Rachunek różniczkowy funkcji jednej zmiennej

Zadanie 1

Wyznacz ekstrema lokalne i przedziały monotoniczności funkcji określonej wzorem:

(a) $f(x)=2x^3-3x^2$

Wskazówka: $f^\prime(x)=6x^2-6x.$

Odpowiedź: Dziedziną funkcji jest zbiór $D=\mathbb{R}$. Funkcja jest rosnąca w każdym z przedziałów: $(-\infty,0)$, $(1,\infty)$, malejąca w przedziale $(0,1)$, w punkcie  $x=0$ funkcja ma maksimum lokalne,  $f(0)=0$, w punkcie  $x=1$ funkcja ma minimum lokalne, $f(1)=-1.$

(b) $f(x)=\frac{x^2-1}{x^2-4}$

Wskazówka:  $f^\prime(x)=\frac{- 6x}{(x^2-4)^2}.$

Odpowiedź:  Dziedziną funkcji jest zbiór $D=\mathbb{R}\setminus \{-2, 2\}$. Funkcja jest rosnąca w każdym z przedziałów: $(-\infty,-2)$, $(-2,0)$, malejąca w każdym z przedziałów: $(0,2)$, $(2,\infty)$ w punkcie  $x=0$  funkcja ma maksimum lokalne, $f(0)=\frac14$.

(c) $f(x)=x^2\cdot e^x$

Wskazówka: $f^\prime(x)=(2x+x^2)\cdot e^x.$

Funkcja jest rosnąca w każdym z przedziałów: $(-\infty,-2)$, $(0,\infty)$,
malejąca w przedziale $(-2,0)$, w punkcie $x=0$ funkcja ma minimum lokalne, o wartości $f(0)=0$, w punkcie $x=-2$ funkcja ma maksimum lokalne, $f(-2)=4e^{-2}$.

(d) $f(x)=\frac{e^x}{x^2+1}$

Wskazówka: $f^\prime(x)=\frac{e^x\cdot (x^2-2x+1)}{(x^2+1)^2}.$

Odpowiedź:  Dziedziną funkcji jest zbiór $D=\mathbb{R}$. Funkcja jest rosnąca w całej swojej dziedzinie.

(e) $f(x)=\frac{\ln x+1}{2x}$

Wskazówka: $f^\prime(x)=-\frac{\ln x}{2x^2}.$

Odpowiedź:  Dziedziną funkcji jest zbiór $D=(0, \infty)$. Funkcja jest rosnąca w przedziale $(0,1)$, malejąca w przedziale $(1,\infty)$, w punkcie  $x=1$ funkcja ma maksimum lokalne,  $f(1)=\frac12$.

(f) $f(x)=x-5\mathrm{arctg}x$

Wskazówka: $f^\prime(x)=\frac{x^2-4}{x^2+1}.$

Odpowiedź:  Dziedziną funkcji jest zbiór $D=\mathbb{R}$. Funkcja jest rosnąca w każdym z przedziałów: $(-\infty,-2)$, $(2,\infty)$, malejąca w przedziale $(-2,2)$, w punkcie  $x=-2$ funkcja ma maksimum lokalne, $f(-2)=-2-5\mathrm{arctg}(-2)$, w punkcie  $x=2$ funkcja ma minimum lokalne, $f(2)=2-5\mathrm{arctg}(2)$.

(g) $f(x)=\frac{x}{x^2+4}$

Wskazówka: $f^\prime(x)=\frac{4-x^2}{(4+x^2)^2}.$

Odpowiedź:  Dziedziną funkcji jest zbiór $D=\mathbb{R}$. Funkcja jest malejąca w każdym z przedziałów: $(-\infty,-2)$,

$(2,\infty)$, rosnąca w przedziale $(-2,2)$, w punkcie  $x=-2$ funkcja ma minimum lokalne, $f(-2)=-\frac{1}4$, w punkcie $x=2$ funkcja ma maksimum lokalne, $f(2)=\frac14$.

(h) $f(x)=\frac{e^{2x}}{x^2}$

Wskazówka: $f^\prime(x)=\frac{2e^{2x}\cdot (x^2-x)}{x^4}.$

Odpowiedź:  Dziedziną funkcji jest zbiór $D=\mathbb{R}\setminus \{0\}$. Funkcja jest rosnąca w każdym z przedziałów: $(-\infty,0)$, $(1,\infty)$, malejąca w przedziale $(0,1)$, w punkcie  $x=1$ funkcja ma minimum lokalne, $f(1)=e^2$.

(i) $f(x)=x^3\cdot e^{-x}$

Wskazówka: $f^\prime(x)=e^{-x}\cdot (3x^2-x^3)=x^2\cdot e^{-x}\cdot(3-x).$

Odpowiedź:  Dziedziną funkcji jest zbiór $D=\mathbb{R}$. Funkcja jest rosnąca w każdym z przedziałów: $(-\infty,0)$, $(0,3)$, malejąca w przedziale $(3,\infty)$, w punkcie j $x=3$ funkcja ma maksimum lokalne, $f(3)=27e^{-3}$.

(j) $f(x)=3x-x\cdot \ln(2x)$

Wskazówka: $f^\prime(x)=2-\ln 2x.$

Odpowiedź:  Dziedziną funkcji jest zbiór $D=(0, \infty)$. Funkcja jest rosnąca w przedziale $\left(0,\frac12e^2\right)$, malejąca w przedziale $\left(\frac12e^2,\infty\right)$, w punkcie  $x=\frac12e^2$ funkcja ma maksimum lokalne, $f(\frac12e^2)=\frac32e^2-e^2$.

(k) $f(x)=\ln^3 x-3\ln^2 x$

Wskazówka: $f^\prime(x)=\frac{3\ln^2 x-6\ln x}{x}.$

Odpowiedź:  Dziedziną funkcji jest zbiór $D=(0, \infty)$. Funkcja jest rosnąca w każdym z przedziałów: $(0,1)$, $\left(e^2,\infty\right)$, malejąca w przedziale $(1,e^2)$, w punkcie  $x=1$ funkcja ma maksimum lokalne,   $f(1)=0$, w punkcie  $x=e^2$ funkcja ma minimum lokalne, $f(e^2)=-4$.

Zadanie 2

Wyznacz asymptoty, ekstrema lokalne, przedziały monotoniczności oraz naszkicuj wykres funkcji określonej wzorem:

(a) $f(x)=\frac{x^2}{x-1}$

Wskazówka: Asymptotę pionową wykres funkcji $f$  może posiadać w punkcie $x=1$, ukośną w $-\infty, \; \infty$, $f^\prime(x)=\frac{x^2-2x}{(x-1)^2}.$

Odpowiedź:  Dziedziną funkcji jest zbiór $D=\mathbb{R}\setminus \{1\}$. Funkcja ma asymptotę pionową obustronną $x=1$,  asymptotę ukośną $y=x+1$ w $-\infty$ i w $+\infty$. Funkcja jest malejąca w każdym z przedziałów: $(0,1)$, $(1,2)$, rosnąca w każdym z przedziałów: $(-\infty,0)$, $(2,\infty)$, w punkcie  $x=0$ funkcja ma maksimum lokalne,  $f(0)=0$, w punkcie  $x=2$ funkcja ma minimum lokalne,  $f(2)=4$.

(b) $f(x)=x\cdot e^{-x}$

Wskazówka: Asymptotę  ukośną wykres funkcji $f$ może posiadać w $-\infty, \; \infty$, asymptoty pionowej wykres funkcji $f$ nie posiada.$f^\prime(x)=e^{-x}\cdot (1-x).$ 

Odpowiedź: Dziedziną funkcji jest zbiór $D=\mathbb{R}$. Funkcja ma asymptotę poziomą $y=0$ w $+\infty$. Funkcja jest rosnąca w przedziale $(-\infty, 1)$, malejąca w przedziale $(1,\infty)$, w punkcie $x=1$ funkcja ma maksimum lokalne, $f(1)=e^{-1}$.

(c) $f(x)=\frac{x^2}{2-4\ln x}$

Wskazówka: Asymptotę pionową wykres funkcji może posiadać w punktach: 

$x=0$, $x=e^{\frac12}$, asyptotę ukośną wykres funkcji może posiadać w $\infty$. $f^\prime(x)=\frac{x\cdot\left(8-8\ln x\right)}{\left(2-4\ln x\right)^2}$.

Odpowiedź: Dziedziną funkcji jest zbiór $D=\left(0, e^{\frac12}\right)\cup\left(e^{\frac12},\infty\right)$.

Funkcja ma asymptotę pionową obustronną $x=e^{\frac12}$.
Funkcja jest rosnąca w każdym z przedziałów $\left(0, e^{\frac12}\right)$,$\left(e^{\frac12}, e\right)$, malejąca w przedziale $\left(e,\infty\right)$,
w punkcie  $x=e$ funkcja ma maksimum lokalne,  $f(e)=-\frac{e^2}{2}$.