Rachunek różniczkowy funkcji jednej zmiennej

Definicja
Niech $T⊂R$. Wielkością przeciętną  (względną, średnią) funkcji $f:T→R$, nazywamy

$\frac{\Delta f}{\Delta x}=\frac{f(x_{0}+\Delta x)-f(x_{0})}{\Delta x} , \label{1}$  $(1)$

czyli iloraz przyrostu funkcji do przyrostu argumentu (iloraz różnicowy funkcji).
    Funkcję $\frac{f(x)}{x}$ nazywamy funkcją przeciętną, średnią.

    Uwaga

Wielkość przeciętna określa, w jakim stopniu funkcja $f$ jest czuła na przyrost zmiennej $x$. Jednakże ocena reakcji funkcji na podstawie wzoru $(1)$ daje pogląd jedynie na przeciętną prędkość zmiany wartości tej funkcji w przedziale $[x₀,x₀+Δx]$. Zmiany te nie muszą zachodzić tak równomiernie, jak wskazuje wartość średnia. Dokładniejszą charakterystykę szybkości zmian funkcji otrzymamy wtedy, gdy w ilorazie $(1)$ przejdziemy do granicy. Konieczna jest jednak znajomość analitycznego wzoru rozważanej funkcji.

Definicja  Wielkością krańcową funkcji  $f:T→R$ w punkcie $x₀$, nazywamy granicę właściwą (o ile istnieje):

$\underset{\Delta x\rightarrow 0}{\lim }\frac{\Delta f}{\Delta x}=\underset{%\Delta x\rightarrow 0}{\lim }\frac{f(x_{0}+\Delta x)-f(x_{0})}{\Delta x}%=f'(x_{0})$,

czyli pochodną pierwszego rzędu funkcji $f$  w punkcie $x₀$. Funkcję $f′$ określoną na $T$ nazywamy funkcją krańcową.

Zauważmy, że dla funkcji jednej zmiennej $f(x)$, dla małych przyrostów $Δx$ mamy:

$\Delta f=f(x_{0}+\Delta x)-f(x_{0})\approx f'(x_{0})\Delta x$.

Niech $Δx=1$, czyli argument zwiększa się o jednostkę w stosunku do poziomu wyjściowego. Wtedy powyższa zależność ma postać:

$\Delta f=f(x_{0}+1)-f(x_{0})\approx f'(x_{0})$,

czyli zwiększenie argumentu o jednostkę powoduje wzrost funkcji o $f′(x₀)$. Zatem wielkość krańcowa funkcji jest w przybliżeniu równa przyrostowi funkcji przy wzroście argumentu funkcji o jednostkę. Wielkość krańcowa jest miarą szybkości zmian wartości funkcji w punkcie x₀.

    Przykłady

1.Funkcja kosztu

   Koszt wytworzenia dowolnej wielkości produkcji zależy od wielkości nakładów poszczególnych czynników produkcji oraz ich cen. Jest on więc funkcją kilku zmiennych. Jeżeli jednak nasze rozważania ograniczymy do krótkiego okresu, a więc czasu, w którym przynajmniej jeden czynnik produkcji jest stały i koszt możemy przedstawić jako funkcję jednej zmiennej: wielkości produkcji.
    Koszty całkowite są sumą kosztów stałych i kosztów zmiennych.

    Niech $K:R₊→R_{+ }$ będzie funkcją kosztu całkowitego zależną od wielkości produkcji $x$, gdzie $x∈(0,+∞)$.
    Wtedy funkcję

$K_{p}:x\rightarrow K_{p}\left( x\right) =\frac{K(x)}{x}$

nazywamy funkcją kosztów przeciętnych, a jej wartość  $K_{p}\left( x_{0}\right) =\frac{K(x_{0})}{x_{0}}$    kosztem przeciętnym (jednostkowym) wytworzenia jednostki produktu przy poziomie produkcji x₀.
    Przy podejmowaniu decyzji dotyczących wielkości produkcji (i jej wpływu na koszty) bardzo ważną wskazówką jest kształtowanie się kosztów jednostkowych przy różnych rozmiarach produkcji. W tego typu analizach przydatne jest wykorzystanie kosztów krańcowych.

Definicja
Koszt krańcowy to koszt wytworzenia dodatkowej jednostki produktu (przy założeniu, że produkcja zmienia się skokowo), czyli przyrost kosztów spowodowany zwiększeniem produkcji o jednostkę. Tak więc koszty krańcowe informują o tym, jak wzrosną koszty całkowite przy wzroście produkcji o jedną jednostkę $\left( K_{x}=\frac{\Delta K}{\Delta x}\right) .$
Często jednak zakładamy ciągłą, a nie skokową zmianę wielkości produkcji.

Przy założeniu, że funkcja $K(x)$ jest różniczkowalna oraz $x₀>0$, $Δx>0$, $x₀+Δx>0$, gdzie $Δx$ jest dodatnim przyrostem argumentu funkcji (przyrostem produkcji), można zbudować iloraz różnicowy (przyrost przeciętny) tej funkcji:

$\frac{K(x_{0}+\Delta x)-K(x_{0})}{\Delta x}=\frac{\Delta K}{\Delta x}$.

Wyraża on przeciętny koszt wytworzenia dodatkowych jednostek produktu $Δx$ poczynając od poziomu $x₀$. Granicą tego ilorazu jest pochodna funkcji $K$ w punkcie $x₀$
$K'(x_{0})=\underset{\Delta x\rightarrow 0}{\lim }\frac{\Delta K}{\Delta x}.%$

Stąd

$K_{x}(x₀)=K′(x₀)$.

Natomiast funkcja $K_{x}: x→K′(x)$ jest funkcją kosztu krańcowego.

2. Funkcja produkcji
    Funkcja produkcji określa relacje między wielkością produkcji a liczbą zaangażowanych czynników produkcji. Funkcja produkcji określa, jaką maksymalną wielkość produkcji może osiągnąć przedsiębiorstwo w wyniku użycia posiadanych zasobów, przy danej technice wytwarzania.
    Funkcja produkcji
    $TP=f(K,L), K≥0,L≥0$
    gdzie: $TP$ --całkowita wielkość produkcji ($Q$); $K$ -- ilość użytych jednostek kapitału; $L$ -- ilość użytych jednostek pracy.
    Jak widać (po uproszczeniu) produkcja zależy od zaangażowanych w nią kapitału i pracy.
    Krótki okres (SR) to taki czas (stan), w którym ilość jednego lub więcej czynników produkcji jest stała (przynajmniej jeden czynnik produkcji jest stały,  pozostałe mogą być zmienne).

    Definicje:
    Produkt całkowity T(total) P(product) to łączna wielkość produkcji przedsiębiorstwa wytwarzana przy zatrudnianiu kolejnych jednostek zmiennego czynnika wytwórczego.
    Produkt przeciętny A(average)P(product ) to średnia wielkość produkcji całkowitej $TP$ przypadająca na jednostkę zmiennego czynnika wytwórczego $QL$ lub $QK$.

Produkt marginalny M(marginal) P(product) Dodatkowa wielkość produktu całkowitego $ΔTP$ wywołana zwiększeniem zatrudnienia zmiennego czynnika wytwórczego o jednostkę $ΔQ_{L}$, $ΔQ_{K}$.

$MP=((ΔTP)/(ΔQ_{L}))$,

$MP=((ΔTP)/(ΔQ_{K}))$.

Produkt marginalny (krańcowy) to przyrost produkcji ($TP$) wynikający z zatrudnienia dodatkowego pracownika (dodatkowej jednostki zmiennego czynnika produkcji).

  $MP_{L} = ((ΔTP)/(ΔL))$,
   $MP_{K} = ((ΔTP)/(ΔK))$.
Prawo malejących dochodów głosi, że jeżeli następuje wzrost nakładów jednego czynnika produkcji (przy założeniu stałości pozostałych czynników), to począwszy od pewnego poziomu, przyrosty produkcji zaczynają maleć. Formuła liczenia:

    $MP=TP′=((ΔTP)/(ΔQ_{L}))$.
3. Funkcja konsumpcji

    Dochody gospodarstw domowych mają być przeznaczone na wydatki konsumpcyjne lub na oszczędności $Y=C+S$. Przy danym poziomie dochodów im większe wydatki konsumpcyjne, tym mniejsze oszczędności i odwrotnie, im większe oszczędności, tym mniejsze wydatki konsumpcyjne. Wynika z tego, że decyzje gospodarstw domowych w sprawie wydatków konsumpcyjnych są zarazem decyzjami w sprawie oszczędzania. Funkcja konsumpcji  pokazuje poziom zamierzonych łącznych wydatków konsumpcyjnych przy różnych poziomach dochodu. Zależności między wydatkami konsumpcyjnymi a dochodem charakteryzują się kilkoma cechami:
    Przeciętna skłonność do konsumpcji to stosunek wydatków konsumpcyjnych do dochodu. Wielkość ta informuje, jaka części dochodu przeznaczona jest na konsumpcję: $(C/Y)$.
    Krańcowa skłonność do konsumpcji to stosunek przyrostu wydatków konsumpcyjnych do przyrostu dochodu. Wielkość ta informuje jaka część przyrostu dochodu przeznaczona jest na wydatki konsumpcyjne:

    $K_{sk}=((ΔC)/(ΔY))$.
W polityce gospodarczej znajomość krańcowej skłonności do konsumpcji ma duże znaczenie. Pozwala bowiem odpowiedzieć, z dużą dozą prawdopodobieństwa, na co ludzie przeznaczą dodatkowe dochody i w jakiej proporcji wydadzą je na dobra konsumpcyjne, a ile zaoszczędzą.

4.Funkcja użyteczności

Funkcja użyteczności to funkcja, której wartościami są wartości użyteczności (satysfakcji, komfortu psychicznego). Można mówić o użyteczności różnych zjawisk (koszyków towarów). Użyteczność pieniądza (bogactwa) jest np. funkcją, która wartości pieniężnej przyporządkowuje użyteczność dla otrzymującego tę wartość. Funkcja użyteczności jest pojęciem psychologicznym, co oznacza, że każdy ma swoją funkcję użyteczności. Jednak pewne ogólne własności są wspólne. Mianowicie, ponieważ każdy woli posiadać więcej niż mniej, więc funkcja użyteczności jest rosnąca. Ponadto krańcowa użyteczność jest malejąca, tzn. każdy dodatkowy procent wzrostu bogactwa powoduje coraz mniejszy przyrost użyteczności. Przykładowo, ktoś kto nic nie ma, podejmie wysiłek w celu zarobienia $10$ zł., bo ta kwota zapewni mu np. posiłek. Dla osoby bogatej ta kwota będzie prawie bez znaczenia.

Definicja: Ustalmy koszyk towarów $x∈R₊$. Pochodną $u′(x)$ nazywamy krańcową użytecznością towaru w koszyku $x$.

Funkcja użyteczności $u(x)$ jest funkcją spełniającą warunki:

$u' (x) > 0$ -- postulat niedosytu oznacza, że wzrost ilości towaru w koszyku zwiększa użyteczności koszyka,

$u''(x) < 0$ -- krańcowa użyteczność każdego towaru maleje, w miarę jak wzrasta jego spożycie.

Określa ona użyteczność posiadania przez osobę/instytucję wartości (pieniężnej) $x$.