Rachunek różniczkowy funkcji jednej zmiennej

Dziedziną funkcji jest zbiór $D=\mathbb{R}\setminus \left\{ 0\right\}$.

Obliczamy pierwszą i drugą pochodną funkcji $f$:

$f^{\prime }(x)=\frac{e^{x-2}(x-1)}{x^{2}}$, $x\in \mathbb{R}\setminus \left\{ 0\right\}$,

$f^{\prime \prime }(x) =\frac{e^{x-2}(x^{2}-2x+2)}{x^{3}}$, $x\in \mathbb{R}\setminus \left\{ 0\right\}$

i przyrównujemy drugą pochodną do zera:

$f''(x)=0 \Leftrightarrow \frac{e^{x-2}(x²-2x+2)}{x³}=0 \Leftrightarrow (e^{x-2}=0\vee x²-2x+2=0)$.

Ponieważ $e^{x-2}$ $>0$ i $x^{2}-2x+2\neq0$ dla każdego $x\in\mathbb{R}\backslash \left\{ 0\right\}$, więc powyższe równanie nie posiada rozwiązania. Zatem wykres funkcji $f$ nie posiada punktów przegięcia.

Dziedziną funkcji jest zbiór $D=(0, +\infty)$.

Obliczamy pierwszą i drugą pochodną funkcji $f$:

$f'(x) =12x^2+8\ln x+8\text{ , }x\in (0, +\infty)$,

$f''(x)=24x+\frac 8x$, $x\in (0, +\infty)$.

Zauważmy, że dla każdego $x\in(0, +\infty)$ pochodna rzędu drugiego jest dodatnia, zatem nie jest spełniony warunek konieczny istnienia punktu przegięcia i wykres funkcji $f$ nie posiada punktów przegięcia.

Funkcja $f(x)=-x³+6x²-9x+2$ jest wielomianem, jest więc określona dla każdego $x\in \mathbb{R}$.

Obliczamy pierwszą i drugą pochodną funkcji $f$:

$f^{\prime }(x)=-3x^{2}+12x-9,\text{ }x\in \mathbb{R}$

$f^{\prime \prime }(x)=-6x+12$, $x\in \mathbb{R}$

i przyrównujemy drugą pochodną do zera:

$f^{\prime \prime }(x)=0\Leftrightarrow -6x+12=0\Leftrightarrow x=2$.

Stąd wynika, że wykres funkcji $f$ może mieć tylko jeden punkt przegięcia. Dalej o istnieniu punktu przegięcia rozstrzygamy stosując jedną z dwóch metod podanych poniżej.

1 sposób (wykorzystamy I warunek wystarczający istnienia punktu przegięcia)

Badamy, gdzie druga pochodna funkcji przyjmuje wartości dodatnie a gdzie ujemne:

$f^{\prime \prime }(x)>0\text{ }\Leftrightarrow-6x+12>0\text{ }\Leftrightarrow x$

oraz

$f''(x)$.

Stąd wynika, że $f''(x)>0$ dla $x\in (-\infty,2)$ (a zatem także dla pewnego lewostronnego sąsiedztwa 2) oraz $f''(x)$ dla $x\in (2,+\infty)$ (przedział ten można potraktować jako prawostronne sąsiedztwo 2). Zatem punkt $P=(2,0)$ jest punktem przegięcia wykresu funkcji $f$.

Metodę tę stosujemy najczęściej wtedy, gdy jednocześnie mamy wyznaczyć przedziały wklęsłości i wypukłości funkcji $f$.

2 sposób (wykorzystamy II warunek wystarczający istnienia punktu przegięcia)

Obliczamy trzecią pochodną funkcji $f$:

$f'''(x)=-6,\; x\in \mathbb{R}$.

Dla $x=2$ mamy:

$f''(2) = 0$,

$f'''(2) = -6\neq0$.

Zatem punkt $P=(2,0)$ jest punktem przegięcia wykresu funkcji $f$.

Funkcja $f(x)=xe^{x}$ jest określona dla każdego $x\in \mathbb{R}$.

Obliczamy pierwszą i drugą pochodną funkcji $f$:

$f'(x) = e^{x}(1+x), x\in \mathbb{R}$

$f''(x) = e^{x}(2+x), x\in \mathbb{R}$

i przyrównujemy drugą pochodną do zera:

$f''(x)=0\Leftrightarrow e^{x}(2+x)=0\Leftrightarrow(e^{x}=0\vee 2+x=0)$.

Ponieważ $e^{x} >0$ dla każdego $x\in\mathbb{R}$, więc $f''(x)=0$ dla $x=-2$. Oczywiście $x=-2$ należy do dziedziny funkcji. Dalej badamy, gdzie druga pochodna funkcji przyjmuje wartości dodatnie a gdzie ujemne:

$f''(x)>0 \Leftrightarrow e^{x}(2+x)>0 \Leftrightarrow x>-2$

oraz

$f''(x)$.

Ponieważ $f''(x)>0$ dla $x\in (-2,+\infty)$, więc funkcja jest wypukła na przedziale $(-2,+\infty)$. Ponieważ $f''(x)$ dla $x\in (-\infty,-2)$, więc funkcja jest wklęsła na przedziale $(-\infty,-2)$. Na mocy I warunku wystarczającego istnienia punktu przegięcia punkt $P=(-2,-2e^{-2})$ jest punktem przegięcia wykresu funkcji $f$.

Uzyskane wyniki i odpowiedź (uwzględniając również przedziały wypukłości i wklęsłości badanej funkcji) najczęściej zapisujemy w postaci tabeli.

Zauważmy, że funkcja $f(x)=\operatorname{arctg}x-x$ jest określona dla każdego $x\in\mathbb{R}$.

Obliczamy pierwszą i drugą pochodną funkcji $f$:

$f^{\prime }(x) =\frac{1}{1+x^{2}}-1, x\in \mathbb{R}$

$f^{\prime \prime }(x) =\frac{-2x}{\left( 1+x^{2}\right) ^{2}}\text{},\text{ }x\in \mathbb{R}$

i przyrównujemy drugą pochodną do zera:

$f^{\prime \prime }(x)=0\Leftrightarrow \frac{-2x}{\left( 1+x^{2}\right) ^{2}}=0\Leftrightarrow -2x=0\Leftrightarrow x=0$.

Stąd wynika, że wykres funkcji $f$ może mieć tylko jeden punkt przegięcia. Dalej badamy, gdzie druga pochodna funkcji przyjmuje wartości dodatnie a gdzie ujemne:

$f^{\prime \prime }(x)>0\text{ }\Leftrightarrow \frac{-2x}{\left(1+x^{2}\right) ^{2}}>0\text{ }\Leftrightarrow -2x>0\Leftrightarrow x$

oraz

$f^{\prime \prime }(x)$.

Wyniki umieszczamy w tabeli:

Funkcja jest wypukła na przedziale $(-\infty,0)$, wklęsła na przedziale $(0,+\infty)$, a punkt $P=(0,0)$ jest punktem przegięcia wykresu funkcji $f$.