4. Monotoniczność funkcji, ekstrema lokalne i ekstrema globalne

4.4 Zadania

1

Wyznacz ekstrema lokalne i przedziały monotoniczności funkcji określonej wzorem:

  1. f(x)=2x^3-3x^2,
  2. f(x)=\frac{x^2-1}{x^2-4},
  3. f(x)=\frac{x}{x^2+4},
  4. f(x)=x-5\operatorname{arctg}x,
  1. f^\prime(x)=6x^2-6x,
  2. f^\prime(x)=\frac{- 6x}{(x^2-4)^2},
  3. f^\prime(x)=\frac{4-x^2}{(4+x^2)^2},
  4. f^\prime(x)=\frac{x^2-4}{x^2+1},
  1. Dziedziną funkcji jest zbiór D=\mathbb{R}. Funkcja jest rosnąca na każdym z przedziałów: (-\infty,0), (1,+\infty), malejąca na przedziale (0,1), w punkcie x=0 funkcja ma maksimum lokalne, f(0)=0, w punkcie x=1 funkcja ma minimum lokalne, f(1)=-1.
  2. Dziedziną funkcji jest zbiór D=\mathbb{R}\setminus \{-2, 2\}. Funkcja jest rosnąca na każdym z przedziałów: (-\infty,-2), (-2,0), malejąca na każdym z przedziałów: (0,2), (2,+\infty), w punkcie x=0 funkcja ma maksimum lokalne, f(0)=\frac14.
  3. Dziedziną funkcji jest zbiór D=\mathbb{R}. Funkcja jest malejąca na każdym z przedziałów: (-\infty,-2), (2,+\infty), rosnąca na przedziale (-2,2), w punkcie x=-2 funkcja ma minimum lokalne, f(-2)=-\frac{1}4, w punkcie x=2 funkcja ma maksimum lokalne, f(2)=\frac14.
  4. Dziedziną funkcji jest zbiór D=\mathbb{R}. Funkcja jest rosnąca na każdym z przedziałów: (-\infty,-2), (2,+\infty), malejąca na przedziale (-2,2), w punkcie x=-2 funkcja ma maksimum lokalne, f(-2)=-2-5\operatorname{arctg}(-2), w punkcie x=2 funkcja ma minimum lokalne, f(2)=2-5\operatorname{arctg}2.
2

Wyznacz ekstrema lokalne i przedziały monotoniczności funkcji określonej wzorem:

  1. f(x)=\frac{e^x}{x^2+1},
  2. f(x)=x^2 e^x,
  3. f(x)=\frac{e^{2x}}{x^2},
  4. f(x)=x^3 e^{-x},
  1. f^\prime(x)=\frac{e^x (x^2-2x+1)}{(x^2+1)^2},
  2. f^\prime(x)=(2x+x^2) e^x,
  3. f^\prime(x)=\frac{2e^{2x} (x^2-x)}{x^4},
  4. f^\prime(x)=e^{-x} (3x^2-x^3)=x^2 e^{-x}(3-x),
  1. Dziedziną funkcji jest zbiór D=\mathbb{R}. Funkcja jest rosnąca w całej swojej dziedzinie.
  2. Funkcja jest rosnąca na każdym z przedziałów: (-\infty,-2), (0,+\infty), malejąca na przedziale (-2,0), w punkcie x=0 funkcja ma minimum lokalne, o wartości f(0)=0, w punkcie x=-2 funkcja ma maksimum lokalne, f(-2)=4e^{-2}.
  3. Dziedziną funkcji jest zbiór D=\mathbb{R}\setminus \{0\}. Funkcja jest rosnąca na każdym z przedziałów: (-\infty,0), (1,+\infty), malejąca na przedziale (0,1), w punkcie x=1 funkcja ma minimum lokalne, f(1)=e^2.
  4. Dziedziną funkcji jest zbiór D=\mathbb{R}. Funkcja jest rosnąca na każdym z przedziałów: (-\infty,0), (0,3), malejąca na przedziale (3,+\infty), w punkcie j x=3 funkcja ma maksimum lokalne, f(3)=27e^{-3}.
3

Wyznacz ekstrema lokalne i przedziały monotoniczności funkcji określonej wzorem:

  1. f(x)=\frac{\ln x+1}{2x},
  2. f(x)=3x-x \ln 2x,
  3. f(x)=\ln^3 x-3\ln^2 x.
  1. f^\prime(x)=-\frac{\ln x}{2x^2},
  2. f^\prime(x)=2-\ln 2x,
  3. f^\prime(x)=\frac{3\ln^2 x-6\ln x}{x}.
  1. Dziedziną funkcji jest zbiór D=(0, +\infty). Funkcja jest rosnąca na przedziale (0,1), malejąca na przedziale (1,+\infty), w punkcie x=1 funkcja ma maksimum lokalne, f(1)=\frac12.
  2. Dziedziną funkcji jest zbiór D=(0, +\infty). Funkcja jest rosnąca na przedziale \left(0,\frac12e^2\right), malejąca na przedziale \left(\frac12e^2,+\infty\right), w punkcie x=\frac12e^2 funkcja ma maksimum lokalne, f(\frac12e^2)=\frac32e^2-e^2.
  3. Dziedziną funkcji jest zbiór D=(0, +\infty). Funkcja jest rosnąca na każdym z przedziałów: (0,1), \left(e^2,+\infty\right), malejąca na przedziale (1,e^2), w punkcie x=1 funkcja ma maksimum lokalne, f(1)=0, w punkcie x=e^2 funkcja ma minimum lokalne, f(e^2)=-4.
4

Wyznacz asymptoty, ekstrema lokalne, przedziały monotoniczności oraz naszkicuj wykres funkcji określonej wzorem:

  1. f(x)=\frac{x^2}{x-1},
  2. f(x)=x e^{-x},
  3. f(x)=\frac{x^2}{2-4\ln x}.
  1. Asymptotę pionową wykres funkcji f może posiadać w punkcie x=1, ukośną w -\infty, \; +\infty, f^\prime(x)=\frac{x^2-2x}{(x-1)^2}.
  2. Asymptotę ukośną wykres funkcji f może posiadać w -\infty, \; +\infty, asymptoty pionowej wykres funkcji f nie posiada. f^\prime(x)=e^{-x} (1-x).
  3. Asymptotę pionową wykres funkcji może posiadać w punktach: x=0, x=e^{\frac12}, asyptotę ukośną wykres funkcji może posiadać w +\infty. f^\prime(x)=\frac{x\left(8-8\ln x\right)}{\left(2-4\ln x\right)^2}.
  1. Dziedziną funkcji jest zbiór D=\mathbb{R}\setminus \{1\}. Funkcja ma asymptotę pionową obustronną x=1, asymptotę ukośną y=x+1 w -\infty i w +\infty. Funkcja jest malejąca na każdym z przedziałów: (0,1), (1,2), rosnąca na każdym z przedziałów: (-\infty,0), (2,+\infty), w punkcie x=0 funkcja ma maksimum lokalne, f(0)=0, w punkcie x=2 funkcja ma minimum lokalne, f(2)=4.

  2. Dziedziną funkcji jest zbiór D=\mathbb{R}. Funkcja ma asymptotę poziomą y=0 w +\infty. Funkcja jest rosnąca na przedziale (-\infty, 1), malejąca na przedziale (1,+\infty), w punkcie x=1 funkcja ma maksimum lokalne, f(1)=e^{-1}.

  3. Dziedziną funkcji jest zbiór D=\left(0, e^{\frac12}\right)\cup\left(e^{\frac12},+\infty\right). Funkcja ma asymptotę pionową obustronną x=e^{\frac12}. Funkcja jest rosnąca na każdym z przedziałów \left(0, e^{\frac12}\right),\left(e^{\frac12}, e\right), malejąca na przedziale \left(e,+\infty\right), w punkcie x=e funkcja ma maksimum lokalne, f(e)=-\frac{e^2}{2}.

5

Wyznacz najmniejszą i największą wartość funkcji f(x)=x^3-3x na przedziale \left[-\frac32,\frac32\right].

Największą wartość w przedziale \left[-\frac32,\frac32\right] (maksimum globalne) dana funkcja przyjmuje dla x=-1 i wartość ta jest równa 2, najmniejszą wartość (minimum globalne) przyjmuje dla x=1 i wartość ta jest równa -2.
6

Wyznacz najmniejszą i największą wartość funkcji f(x)=2x^3-3x^2-36x-8 na przedziale \left[-3,6\right].

Największą wartość w przedziale \left[-3,6\right] (maksimum globalne) dana funkcja przyjmuje dla x=6 i wartość ta jest równa 100, najmniejszą wartość (minimum globalne) przyjmuje dla x=3 i wartość ta jest równa -89.
7

Wyznacz najmniejszą i największą wartość funkcji f(x)=\sqrt x-x na przedziale \left[0,4\right].

Największą wartość w przedziale \left[0,4\right] (maksimum globalne) dana funkcja przyjmuje dla x=\frac14 i wartość ta jest równa \frac14, najmniejszą wartość (minimum globalne) przyjmuje dla x=4 i wartość ta jest równa -2.
8

Wyznacz najmniejszą i największą wartość funkcji f(x)=x^2\ln x na przedziale \left[1,e\right].

Funkcja jest rosnąca w przedziale \left[1,e\right].
Największą wartość w przedziale \left[1,e\right] (maksimum globalne) dana funkcja przyjmuje dla x=e i wartość ta jest równa e^2, najmniejszą wartość (minimum globalne) przyjmuje dla x=1 i wartość ta jest równa 0.
9

Wyznacz najmniejszą i największą wartość funkcji f(x)=-\frac14\cos2x+\frac12\cos x+3 na przedziale \left[-\frac\pi2,\pi\right].

Największą wartość w przedziale \left[-\frac\pi2,\pi\right] (maksimum globalne) dana funkcja przyjmuje dla x=-\frac\pi3 oraz x=\frac\pi3 i wartość ta jest równa \frac{27}8, najmniejszą wartość (minimum globalne) przyjmuje dla x=\pi i wartość ta jest równa \frac94.
10

Wyznacz najmniejszą i największą wartość funkcji f(x)=\frac{e^{2x}}{1+e^{-x}} na przedziale \left[-1,0\right].

Funkcja jest rosnąca w przedziale \left[-1, 0\right].
Największą wartość w przedziale \left[-1,0\right] (maksimum globalne) dana funkcja przyjmuje dla x=0 i wartość ta jest równa \frac12, najmniejszą wartość (minimum globalne) przyjmuje dla x=-1 i wartość ta jest równa \frac{1}{e^2\left(1+e\right)}.
11

Wyznacz najmniejszą i największą wartość funkcji f(x)=\ln^3 x+3\ln^2 x na przedziale \left[e^{-3},e^2\right].

Największą wartość w przedziale \left[e^{-3},e^2\right] (maksimum globalne) dana funkcja przyjmuje dla x=e^2 i wartość ta jest równa 20, najmniejszą wartość (minimum globalne) funkcja przyjmuje w punktach x=1, x=e^{-3} i wartość ta jest równa 0.
12

Wyznacz najmniejszą i największą wartość funkcji f(x)=\frac{x}{x^2+2x-3} na przedziale \left[-2,0\right].

Funkcja jest malejąca w przedziale \left[-2, 0\right].
Największą wartość w przedziale \left[-2,0\right] (maksimum globalne) dana funkcja przyjmuje dla x=-2 i wartość ta jest równa \frac23, najmniejszą wartość (minimum globalne) przyjmuje dla x=0 i wartość ta jest równa 0.