Rachunek różniczkowy funkcji jednej zmiennej

Niech $f:(a,b)\to \mathbb{R}$. Przez $p$ oznaczamy funkcję liniową $p\colon \mathbb{R}\to \mathbb{R}$ przechodzącą przez punkty $(x_1, f(x_1))$ i $(x_2, f(x_2))$. Mówimy, że funkcja $f$ jest wklęsła na przedziale $(a,b)$ jeżeli dla dowolnych $x_1, x_2\in (a,b)$, $x_1$, oraz $x\in (x_1, x_2)$ spełniony jest warunek $f(x)\geq p(x)$.

Załóżmy, że funkcja $f$ jest różniczkowalna na pewnym otoczeniu punktu $x_0$.

Funkcję $f$ nazywamy wklęsłą w punkcie $x_0$, jeżeli istnieje takie sąsiedztwo $S_{x_0}$ punktu $x_0$, że dla każdego $x\in S_{x_0}$ zachodzi nierówność $f(x)\leq f(x_0)+f^\prime(x_0)(x-x_0)$.

Niech $f:(a,b)\to \mathbb{R}$. Przez $p$ oznaczamy funkcję liniową $p\colon \mathbb{R}\to \mathbb{R}$ przechodzącą przez punkty $(x_1, f(x_1))$ i $(x_2, f(x_2))$. Mówimy, że funkcja $f$ jest: wypukła na przedziale $(a,b)$ jeżeli dla dowolnych $x_1, x_2\in (a,b)$, $x_1$, oraz $x\in (x_1, x_2)$ spełniony jest warunek $f(x)\leq p(x)$.

Załóżmy, że funkcja $f$ jest różniczkowalna na pewnym otoczeniu punktu $x_0$.

Funkcję $f$ nazywamy:wypukłą w punkcie $x_0$, jeżeli istnieje takie sąsiedztwo $S_{x_0}$ punktu $x_0$, że dla każdego $x\in S_{x_0}$ zachodzi nierówność $f(x)\geq f(x_0)+f^\prime(x_0)(x-x_0)$.

Punkt $P=(x_0,f(x_0))$ nazywamy punktem przegięcia wykresu funkcji $f$, jeżeli istnieje styczna do wykresu w punkcie $P$ oraz funkcja $f$ jest wypukła (wklęsła) na pewnym lewostronnym i wklęsła (wypukła) na pewnym prawostronnym sąsiedztwie punktu $x_0$.

Załóżmy, że funkcja $f$ jest określona i ciągła na pewnym otoczeniu punktu $x_{0}$. Styczną do wykresu funkcji $f$ w punkcie $x_{0}$ (w punkcie wykresu $(x_{0}$, $f(x_{0}))$) nazywamy prostą będącą granicznym położeniem siecznych wykresu funkcji $f$ przechodzących przez punkty $(x_{0},f(x_{0}))$ i $(x, f(x))$, gdy $x\rightarrow x_{0}$.