Rachunek różniczkowy funkcji jednej zmiennej

Definicja

Załóżmy, że funkcja $f$ jest różniczkowalna na pewnym otoczeniu punktu $x_0$. Niech $L_0$ będzie styczną do jej wykresu w punkcie $(x_0, f(x_0))$. Funkcję $f$ nazywamy wypukłą w punkcie $x_0$, jeżeli istnieje takie sąsiedztwo $S_{x_0}$ punktu $x_0$, że dla każdego $x\in S_{x_0}$ punkty tej krzywej leżą powyżej stycznej $L_0$, tzn. istnieje sąsiedztwo $S_{x_0}$ punktu $x_0$ takie, że dla $x\in S_{x_0}$ zachodzi nierówność

$f(x)>f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)$.

Definicja

Załóżmy, że funkcja $f$ jest różniczkowalna na pewnym otoczniu punktu $x_0$. Niech $L_0$ będzie styczną do jej wykresu w punkcie $(x_0, f(x_0))$. Funkcję $f$ nazywamy wklęsłą w punkcie $x_0$, jeżeli istnieje takie sąsiedztwo $S_{x_0}$ punktu $x_0$, że dla każdego $x\in S_{x_0}$ punkty tej krzywej leżą poniżej stycznej $L_0$, tzn. istnieje sąsiedztwo $S_{x_0}$ punktu $x_0$ takie, że dla $x\in S_{x_0}$ zachodzi nierówność

$f(x)$.

Definicja

Mówimy, że funkcja $f:(a,b)\rightarrow \mathbb{R}$ jest wypukła (wklęsła) na przedziale $(a,b)$, gdy jest wypukła (wklęsła) w każdym punkcie tego przedziału.

Twierdzenie -- warunek wystarczający wypukłości krzywej

Jeżeli funkcja $f$ jest dwukrotnie różniczkowalna na przedziale $(a,b)$ oraz $f''(x)>0$ dla każdego $x\in (a,b)$, to funkcja $f$ jest wypukła na tym przedziale.

Twierdzenie -- warunek wystarczający wklęsłości krzywej

Jeżeli funkcja $f$ jest dwukrotnie różniczkowalna na przedziale $(a,b)$ oraz $f''(x)$ dla każdego $x\in (a,b)$, to funkcja $f$ jest wklęsła na tym przedziale.