Rachunek różniczkowy funkcji jednej zmiennej

Funkcja $f$ ma pochodną w punkcie $x_{0}$ wtedy i tylko wtedy, gdy istnieją i są sobie równe pochodne jednostronne funkcji $f$ w punkcie $x_{0}$. Wówczas

$f^{^{\prime }}(x_{0})=f_{+}^{^{\prime }}(x_{0})=f_{-}^{^{\prime }}(x_{0})$.

Jeżeli funkcja $f$ jest różniczkowalna w punkcie $x_0$ i ma w tym punkcie ekstremum lokalne, to $f'(x_0)=0.$

Wniosek

Jeżeli funkcja $f$ jest różniczkowalna w $x_0$ i $f'(x_0)\neq 0$, to funkcja $f$ nie ma ekstremum lokalnego w punkcie $x_0$.

Jeżeli funkcja $f$ ma ciągłą pochodną drugiego rzędu w punkcie $x_0$ oraz $(x_0, f(x_0))$ jest punktem przegięcia wykresu tej funkcji, to $f''(x_0)=0$.

Załóżmy, że funkcja $f$ jest określona na pewnym otoczeniu punktu $x_0$. Jeżeli $f$ jest różniczkowalna w punkcie $x_{0}$, to jest ciągła w tym punkcie.

Jeżeli funkcja $f$ jest dwukrotnie różniczkowalna na przedziale $(a,b)$ oraz $f''(x)$ dla każdego $x\in (a,b)$, to funkcja $f$ jest wklęsła na tym przedziale.

Jeżeli funkcja $f$ jest dwukrotnie różniczkowalna na przedziale $(a,b)$ oraz $f''(x)>0$ dla każdego $x\in (a,b)$, to funkcja $f$ jest wypukła na tym przedziale.

1. Jeżeli $f^\prime(x)=0$ dla każdego $x\in(a,b)$, to funkcja $f$ jest stała na przedziale $(a,b)$.

2. Jeżeli $f^\prime(x)>0$ dla każdego $x\in(a,b)$, to funkcja $f$ jest rosnąca na przedziale $(a,b)$.

3. Jeżeli $f^\prime(x)$ dla każdego $x\in(a,b)$, to funkcja $f$ jest malejąca na przedziale $(a,b)$.

1. Jeżeli funkcja $f$ jest dwukrotnie różniczkowalna na przedziale $(a,b)$ oraz $f''(x)>0$ dla każdego $x\in (a,b)$, to funkcja $f$ jest wypukła na tym przedziale.

2. Jeżeli funkcja $f$ jest dwukrotnie różniczkowalna na przedziale $(a,b)$ oraz $f''(x)$ dla każdego $x\in (a,b)$, to funkcja $f$ jest wklęsła na tym przedziale.

Załóżmy, że funkcja $f$ jest różniczkowalna na pewnym otoczniu punktu $x_0$. Niech $L_0$ będzie styczną do jej wykresu w punkcie $(x_0, f(x_0))$. Funkcję $f$ nazywamy wklęsłą w punkcie $x_0$, jeżeli istnieje takie sąsiedztwo $S_{x_0}$ punktu $x_0$, że dla każdego $x\in S_{x_0}$ punkty tej krzywej leżą poniżej stycznej $L_0$, tzn. istnieje sąsiedztwo $S_{x_0}$ punktu $x_0$ takie, że dla $x\in S_{x_0}$ zachodzi nierówność

$f(x)$.

Jeżeli funkcja $f$ jest różniczkowalna w $x_0$ i $f'(x_0)\neq 0$, to funkcja $f$ nie ma ekstremum lokalnego w punkcie $x_0$.