6. Badanie przebiegu zmienności funkcji
Przykłady
-
Wyznaczymy asymptoty wykresu funkcji
. Obliczamy w tym celu granice funkcji na krańcach jej dziedziny:
Zatem prosta o równaniu
jest asymptotą poziomą wykresu funkcji w
i
.
Wykres funkcji nie ma asymptot pionowych.
-
Wyznaczymy przedziały monotoniczności i ekstrema lokalne funkcji
. Obliczamy w tym celu pochodną funkcji.
Wyznaczamy punkty stacjonarne funkcji:
Badamy, gdzie pochodna funkcji przyjmuje wartości dodatnie, a gdzie ujemne. Zauważmy najpierw, że
dla każdego
, zatem znak funkcji pochodnej będzie taki sam jak znak wyrażenia
. Mamy więc:
Zatem funkcja jest malejąca na przedziale
, rosnąca na przedziale
.
Korzystając z I warunku wystarczającego istnienia ekstremum funkcji wnioskujemy, że w punkcie
funkcja ma minimum lokalne równe
.
-
Wyznaczymy przedziały wypukłości i wklęsłości oraz punkty przegięcia funkcji
. Obliczamy w tym celu drugą pochodną funkcji, następnie rozwiązujemy równanie
.
Badamy, gdzie druga pochodna funkcji przyjmuje wartości dodatnie , a gdzie ujemne. Zauważmy, że
dla każdego
, zatem znak funkcji drugiej pochodnej będzie taki sam jak znak wyrażenia
.
Zatem funkcja jest wypukła na przedziale
, wklęsła na przedziałach
,
. Punkty
,
są punktami przegięcia wykresu funkcji.
-
Tabelka przebiegu zmienności funkcji
.
-
Wykres funkcji
. Zaczynamy od narysowania asymptot, następnie zaznaczamy wyznaczone punkty specjalne (punkty ekstremalne i punkty przegięcia) oraz szkicujemy wykres funkcji na podstawie tabeli.
- Dziedziną funkcji
jest zbiór
.
- Wyznaczymy asymptoty wykresu funkcji
. Obliczymy w tym celu granice funkcji na krańcach jej dziedziny:
Zatem funkcja ma asymptotę pionową prawostronną
.
Zatem prosta o równaniu
jest asymptotą poziomą wykresu funkcji
w
.
-
Wyznaczymy przedziały monotoniczności i ekstrema lokalne funkcji
. Obliczamy w tym celu pochodną funkcji.
Wyznaczamy punkty stacjonarne funkcji:
Badamy, gdzie pochodna funkcji przyjmuje wartości dodatnie, a gdzie ujemne. Zauważmy najpierw, że
dla każdego
, zatem znak funkcji pochodnej będzie taki sam jak znak wyrażenia
. Mamy więc:
Zatem funkcja jest rosnąca na przedziale
, malejąca na przedziale
.
Korzystając z I warunku wystarczającego istnienia ekstremum funkcji wnioskujemy, że w punkcie
funkcja ma maksimum lokalne równe
.
-
Wyznaczymy przedziały wypukłości i wklęsłości oraz punkty przegięcia funkcji
. Obliczamy w tym celu drugą pochodną funkcji, następnie rozwiązujemy równanie
.
Badamy, gdzie druga pochodna funkcji przyjmuje wartości dodatnie , a gdzie ujemne. Zauważmy, że
dla każdego
, zatem znak drugiej pochodnej funkcji będzie taki sam jak znak wyrażenia
.
Zatem funkcja
jest wklęsła na przedziale
, wypukła na przedziale
, punkt
jest punktem przegięcia wykresu funkcji.
-
Tabelka przebiegu zmienności funkcji
.
-
Wykres funkcji
. Zaczynamy od narysowania asymptot, następnie zaznaczamy wyznaczone punkty specjalne (punkty ekstremalne i punkty przegięcia) oraz szkicujemy wykres funkcji na podstawie tabeli.
- Dziedziną funkcji
jest zbiór
.
-
Wyznaczymy asymptoty wykresu funkcji
. Obliczymy w tym celu granice funkcji na krańcach jej dziedziny:
Ponieważ obie policzone powyżej granice są niewłaściwe więc wykres funkcji nie ma symptoty poziomej. Sprawdzamy istnienie asymptot ukośnych wykresu funkcji w
i
.
Prosta o równaniu
, czyli
jest asymptotą ukośną wykresu funkcji w
.
Zatem prosta o równaniu
jest asymptotą ukośną wykresu funkcji w
.
Podsumowując otrzymujemy, że prosta o równaniu
jest asymptotą ukośną wykresu funkcji w
, prosta prosta o równaniu
jest asymptotą ukośną wykresu funkcji w
. Wykres funkcji
nie ma asymptot pionowych.
-
Wyznaczymy przedziały monotoniczności i ekstrema lokalne funkcji
. Obliczamy w tym celu pochodną funkcji.
Wyznaczamy punkty stacjonarne funkcji:
Badamy, gdzie pochodna funkcji przyjmuje wartości dodatnie, a gdzie ujemne. Zauważmy najpierw, że
dla każdego
, zatem znak pochodnej funkcji będzie taki sam jak znak wyrażenia
. Mamy więc:
Zatem funkcja jest malejąca na każdym z przedziałów
,
, rosnąca na przedziale
. Korzystając z I warunku wystarczającego istnienia ekstremum funkcji wnioskujemy, że w punkcie
funkcja ma minimum lokalne równe
, zaś w punkcie
funkcja ma maksimum lokalne równe
.
-
Wyznaczymy przedziały wypukłości i wklęsłości oraz punkty przegięcia funkcji
. Obliczamy w tym celu drugą pochodną funkcji, następnie rozwiązujemy równanie
.
Badamy, gdzie druga pochodna funkcji przyjmuje wartości dodatnie, a gdzie ujemne. Zauważmy, że
dla każdego
, zatem znak funkcji drugiej pochodnej będzie taki sam jak znak wyrażenia
.
Zatem funkcja
jest wypukła na przedziale
, wklęsła na przedziale
, punkt
jest punktem przegięcia wykresu funkcji.
-
Tabelka przebiegu zmienności funkcji
.
-
Wykres funkcji
. Zaczynamy od narysowania asymptot, następnie zaznaczamy wyznaczone punkty specjalne (punkty ekstremalne i punkty przegięcia) oraz szkicujemy wykres funkcji na podstawie tabeli.