarrow 1^- }{\lim }f(x)=-\infty$, $\displaystyle \underset{x\rightarrow 1^+ }{\lim }f(x)=+\infty$ oraz $\displaystyle \underset{x\rightarrow +\infty }{\lim }f(x)=+\infty$.

$D=(0,1)\cup (1,+\infty )$. Obliczamy pochodną funkcji $f$:

$f^{\prime }(x)=(\frac{x^2}{\ln x})^{\prime }=\frac{2x \ln x-x^2\cdot \frac{1}{x}}{\ln ^{2}x}=\frac{x(2\ln x-1)}{\ln ^{2}x}\;$ dla $x\in D$.

Wyznaczamy punkty stacjonarne funkcji $f$:

$f^{\prime }(x)=0\;\Leftrightarrow \;(\frac{x(2\ln x-1)}{\ln ^{2}x}=0\wedge x\in D)\;\Leftrightarrow \; 2\ln x-1=0\ \Leftrightarrow \ \ln x=\frac{1}{2}\ \Leftrightarrow \  x=\sqrt{e}$

Ponieważ $\frac{x}{\ln ^{2}x}>0$ dla $x\in D$ więc

$f^{\prime }(x)>0\;\Leftrightarrow \;\frac{x(2\ln x-1)}{\ln ^{2}x}>0\; \Leftrightarrow \; (2\ln x-1>0\wedge x\in D) \; \Leftrightarrow \; (\ln x>\ln e^\frac{1}{2}\wedge x\in D)\ \Leftrightarrow \ x>\sqrt{e}$

$f^{\prime }(x)$

Uzyskane wyniki zapisujemy w tabeli:

Na podstawie uzyskanych informacji szkicujemy wykres funkcji $f$:

Definicja. Załóżmy, że funkcja $f$ jest określona na pewnym otoczeniu $U_{x_0}$ punktu $x_0$. Mówimy, że $f$ ma w punkcie $x_0$ maksimum  lokalne, jeżeli istnieje otoczenie $U_{x_0}$, punktu $x_0$, takie, że dla wszystkich $x\in U_{x_0}$

$\ \qquad f(x)\leq f(x_0).$ 

Definicja. Załóżmy, że funkcja $f$ jest określona na pewnym otoczeniu $U_{x_0}$ punktu $x_0$. Mówimy, że $f$ ma w punkcie $x_0$ minimum lokalne, jeżeli istnieje otoczenie $U_{x_0}$, punktu $x_0$, takie, że dla wszystkich $x\in U_{x_0}$

$\ \qquad f(x)\geq f(x_0).$

Uwaga. Jeżeli dla każdego $x\in U_{x_0}\setminus \{ x_0 \}$ zachodzi nierówność $f(x)< f(x_0)$  $(f(x)> f(x_0))$, to mówimy o maksimum (minimum) lokalnym właściwym.

Twierdzenie - warunek konieczny istnienia ekstremum lokalnego dla funkcji różniczkowalnej.  Jeżeli funkcja $f$ jest różniczkowalna w punkcie $x_0$ i ma w tym punkcie ekstremum lokalne, to $f'(x_0)=0.$

Uwaga. Jeżeli $f'(x_0)\neq 0$, to funkcja $f$ nie ma ekstremum w punkcie $x_0$. 

Uwaga. Funkcja może mieć ekstremum lokalne jedynie w punkcie $x_0$, takim że $f'(x_0)=0$ (gdy jest różniczkowalna w $x_0$) lub w punkcie $x_0$, w którym funkcja $f$ nie ma pochodnej.

Definicja. Punkty, w których pochodna funkcji się zeruje nazywamy punktami stacjonarnymi tej funkcji.

Twierdzenie - warunek wystarczający istnienia ekstremum lokalnego. Jeżeli funkcja $f$ jest ciągła na pewnym otoczeniu $U_{x_0}$ i różniczkowalna na sąsiedztwie $S_{x_0}$ punktu $x_0$ oraz

1. $f'(x)>0$ dla $x\in S^-_{x_0}$ oraz $f'(x)$ dla $x\in S^+_{x_0}$

lub

2. $f'(x)$ dla $x\in S^-_{x_0}$ oraz $f'(x)>0$ dla $x\in S^+_{x_0}$,

to funkcja $f$ ma w punkcie $x_0$ ekstremum lokalne właściwe. Jest to maksimum lokalne w przypadku (1), minimum lokalne gdy zachodzi warunek (2).

Twierdzenie - drugi warunek wystarczający istnienia ekstremum lokalnego. Jeżeli funkcja $f$ jest dwukrotnie różniczkowalna na pewnym otoczeniu punktu $x_0$ oraz

1. $f'(x_0)=0$,
2. $f''(x_0)\neq 0$,

to funkcja $f$ ma w punkcie $x_0$ ekstremum lokalne właściwe, przy czym jest to maksimum lokalne,

jeżeli $f''(x_0)$, minimum lokalne, gdy $f''(x_0)>0$.

Ćwiczenie 1

Jeśli $f:[-3,3] \to \mathbb{R}$ jest funkcją, której wykres przedstawia poniższy rysunek, to

Ćwiczenie 2

Przyporządkuj podane funkcje do odpowiedniej grupy.

...

Ćwiczenie 1a

Ćwiczenie 1b

Ćwiczenie 3

Uzupełnij przeciągając poprawne odpowiedzi.

Niech $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{\mathbb{R}}$.

Z informacji zawartych w powyższej tabeli wynika, że

Ćwiczenie 4

Wybrane informacje o pierwszej i drugiej pochodnej pewnej dwukrotnie  różniczkowalnej funkcji $f:\mathbb{\mathbb{R}}\rightarrow \mathbb{\mathbb{R}}$ zawarte są w poniższej tabeli. Uzupełnij trzeci wiersz tabeli.

Zawartość pustych pól w tabeli możesz zmienić poprzez kliknięcie.

Ćwiczenie 5

Czy funkcja $f$ posiada ekstrema lokalne we wskazanych punktach? Uzasadnij odpowiedź.

a) $f(x)=4x^4-8x^2+2$,  $x_1=1$,  $x_2=0$

b) $f(x)=\sin ^2 x-2\cos x$,  $x_1=0$,  $x_2=\frac{\pi}{2}$

Ćwiczenie 6

Niech $f:(-1,+\infty )\rightarrow \mathbb{\mathbb{R}}.$ Informacje o pierwszej pochodnej funkcji $f$ zawarte są w poniższej tabeli. Uzupełnij trzeci wiersz tabeli.

Zawartość pustych pól w tabeli możesz zmienić poprzez kliknięcie.

Te rysunki mogą przedstawiać wykres funkcji $f$:

Ćwiczenie 7

Niech $f:\mathbb{\mathbb{R}}\backslash \{0\}\rightarrow \mathbb{\mathbb{R}}.$ Informacje o pierwszej pochodnej funkcji $f$ zawarte są w poniższej tabeli. Uzupełnij trzeci wiersz tabeli.

Zawartość pustych pól w tabeli możesz zmienić poprzez kliknięcie.

Zadanie 1

Wyznacz ekstrema lokalne i przedziały monotoniczności funkcji określonej wzorem:

(a) $f(x)=2x^3-3x^2$

Wskazówka: $f^\prime(x)=6x^2-6x.$

Odpowiedź: Dziedziną funkcji jest zbiór $D=\mathbb{R}$. Funkcja jest rosnąca w każdym z przedziałów: $(-\infty,0)$, $(1,\infty)$, malejąca w przedziale $(0,1)$, w punkcie  $x=0$ funkcja ma maksimum lokalne,  $f(0)=0$, w punkcie  $x=1$ funkcja ma minimum lokalne, $f(1)=-1.$

(b) $f(x)=\frac{x^2-1}{x^2-4}$

Wskazówka:  $f^\prime(x)=\frac{- 6x}{(x^2-4)^2}.$

Odpowiedź:  Dziedziną funkcji jest zbiór $D=\mathbb{R}\setminus \{-2, 2\}$. Funkcja jest rosnąca w każdym z przedziałów: $(-\infty,-2)$, $(-2,0)$, malejąca w każdym z przedziałów: $(0,2)$, $(2,\infty)$ w punkcie  $x=0$  funkcja ma maksimum lokalne, $f(0)=\frac14$.

(c) $f(x)=x^2\cdot e^x$

Wskazówka: $f^\prime(x)=(2x+x^2)\cdot e^x.$

Funkcja jest rosnąca w każdym z przedziałów: $(-\infty,-2)$, $(0,\infty)$,
malejąca w przedziale $(-2,0)$, w punkcie $x=0$ funkcja ma minimum lokalne, o wartości $f(0)=0$, w punkcie $x=-2$ funkcja ma maksimum lokalne, $f(-2)=4e^{-2}$.

(d) $f(x)=\frac{e^x}{x^2+1}$

Wskazówka: $f^\prime(x)=\frac{e^x\cdot (x^2-2x+1)}{(x^2+1)^2}.$

Odpowiedź:  Dziedziną funkcji jest zbiór $D=\mathbb{R}$. Funkcja jest rosnąca w całej swojej dziedzinie.

(e) $f(x)=\frac{\ln x+1}{2x}$

Wskazówka: $f^\prime(x)=-\frac{\ln x}{2x^2}.$

Odpowiedź:  Dziedziną funkcji jest zbiór $D=(0, \infty)$. Funkcja jest rosnąca w przedziale $(0,1)$, malejąca w przedziale $(1,\infty)$, w punkcie  $x=1$ funkcja ma maksimum lokalne,  $f(1)=\frac12$.

(f) $f(x)=x-5\mathrm{arctg}x$

Wskazówka: $f^\prime(x)=\frac{x^2-4}{x^2+1}.$

Odpowiedź:  Dziedziną funkcji jest zbiór $D=\mathbb{R}$. Funkcja jest rosnąca w każdym z przedziałów: $(-\infty,-2)$, $(2,\infty)$, malejąca w przedziale $(-2,2)$, w punkcie  $x=-2$ funkcja ma maksimum lokalne, $f(-2)=-2-5\mathrm{arctg}(-2)$, w punkcie  $x=2$ funkcja ma minimum lokalne, $f(2)=2-5\mathrm{arctg}(2)$.

(g) $f(x)=\frac{x}{x^2+4}$

Wskazówka: $f^\prime(x)=\frac{4-x^2}{(4+x^2)^2}.$

Odpowiedź:  Dziedziną funkcji jest zbiór $D=\mathbb{R}$. Funkcja jest malejąca w każdym z przedziałów: $(-\infty,-2)$,

$(2,\infty)$, rosnąca w przedziale $(-2,2)$, w punkcie  $x=-2$ funkcja ma minimum lokalne, $f(-2)=-\frac{1}4$, w punkcie $x=2$ funkcja ma maksimum lokalne, $f(2)=\frac14$.

(h) $f(x)=\frac{e^{2x}}{x^2}$

Wskazówka: $f^\prime(x)=\frac{2e^{2x}\cdot (x^2-x)}{x^4}.$

Odpowiedź:  Dziedziną funkcji jest zbiór $D=\mathbb{R}\setminus \{0\}$. Funkcja jest rosnąca w każdym z przedziałów: $(-\infty,0)$, $(1,\infty)$, malejąca w przedziale $(0,1)$, w punkcie  $x=1$ funkcja ma minimum lokalne, $f(1)=e^2$.

(i) $f(x)=x^3\cdot e^{-x}$

Wskazówka: $f^\prime(x)=e^{-x}\cdot (3x^2-x^3)=x^2\cdot e^{-x}\cdot(3-x).$

Odpowiedź:  Dziedziną funkcji jest zbiór $D=\mathbb{R}$. Funkcja jest rosnąca w każdym z przedziałów: $(-\infty,0)$, $(0,3)$, malejąca w przedziale $(3,\infty)$, w punkcie j $x=3$ funkcja ma maksimum lokalne, $f(3)=27e^{-3}$.

(j) $f(x)=3x-x\cdot \ln(2x)$

Wskazówka: $f^\prime(x)=2-\ln 2x.$

Odpowiedź:  Dziedziną funkcji jest zbiór $D=(0, \infty)$. Funkcja jest rosnąca w przedziale $\left(0,\frac12e^2\right)$, malejąca w przedziale $\left(\frac12e^2,\infty\right)$, w punkcie  $x=\frac12e^2$ funkcja ma maksimum lokalne, $f(\frac12e^2)=\frac32e^2-e^2$.

(k) $f(x)=\ln^3 x-3\ln^2 x$

Wskazówka: $f^\prime(x)=\frac{3\ln^2 x-6\ln x}{x}.$

Odpowiedź:  Dziedziną funkcji jest zbiór $D=(0, \infty)$. Funkcja jest rosnąca w każdym z przedziałów: $(0,1)$, $\left(e^2,\infty\right)$, malejąca w przedziale $(1,e^2)$, w punkcie  $x=1$ funkcja ma maksimum lokalne,   $f(1)=0$, w punkcie  $x=e^2$ funkcja ma minimum lokalne, $f(e^2)=-4$.

Zadanie 2

Wyznacz asymptoty, ekstrema lokalne, przedziały monotoniczności oraz naszkicuj wykres funkcji określonej wzorem:

(a) $f(x)=\frac{x^2}{x-1}$

Wskazówka: Asymptotę pionową wykres funkcji $f$  może posiadać w punkcie $x=1$, ukośną w $-\infty, \; \infty$, $f^\prime(x)=\frac{x^2-2x}{(x-1)^2}.$

Odpowiedź:  Dziedziną funkcji jest zbiór $D=\mathbb{R}\setminus \{1\}$. Funkcja ma asymptotę pionową obustronną $x=1$,  asymptotę ukośną $y=x+1$ w $-\infty$ i w $+\infty$. Funkcja jest malejąca w każdym z przedziałów: $(0,1)$, $(1,2)$, rosnąca w każdym z przedziałów: $(-\infty,0)$, $(2,\infty)$, w punkcie  $x=0$ funkcja ma maksimum lokalne,  $f(0)=0$, w punkcie  $x=2$ funkcja ma minimum lokalne,  $f(2)=4$.

(b) $f(x)=x\cdot e^{-x}$

Wskazówka: Asymptotę  ukośną wykres funkcji $f$ może posiadać w $-\infty, \; \infty$, asymptoty pionowej wykres funkcji $f$ nie posiada.$f^\prime(x)=e^{-x}\cdot (1-x).$ 

Odpowiedź: Dziedziną funkcji jest zbiór $D=\mathbb{R}$. Funkcja ma asymptotę poziomą $y=0$ w $+\infty$. Funkcja jest rosnąca w przedziale $(-\infty, 1)$, malejąca w przedziale $(1,\infty)$, w punkcie $x=1$ funkcja ma maksimum lokalne, $f(1)=e^{-1}$.

(c) $f(x)=\frac{x^2}{2-4\ln x}$

Wskazówka: Asymptotę pionową wykres funkcji może posiadać w punktach: 

$x=0$, $x=e^{\frac12}$, asyptotę ukośną wykres funkcji może posiadać w $\infty$. $f^\prime(x)=\frac{x\cdot\left(8-8\ln x\right)}{\left(2-4\ln x\right)^2}$.

Odpowiedź: Dziedziną funkcji jest zbiór $D=\left(0, e^{\frac12}\right)\cup\left(e^{\frac12},\infty\right)$.

Funkcja ma asymptotę pionową obustronną $x=e^{\frac12}$.
Funkcja jest rosnąca w każdym z przedziałów $\left(0, e^{\frac12}\right)$,$\left(e^{\frac12}, e\right)$, malejąca w przedziale $\left(e,\infty\right)$,
w punkcie  $x=e$ funkcja ma maksimum lokalne,  $f(e)=-\frac{e^2}{2}$.

Ćwiczenie 0

Dokończ poprawnie zdanie wybierając jedną z odpowiedzi.

Zobacz podpowiedź:

Ćwiczenie 1

Zastanów się, które rysunki przedstawiają wykresy funkcji wypukłej/wklęsłej na poszczególnych przedziałach dziedziny.

Ćwiczenie 2

Dokończ zdanie wybierając poprawne odpowiedzi.

Podpowiedź

Ćwiczenie 3

Uzupełnij luki.

Ćwiczenie 4

Druga pochodna funkcji $f :\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ dana jest wzorem $f''(x)=x+3$.

Ćwiczenie 4a

Dany jest wykres drugiej pochodnej funkcji $f(x)=xe^{-x}$. Dopasuj własności: wypukła/wklęsła do poszczególnych fragmentów wykresu.

Ćwiczenie 4b

Druga pochodna funkcji $f:\mathbb{R}\setminus\{0\}\to\mathbb{R}$ jest dodatnia dla $x\in\mathbb{R}\setminus\{0\}$. Zastanów się, czy funkcja może mieć wykres przedstawiony poniżej.

Ćwiczenie 4c

Druga pochodna funkcji $f$ jest ujemna w całej dziedzinie. Zastanów się, czy funkcja może mieć wykres przedstawiony poniżej.

Ćwiczenie 5

Wiedząc, że funkcja $f$ jest różniczkowalna w punkcie $5$, uzupełnij trzeci wiersz tabeli.

Zawartość pustych pól w tabeli możesz zmienić poprzez kliknięcie.

Ćwiczenie 6

Wybrane informacje o drugiej pochodnej pewnej funkcji $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ zawarte są w poniższej tabeli.

Wybierz rysunki mogące przedstawiać wykres funkcji $f$.

Przenieś wybrane rysunki do obszaru znajdującego się nad nimi.

Ćwiczenie 7

Wybrane informacje o drugiej pochodnej pewnej dwukrotnie różniczkowalnej funkcji $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ zawarte są w poniższej tabeli. Uzupełnij trzeci wiersz tabeli.

Zawartość pustych pól w tabeli możesz zmienić poprzez kliknięcie.