Rachunek różniczkowy funkcji jednej zmiennej

Przykład 1

Wykażemy, że funkcja określona wzorem $f(x)=x^{3}+3x$ nie posiada ekstremów lokalnych.

Funkcja $f$ jest wielomianem, zatem dziedziną funkcji jest zbiór $\mathbb{R}$. Obliczamy pochodną funkcji $f$:

$f^{\prime }(x)=(x^{3}+3x)^{\prime }=(x^{3})^{\prime }+(3x)^{\prime }=3x^{2}+3=3(x^{2}+1)$ dla $x\in \mathbb{R}$.

Ponieważ $f^{\prime }(x)\neq 0$ dla $x\in \mathbb{R}$, więc $f$ nie ma punktów stacjonarnych i w konsekwencji nie ma też ekstremów lokalnych (stosujemy wniosek z warunku koniecznego istnienia ekstremum lokalnego).

Przykład 2

Wykażemy, że funkcja określona wzorem $f(x)=\ln (x^{2}-4)$ nie posiada ekstremów lokalnych.

Wyznaczamy dziedzinę funkcji: $D=(-\infty ,-2)\cup (2,+\infty ).$

Obliczamy pochodną funkcji:

$f^{\prime }(x)=(\ln (x^{2}-4))^{\prime }=\frac{1}{x^{2}-4}(x^{2}-4)^{\prime }=\frac{2x}{x^{2}-4}$ dla $x\in D.$

Wyznaczamy punkty stacjonarne funkcji $f$ rozwiązując równanie: $f^{\prime }(x)=0.$

$\frac{2x}{x^{2}-4}=0\Leftrightarrow 2x=0\Leftrightarrow x=0.$

Jednakże $0\notin D$, zatem $f$ nie ma ekstremów lokalnych.

Przykład 3

Wyznaczymy ekstrema lokalne funkcji określonej wzorem $f(x)=x^{3}-3x^{2}.$

Zadanie rozpoczynamy od określenia dziedziny funkcji (w tym przypadku $\ D=\mathbb{R}$) i zbadania, czy funkcja posiada punkty stacjonarne. Obliczamy pochodną funkcji $f$:

$f^{\prime }(x)=(x^{3}-3x^{2})^{\prime }=3x^{2}-6x=3x\left( x-2\right) .$

Rozwiązujemy odpowiednie równanie:

$f^{\prime }(x)=0 \ \Leftrightarrow \; 3x\left( x-2\right) =0 \; \Leftrightarrow \; (x=0\vee x=2).$

Oba rozwiązania należą do dziedziny funkcji, a zatem $f$ ma dwa punkty stacjonarne. Dalej rozstrzygamy o istnieniu ekstremów lokalnych w tych punktach stosując jedną z dwóch metod podanych poniżej.

1 sposób (wykorzystujemy I warunek wystarczający istnienia ekstremum lokalnego)

Badamy, gdzie pochodna funkcji przyjmuje wartości dodatnie, a gdzie ujemne:

$f^{\prime }(x)>0\; \Leftrightarrow \; 3x\left( x-2\right) >0\; \Leftrightarrow \; x\in \left( -\infty ,0\right) \cup \left( 2,\infty \right)$ $f^{\prime }(x)$

Stąd wynika, że $f^{\prime }(x)>0$ dla $x\in \left( -\infty ,0\right)$ (a zatem także dla pewnego lewostronnego sąsiedztwa $0$) oraz $f^{\prime }(x)$dla $x\in (0,2)$ (przedział ten można potraktować jako prawostronne sąsiedztwo $0$). To oznacza, że $f$ ma w punkcie $0$ maksimum lokalne$.$ Pododnie $f^{\prime }(x)$ dla $x\in (0,2)$ oraz $f^{\prime }(x)>0$ dla $x\in \left( 2,\infty \right)$, czyli $f$ ma w punkcie $2$ minimum lokalne.

Metodę tę stosujemy najczęściej wtedy, gdy jednocześnie mamy wyznaczyć przedziały monotoniczności funkcji $f$.

2 sposób (wykorzystujemy II warunek wystarczający istnienia ekstremum lokalnego)

Obliczamy drugą pochodną funkcji $f$:

$f^{\prime \prime }(x)=(3x^{2}-6x)^{\prime }=6x-6.$

Ponieważ $f^{\prime \prime }(0)=-6$ a zatem $f$ ma w punkcie $0$ maksimum lokalne. Ponadto $f^{\prime \prime }(2)=6>0,$ co oznacza, że $f$ ma w punkcie $2$ minimum lokalne.

Ostatecznie stwierdzamy, że funkcja $f$ posiada dwa ekstrema lokalne: maksimum lokalne w punkcie $0$ o wartości $f(0)=0$ oraz minimum lokalne w punkcie $2$ o wartości $f(2)=-4$.

Przykład 4

Wyznaczymy ekstrema lokalne funkcji określonej wzorem $f(x)=(x^{2}-2x)\ln x-\frac{3}{2}x^{2}+4x.$

Funkcja $f$ jest to przykładem funkcji, dla której szukając ekstremów lokalnych wygodniej jest stosować II warunek wystarczający.

Dziedziną funkcji $f$ jest zbiór $D=(0,+\infty)$. Obliczamy pochodną funkcji $f$ i zapisujemy ją w postaci iloczynowej:

$f^{\prime }(x)=((x^{2}-2x)\ln x-\frac{3}{2}x^{2}+4x)^{\prime }=(2x-2)\ln x+(x^{2}-2x)\frac{1}{x}-3x+4=$

$=(2x-2)\ln x-2x+2=2\left( x-1\right) \left( \ln x-1\right)$ dla $x \in D.$

Wyznaczamy punkty stacjonarne funkcji $f$:

$f^{\prime }(x)=0\; \Leftrightarrow \; 2\left( x-1\right) \left( \ln x-1\right) \;\Leftrightarrow \;(x=1\vee \ln x=1)\;\Leftrightarrow \;(x=1\vee x=e).$

Dalej obliczamy drugą pochodną funkcji $f$:

$f^{\prime \prime }(x)=(2\left( x-1\right) \left( \ln x-1\right) )^{\prime }=2(1\cdot \left( \ln x-1\right) +\left( x-1\right) \frac{1}{x})=2\ln x-\frac{2}{x}$.

Ponieważ

$f^{\prime \prime }(1)=2\ln 1-2=-2$,

zatem $f$ ma w punkcie $1$ maksimum lokalne o wartości $\frac{5}{2}$. Z kolei

$f^{\prime \prime }(e)=2\ln e-\frac{2}{e}=2-\frac{2}{e}=\frac{2(e-1)}{e}>0$,

a zatem $f$ ma w punkcie $2$ minimum lokalne o wartości $2e - \frac{1}{2} e^2$.

Przykład 5

Wyznaczymy przedziały monotoniczności i ekstrema lokalne funkcji określonej wzorem $f(x)=x^{2}e^{-2x}$.

Na początek zauważmy, że $D=\mathbb{R}$. Obliczamy pochodną funkcji i zapisujemy ją w postaci iloczynowej:

$f^{\prime }(x)=(x^{2}e^{-2x})^{\prime }=2xe^{-2x}+x^{2}e^{-2x}(-2)=(-2x^{2}+2x)e^{-2x}=-2x\left( x-1\right) e^{-2x}$   dla $x\in \mathbb{R}$.

Wyznaczamy punkty stacjonarne funkcji $f$:

$f^{\prime }(x)=0\;\Leftrightarrow\; -2x\left( x-1\right) e^{-2x}=0.$

Ponieważ $e^{-2x}>0$ dla $x\in \mathbb{R}$, zatem

$f^{\prime }(x)=0\;\Leftrightarrow\; x\left( x-1\right)\;\Leftrightarrow \;(x=0\vee x=1).$

To oznacza, że funkcja $f$ ma dwa punkty stacjonarne. Aby sprawdzić, czy $f$ ma w nich ekstrema lokalne, zastosujemy I warunek wystarczający istnienia ekstremum lokalnego. W tym celu badamy, gdzie pochodna funkcji $f$ przyjmuje wartości dodatnie,  a gdzie ujemne:

$f^{\prime }(x)>0\Leftrightarrow -2x\left( x-1\right) e^{-2x}>0\Leftrightarrow -2x\left( x-1\right) >0\Leftrightarrow x\in (0,1)$

$f^{\prime }(x)$

Stąd wynika, że istnieją sąsiedztwa $S^{-}(0)$ i $S^{+}(0)$ takie, że $\ f^{\prime }(x)$  dla $x\in S^{-}(0)$ oraz $f^{\prime }(x)>0$ dla $x\in S^{+}(0),$ czyli $f$ ma w $0$ minimum lokalne. Podobnie uzasadniamy, że w $1$ istnieje maksimum lokalne.

Uzyskane wyniki i odpowiedź (uwzględniając również przedziały monotoniczności  badanej funkcji) najczęściej zapisujemy w postaci tabeli.

Przykład 6

Wyznaczymy przedziały monotoniczności i ekstrema lokalne funkcji określonej wzorem $f(x)=\frac{1}{x}+2\;$arctg$\,x$.

Na początek zauważmy, że $D=\mathbb{(-\infty },0)\cup (0,+\infty)$. Obliczamy pochodną funkcji $f$:

$f^{\prime }(x)=(\frac{1}{x}+2\,$arctg$\,x)^{\prime }=-\frac{1}{x^{2}}+\frac{2}{x^{2}+1}=\frac{x^{2}-1}{x^{2}\left( x^{2}+1\right) }=\frac{\left( x-1\right) \left( x+1\right) }{x^{2}\left( x^{2}+1\right) }$  dla $x\in D$.

Wyznaczamy punkty stacjonarne funkcji $f$:

$f^{\prime }(x)=0\;\Leftrightarrow \;\frac{\left( x-1\right) \left(x+1\right) }{x^{2}\left( x^{2}+1\right) }=0\;\Leftrightarrow\;\left( x-1\right) \left( x+1\right) =0 \; \Leftrightarrow\; (x=-1\vee x=1).$

Następnie badamy, gdzie pochodna funkcji $f$ przyjmuje wartości dodatnie, a gdzie ujemne:

$f^{\prime }(x)>0\;\Leftrightarrow \;( \frac{\left( x-1\right) \left(x+1\right) }{x^{2}\left( x^{2}+1\right) }>0\wedge x\in D)$

Ponieważ  $x^{2}\left( x^{2}+1\right) >0$ dla każdego $x\in D$ oraz

 $\left( x-1\right) \left( x+1\right) >0\; \Leftrightarrow \; x\in (-\infty ,-1)\cup (1,+\infty ),$

więc ostatecznie

$f^{\prime }(x)>0 \;\Leftrightarrow \;x\in \mathbb{(-\infty },-1)\cup (1,+\infty ).$

Analogicznie

$f^{\prime }(x)0\wedge x\in D)\; \Leftrightarrow\;x\in (-1,0)\cup (0,1)$

Uzyskane wyniki zapisujemy w tabeli:

Przykład 7

Wyznaczymy przedziały monotoniczności i ekstrema lokalne funkcji określonej wzorem $f(x)=4\ln x-\ln ^{2}x$.

Na początek zauważmy, że $D= (0,+\infty)$. Obliczamy pochodną funkcji $f$:

$f^{\prime }(x)=(4\ln x-\ln ^{2}x)^{\prime }=4\frac{1}{x}-2\ln x\cdot \frac{1}{x}=\frac{2(2-\ln x)}{x}$  dla $x\in D$.

Wyznaczamy punkty stacjonarne funkcji $f$:

$f^{\prime }(x)=0\ \Leftrightarrow \ \frac{2(2-\ln x)}{x}=0\ \Leftrightarrow \ 2-\ln x=0\ \Leftrightarrow \ \ln x=2\ \Leftrightarrow \ x=e^{2}$

Jeśli $x\in D$, to mianownik pierwszej pochodnej jest dodatni, a zatem

$f^{\prime }(x)>0\ \Leftrightarrow \ \frac{2(2-\ln x)}{x}>0\ \Leftrightarrow \ 2-\ln x>0\ \Leftrightarrow \ \ln x$

Analogicznie

$f^{\prime }(x)$

Uzyskane wyniki zapisujemy w tabeli:

Przykład 8

Wyznaczymy ekstrema lokalne i przedziały monotoniczności funkcji określonej wzorem $f(x)=\frac{x^2}{\ln x}$. Następnie naszkicujemy wykres funkcji $f$ wiedząc dodatkowo, że $\displaystyle \underset{x\rightarrow 0^+ }{\lim }f(x)=0$,  $\displaystyle \underset{x\rightarrow 1^- }{\lim }f(x)=-\infty$, $\displaystyle \underset{x\rightarrow 1^+ }{\lim }f(x)=+\infty$ oraz $\displaystyle \underset{x\rightarrow +\infty }{\lim }f(x)=+\infty$.

$D=(0,1)\cup (1,+\infty )$. Obliczamy pochodną funkcji $f$:

$f^{\prime }(x)=(\frac{x^2}{\ln x})^{\prime }=\frac{2x \ln x-x^2\cdot \frac{1}{x}}{\ln ^{2}x}=\frac{x(2\ln x-1)}{\ln ^{2}x}\;$ dla $x\in D$.

Wyznaczamy punkty stacjonarne funkcji $f$:

$f^{\prime }(x)=0\;\Leftrightarrow \;(\frac{x(2\ln x-1)}{\ln ^{2}x}=0\wedge x\in D)\;\Leftrightarrow \; 2\ln x-1=0\ \Leftrightarrow \ \ln x=\frac{1}{2}\ \Leftrightarrow \  x=\sqrt{e}$

Ponieważ $\frac{x}{\ln ^{2}x}>0$ dla $x\in D$ więc

$f^{\prime }(x)>0\;\Leftrightarrow \;\frac{x(2\ln x-1)}{\ln ^{2}x}>0\; \Leftrightarrow \; (2\ln x-1>0\wedge x\in D) \; \Leftrightarrow \; (\ln x>\ln e^\frac{1}{2}\wedge x\in D)\ \Leftrightarrow \ x>\sqrt{e}$

$f^{\prime }(x)$

Uzyskane wyniki zapisujemy w tabeli:

Na podstawie uzyskanych informacji szkicujemy wykres funkcji $f$:

obraz z wykresem