4. Monotoniczność funkcji, ekstrema lokalne i ekstrema globalne

4.4 Zadania

1

Wyznacz ekstrema lokalne i przedziały monotoniczności funkcji określonej wzorem:

  1. f(x)=2x^3-3x^2

  2. Dziedziną funkcji jest zbiór D=\mathbb{R}

  3. Dziedziną funkcji jest zbiór D=\left(0, e^{\frac12}\right)\cup\left(e^{\frac12},+\infty\right)

5

Wyznacz najmniejszą i największą wartość funkcji f(x)=x^3-3x na przedziale \left[-\frac32,\frac32\right].

Największą wartość w przedziale \left[-\frac32,\frac32\right] (maksimum globalne) dana funkcja przyjmuje dla x=-1 i wartość ta jest równa 2, najmniejszą wartość (minimum globalne) przyjmuje dla x=1 i wartość ta jest równa -2.
6

Wyznacz najmniejszą i największą wartość funkcji f(x)=2x^3-3x^2-36x-8 na przedziale \left[-3,6\right].

Największą wartość w przedziale \left[-3,6\right] (maksimum globalne) dana funkcja przyjmuje dla x=6 i wartość ta jest równa 100, najmniejszą wartość (minimum globalne) przyjmuje dla x=3 i wartość ta jest równa -89.
7

Wyznacz najmniejszą i największą wartość funkcji f(x)=\sqrt x-x na przedziale \left[0,4\right].

Największą wartość w przedziale \left[0,4\right] (maksimum globalne) dana funkcja przyjmuje dla x=\frac14 i wartość ta jest równa \frac14, najmniejszą wartość (minimum globalne) przyjmuje dla x=4 i wartość ta jest równa -2.
8

Wyznacz najmniejszą i największą wartość funkcji f(x)=x^2\ln x na przedziale \left[1,e\right].

Funkcja jest rosnąca w przedziale \left[1,e\right].
Największą wartość w przedziale \left[1,e\right] (maksimum globalne) dana funkcja przyjmuje dla x=e i wartość ta jest równa e^2, najmniejszą wartość (minimum globalne) przyjmuje dla x=1 i wartość ta jest równa 0.
9

Wyznacz najmniejszą i największą wartość funkcji f(x)=-\frac14\cos2x+\frac12\cos x+3 na przedziale \left[-\frac\pi2,\pi\right].

Największą wartość w przedziale \left[-\frac\pi2,\pi\right] (maksimum globalne) dana funkcja przyjmuje dla x=-\frac\pi3 oraz x=\frac\pi3 i wartość ta jest równa \frac{27}8, najmniejszą wartość (minimum globalne) przyjmuje dla x=\pi i wartość ta jest równa \frac94.
10

Wyznacz najmniejszą i największą wartość funkcji f(x)=\frac{e^{2x}}{1+e^{-x}} na przedziale \left[-1,0\right].

Funkcja jest rosnąca w przedziale \left[-1, 0\right].
Największą wartość w przedziale \left[-1,0\right] (maksimum globalne) dana funkcja przyjmuje dla x=0 i wartość ta jest równa \frac12, najmniejszą wartość (minimum globalne) przyjmuje dla x=-1 i wartość ta jest równa \frac{1}{e^2\left(1+e\right)}.
11

Wyznacz najmniejszą i największą wartość funkcji f(x)=\ln^3 x+3\ln^2 x na przedziale \left[e^{-3},e^2\right].

Największą wartość w przedziale \left[e^{-3},e^2\right] (maksimum globalne) dana funkcja przyjmuje dla x=e^2 i wartość ta jest równa 20, najmniejszą wartość (minimum globalne) funkcja przyjmuje w punktach x=1, x=e^{-3} i wartość ta jest równa 0.
12

Wyznacz najmniejszą i największą wartość funkcji f(x)=\frac{x}{x^2+2x-3} na przedziale \left[-2,0\right].

Funkcja jest malejąca w przedziale \left[-2, 0\right].
Największą wartość w przedziale \left[-2,0\right] (maksimum globalne) dana funkcja przyjmuje dla x=-2 i wartość ta jest równa \frac23, najmniejszą wartość (minimum globalne) przyjmuje dla x=0 i wartość ta jest równa 0.