1. Wprowadzenie

1.4 Interpretacja fizyczna pochodnej w punkcie

Niech T\subset \mathbb{R}. Wielkością przeciętną (względną, średnią) funkcji f:T\rightarrow \mathbb{R} nazywamy

\frac{\Delta f}{\Delta x}=\frac{f(x_{0}+\Delta x)-f(x_{0})}{\Delta x},

czyli iloraz przyrostu funkcji do przyrostu argumentu (iloraz różnicowy funkcji).

Dokładniejszą charakterystykę szybkości zmian funkcji otrzymamy wtedy, gdy w powyższym ilorazie przejdziemy do granicy. Konieczna jest jednak znajomość analitycznego wzoru rozważanej funkcji.

Potrzebę wprowadzenia pochodnej objaśnimy na przykładzie fizycznych wielkości:

 

1. Prędkość V

Rozpatrzmy ruch po linii prostej, aby nie trzeba się było posługiwać wektorami.

Wyobraźmy sobie punkt materialny P poruszający się ze zmienną prędkością po osi liczbowej s w taki sposób, że jego pozycja w chwili t_{0} określona jest jako funkcja czasu i wynosi s(t_{0}). W chwili t_{0}+\Delta t współrzędna (pozycja) tego punktu jest równa s(t_{0}+\Delta t). Przesunięcie w czasie \Delta t jest równe \Delta s=s(t+\Delta t)-s\left( t\right). Zatem prędkość średnia jest równa

V_{śr} =\frac{\Delta s}{\Delta t}=\frac{s(t_{0}+\Delta t)-s(t_{0})}{\Delta t},

zaś prędkość chwilowa w chwili t_{0} jest równa

V\left( t_{0}\right) =\lim\limits_{ \Delta t\to 0}\frac{\Delta s}{\Delta t}= \lim\limits_{\Delta t\to 0}\frac{s(t_{0}+\Delta t)-s(t_{0})}{\Delta t}=\frac{ds}{dt}(t_0)=s'(t_{0}).

2. Przyspieszenie a

W czasie \Delta t punkt materialny P przyspieszy od chwili t_0 do chwili t_0+\Delta t średnio o

a=\frac{\Delta V}{\Delta t}=\frac{V(t_{0}+\Delta t)-V(t_{0})}{\Delta t}.

Granicę właściwą tego ilorazu różnicowego, gdy \Delta t\to 0 nazywamy przyspieszeniem punktu P w chwili t_0

a(t_{0})=\underset{\Delta t\to 0}{\lim }\Delta a=\underset{\Delta t\to 0}{\lim }\frac{\Delta V}{\Delta t}=\underset{\Delta t\to 0}{\lim }\frac{V(t_{0}+\Delta t)-V(t_{0})}{\Delta t}=\frac{dV}{ dt}(t_{0})=s''(t_{0}).

3. Natężenie prądu I

Prąd elektryczny to uporządkowany ruch ładunków elektrycznych wzdłuż przewodnika. Niech \Delta Q oznacza ładunek przepływający przez ustalony przekrój przewodnika w czasie \Delta t. Wówczas wielkość I_{śr}=\frac{\Delta Q}{\Delta t} nazywa się średnim natężeniem prądu. Chwilowym natężeniem prądu jest wielkość nazywa się średnim natężeniem prądu. Chwilowym natężeniem prądu jest wielkość

I\left( t_{0}\right) =\underset{\Delta t\to 0}{\lim }\frac{\Delta Q}{ \Delta t}=\frac{dQ}{dt}(t_{0})=Q'(t_{0}).

4. Gęstość rozkładu masy μ

Załóżmy, że mamy pręt o długości L taki, że masa części tego pręta liczona od początku do punktu x_0\in[0,L] dana jest funkcją M(x_0). Wtedy masa zawarta w przedziale [x_0,x_0+\Delta x] wynosi:

\Delta M=M(x_{0}+\Delta x)-M(x_{0}).

Średnia gęstość masy na tym przedziale jest równa:

\overline{\mu }=\frac{\Delta M}{\Delta x}=\frac{M(x_{0}+\Delta x)-M(x_{0})}{\Delta x}.

W granicy otrzymuje się gęstość masy w punkcie x_0

\mu \left( x_{0}\right) =\underset{\Delta x\rightarrow 0}{\lim }\frac{\Delta M}{\Delta x}=M'(x_{0}).

---------------------------------------------

Definicja

Niech T\subset \mathbb{R}. Wielkością przeciętną (względną, średnią) funkcji 

f:T\rightarrow \mathbb{R} nazywamy

\frac{\Delta f}{\Delta x}=\frac{f(x_{0}+\Delta x)-f(x_{0})}{\Delta x},

czyli iloraz przyrostu funkcji do przyrostu argumentu (iloraz różnicowy funkcji). Dokładniejszą charakterystykę szybkości zmian funkcji otrzymamy wtedy, gdy w powyższym ilorazie przejdziemy do granicy. Konieczna jest jednak znajomość analitycznego wzoru rozważanej funkcji.

Potrzebę wprowadzenia pochodnej objaśnimy na przykładzie fizycznych wielkości:

1. Prędkość V

Rozpatrzmy ruch po linii prostej, aby nie trzeba się było posługiwać wektorami. 

Wyobraźmy sobie punkt materialny P poruszający się ze zmienną prędkością po osi liczbowej s w taki sposób, że jego pozycja w chwili t_{0} określona jest jako funkcja czasu i wynosi s(t_{0}).

W chwili t_{0}+\Delta t współrzędna (pozycja) tego punktu jest równa s(t_{0}+\Delta t), 

Przesunięcie w czasie $\Deltat$ jest równe \Delta s=s(t+\Delta t)-s\left( t\right). Zatem prędkość średnia jest równa

V_{śr} =\frac{\Delta s}{\Delta t}=\frac{s(t_{0}+\Delta t)-s(t_{0})}{\Delta t},

zaś prędkość chwilowa w chwili t_{0} jest równa

V\left( t_{0}\right) =\lim\limits_{ \Delta t\to 0}\frac{\Delta s}{\Delta t}=\lim\limits_{\Delta t\to 0}\frac{s(t_{0}+\Delta t)-s(t_{0})}{\Delta t}=\frac{ds}{dt}(t_0)=s'(t_{0}).

2. Przyspieszenie a

W czasie Δt punkt materialny P  przyspieszy od chwili t₀ do chwili t₀+Δt średnio o
a=\frac{\Delta V}{\Delta t}=\frac{V(t_{0}+\Delta t)-V(t_{0})}{\Delta t}.

Granicę właściwą tego ilorazu różnicowego, gdy Δt→0 nazywamy przyspieszeniem punktu P w chwili t₀

a(t_{0})=\underset{\Delta t\rightarrow 0}{\lim }\Delta a=\underset{\Delta t\rightarrow 0}{\lim }\frac{\Delta V}{\Delta t}=\underset{\Delta t\rightarrow 0}{\lim }\frac{V(t_{0}+\Delta t)-V(t_{0})}{\Delta t}=\frac{dV}{dt}(t_{0})=s''(t_{0}).
3. Natężenie prądu I

Prąd elektryczny to uporządkowany ruch ładunków elektrycznych wzdłuż przewodnika. Niech ΔQ oznacza ładunek przepływający przez ustalony przekrój przewodnika w czasie Δt. Wówczas wielkość I_{\acute{s}r}=\frac{\Delta Q}{\Delta t} nazywa się średnim natężeniem prądu. Chwilowym natężeniem prądu jest wielkość nazywa się średnim natężeniem prądu. Chwilowym natężeniem prądu jest wielkość

I\left( t_{0}\right) =\underset{\Delta t\rightarrow 0}{\lim }\frac{\Delta Q}{\Delta t}=\frac{dQ}{dt}(t_{0})=Q'(t_{0}).

 4.Gęstość rozkładu masy μ

Załóżmy, że mamy pręt o długości L taki, że masa części tego pręta liczona od początku do punktu x₀∈[0,L] dana jest funkcją M(x₀). Wtedy masa zawarta w przedziale [x₀,x₀+Δx] wynosi:

\Delta M=M(x_{0}+\Delta x)-M(x_{0}).

Średnia gęstość masy na tym przedziale jest równa:

\overline{\mu }=\frac{\Delta M}{\Delta x}=\frac{M(x_{0}+\Delta x)-M(x_{0})}{\Delta x}

W granicy otrzymuje się gęstość masy w punkcie x₀

\mu \left( x_{0}\right) =\underset{\Delta x\rightarrow 0}{\lim }\frac{\Delta M}{\Delta x}=M'(x_{0}).