6. Badanie przebiegu zmienności funkcji
Przykłady
-
Wyznaczymy asymptoty wykresu funkcji . Obliczamy w tym celu granice funkcji na krańcach jej dziedziny:
Zatem prosta o równaniu jest asymptotą poziomą wykresu funkcji w i .
Wykres funkcji nie ma asymptot pionowych.
-
Wyznaczymy przedziały monotoniczności i ekstrema lokalne funkcji . Obliczamy w tym celu pochodną funkcji.
Wyznaczamy punkty stacjonarne funkcji:
Badamy, gdzie pochodna funkcji przyjmuje wartości dodatnie, a gdzie ujemne. Zauważmy najpierw, że dla każdego , zatem znak funkcji pochodnej będzie taki sam jak znak wyrażenia . Mamy więc:
Zatem funkcja jest malejąca na przedziale , rosnąca na przedziale .
Korzystając z I warunku wystarczającego istnienia ekstremum funkcji wnioskujemy, że w punkcie funkcja ma minimum lokalne równe .
-
Wyznaczymy przedziały wypukłości i wklęsłości oraz punkty przegięcia funkcji . Obliczamy w tym celu drugą pochodną funkcji, następnie rozwiązujemy równanie .
Badamy, gdzie druga pochodna funkcji przyjmuje wartości dodatnie , a gdzie ujemne. Zauważmy, że dla każdego , zatem znak funkcji drugiej pochodnej będzie taki sam jak znak wyrażenia .
Zatem funkcja jest wypukła na przedziale , wklęsła na przedziałach , . Punkty , są punktami przegięcia wykresu funkcji.
-
Wykres funkcji . Zaczynamy od narysowania asymptot, następnie zaznaczamy wyznaczone punkty specjalne (punkty ekstremalne i punkty przegięcia) oraz szkicujemy wykres funkcji na podstawie tabeli.
- Dziedziną funkcji jest zbiór .
- Wyznaczymy asymptoty wykresu funkcji . Obliczymy w tym celu granice funkcji na krańcach jej dziedziny:
Zatem funkcja ma asymptotę pionową prawostronną .
Zatem prosta o równaniu jest asymptotą poziomą wykresu funkcji w .
-
Wyznaczymy przedziały monotoniczności i ekstrema lokalne funkcji . Obliczamy w tym celu pochodną funkcji.
Wyznaczamy punkty stacjonarne funkcji:
Badamy, gdzie pochodna funkcji przyjmuje wartości dodatnie, a gdzie ujemne. Zauważmy najpierw, że dla każdego , zatem znak funkcji pochodnej będzie taki sam jak znak wyrażenia . Mamy więc:
Zatem funkcja jest rosnąca na przedziale , malejąca na przedziale .
Korzystając z I warunku wystarczającego istnienia ekstremum funkcji wnioskujemy, że w punkcie funkcja ma maksimum lokalne równe .
-
Wyznaczymy przedziały wypukłości i wklęsłości oraz punkty przegięcia funkcji . Obliczamy w tym celu drugą pochodną funkcji, następnie rozwiązujemy równanie .
Badamy, gdzie druga pochodna funkcji przyjmuje wartości dodatnie , a gdzie ujemne. Zauważmy, że dla każdego , zatem znak drugiej pochodnej funkcji będzie taki sam jak znak wyrażenia .
Zatem funkcja jest wklęsła na przedziale , wypukła na przedziale , punkt jest punktem przegięcia wykresu funkcji.
-
Wykres funkcji . Zaczynamy od narysowania asymptot, następnie zaznaczamy wyznaczone punkty specjalne (punkty ekstremalne i punkty przegięcia) oraz szkicujemy wykres funkcji na podstawie tabeli.
- Dziedziną funkcji jest zbiór .
-
Wyznaczymy asymptoty wykresu funkcji . Obliczymy w tym celu granice funkcji na krańcach jej dziedziny:
Ponieważ obie policzone powyżej granice są niewłaściwe więc wykres funkcji nie ma symptoty poziomej. Sprawdzamy istnienie asymptot ukośnych wykresu funkcji w i .
Prosta o równaniu , czyli jest asymptotą ukośną wykresu funkcji w .
Zatem prosta o równaniu jest asymptotą ukośną wykresu funkcji w .
Podsumowując otrzymujemy, że prosta o równaniu jest asymptotą ukośną wykresu funkcji w , prosta prosta o równaniu jest asymptotą ukośną wykresu funkcji w . Wykres funkcji nie ma asymptot pionowych.
-
Wyznaczymy przedziały monotoniczności i ekstrema lokalne funkcji . Obliczamy w tym celu pochodną funkcji.
Wyznaczamy punkty stacjonarne funkcji:
Badamy, gdzie pochodna funkcji przyjmuje wartości dodatnie, a gdzie ujemne. Zauważmy najpierw, że dla każdego , zatem znak pochodnej funkcji będzie taki sam jak znak wyrażenia . Mamy więc:
Zatem funkcja jest malejąca na każdym z przedziałów , , rosnąca na przedziale . Korzystając z I warunku wystarczającego istnienia ekstremum funkcji wnioskujemy, że w punkcie funkcja ma minimum lokalne równe , zaś w punkcie funkcja ma maksimum lokalne równe .
-
Wyznaczymy przedziały wypukłości i wklęsłości oraz punkty przegięcia funkcji . Obliczamy w tym celu drugą pochodną funkcji, następnie rozwiązujemy równanie .
Badamy, gdzie druga pochodna funkcji przyjmuje wartości dodatnie, a gdzie ujemne. Zauważmy, że dla każdego , zatem znak funkcji drugiej pochodnej będzie taki sam jak znak wyrażenia .
Zatem funkcja jest wypukła na przedziale , wklęsła na przedziale , punkt jest punktem przegięcia wykresu funkcji.
-
Wykres funkcji . Zaczynamy od narysowania asymptot, następnie zaznaczamy wyznaczone punkty specjalne (punkty ekstremalne i punkty przegięcia) oraz szkicujemy wykres funkcji na podstawie tabeli.