Rachunek różniczkowy funkcji jednej zmiennej

Dziedziną badanej funkcji jest zbiór $D=(0,+\infty )$. Obliczamy pochodną funkcji $f$:

$f^{\prime }(x)=\ln x+x\cdot\frac{1}{x}=\ln x+1$ dla $x\in (0,+\infty )$.

Obliczamy teraz drugą pochodną:

$f^{\prime \prime }(x)=\frac{1}{x}$ dla $x\in (0,+\infty )$.

Rozwiązujemy nierówność:

$f^{\prime \prime }(x)>0 \ \Leftrightarrow \frac{1}{x}>0 \ \Leftrightarrow x\in (0,+\infty)$.

Ponieważ $f^{\prime \prime}(x)>0$ dla każdego $x\in (0,+\infty )$, to wnioskujemy, że funkcja $f$ jest wypukła w całej dziedzinie.

Dziedziną badanej funkcji jest zbiór $D = (0,+\infty)$. Obliczamy pochodną funkcji $f$:

$f^{\prime }(x)=(-\frac{4}{5\sqrt{x^{5}} })^{\prime }= -4\cdot \frac{1}{5}(x^{-\frac{5}{2}})^{\prime }=-\frac{4}{5} \cdot (-\frac{5}{2})x^{-\frac{7}{2}} =2x^{-\frac{7}{2}}=\frac{2}{\sqrt{x^{7}}}$ dla $x\in (0,+\infty )$.

Obliczamy teraz drugą pochodną:

$f^{\prime \prime }(x)=(\frac{2}{\sqrt{x^{7}}})^{\prime }= 2(x^{-\frac{7}{2}})^{\prime }=-7x^{-\frac{9}{2}}= -\frac{7}{\sqrt{x^{9}}}$, $x\in (0,+\infty)$.

Rozwiązujemy nierówność:

$f^{\prime \prime }(x)$.

Ponieważ $f^{\prime \prime }(x)$ dla każdego $x\in (0,+\infty )$, zatem funkcja $f$ jest wklęsła w całej dziedzinie.

Dziedziną badanej funkcji jest zbiór $D= \mathbb{R}$. Obliczamy pochodną funkcji $f$:

$f^{\prime }(x)=e^{-x}+xe^{-x}(-1)=e^{-x}(1-x)$ dla $x\in \mathbb{R}$.

Obliczamy teraz drugą pochodną:

$\ f^{\prime \prime }(x)=e^{-x}(-1)(1-x)+e^{-x}(-1)=e^{-x}(x-2)$ dla $x\in \mathbb{R}$.

Rozwiązujemy nierówności:

$f^{\prime \prime }(x)>0 \ \Leftrightarrow \  e^{-x}(x-2)>0\ \Leftrightarrow \ x-2>0 \ \Leftrightarrow \ x\in (2,+\infty )$,

$f^{\prime \prime }(x)$.

Ponieważ $f^{\prime \prime }(x)>0$ dla każdego $x\in (2,+\infty)$, zatem funkcja $f$ jest wypukła na przedziale $(2,+\infty)$. Ponieważ $f^{\prime \prime }(x)$ dla każdego $x\in (-\infty ,2)$, zatem funkcja $f$ jest wklęsła na przedziale $(-\infty ,2)$.