Pochodna funkcji jednej zmiennej-16.12

---------------------------

Twierdzenie -- reguła de l'Hospitala.

Niech funkcje $f,g$ będą różniczkowalne na pewnym sąsiedztwie punktu $x_0$. Jeżeli

1. $\lim\limits_{x\to x_0}f(x)=0, \quad \lim\limits_{x\to x_0}g(x)=0$,
2. istnieje granica $\displaystyle\lim\limits_{x\to x_0}\frac{f'(x)}{g'(x)}$ (właściwa lub niewłaściwa),

to istnieje granica $\displaystyle\lim\limits_{x\to x_0}\frac{f(x)}{g(x)}$, przy czym

$\displaystyle\lim\limits_{x\to x_0}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim\limits_{x\to x_0}\frac{f'(x)}{g'(x)}.$

Uwaga 1. Powyższe twierdzenie dotyczy symbolu nieoznaczonego typu $\frac 00$, ale przy odpowiedniej zmianie założeń pozostaje prawdziwe dla symbolu $\frac{\infty}{\infty}$ oraz dla granic jednostronnych i granic w $\pm \infty$.

Uwaga 2. Regułę można także stosować do pozostałych symboli nieoznaczonych, po sprowadzeniu ich do symbolu $\frac 00$ lub $\frac{\infty}{\infty}$ w następujący sposób:

• symbol $0\cdot \infty$ sprowadzamy do $\frac 00$ lub $\frac{\infty}{\infty}$ za pomocą przekształceń:
  $\ \qquad f(x)\cdot g(x)=\frac{f(x)}{\frac{1}{g(x)}}=\frac{g(x)}{\frac{1}{f(x)}};$
• symbol $\infty - \infty$ przekształcamy najpierw do symbolu $0\cdot \infty$ a następnie do $\frac 00$ lub $\frac{\infty}{\infty}$:
  $\ \qquad f(x)- g(x)=f(x)g(x)\left( \frac{1}{g(x)}-\frac{1}{f(x)}\right)=\frac{\frac{1}{g(x)}-\frac{1}{f(x)}}{\frac{1}{f(x)g(x)}};$
  
• symbole $1^{\infty}$, $0^0$ oraz $\infty^0$ sprowadzamy do $0\cdot \infty$ za pomocą tożsamości $f(x)^{g(x)}=e^{g(x)\cdot \ln f(x)}$ (wyrażenie $f(x)\cdot \ln g(x)$ jest zawsze wówczas symbolem typu $0\cdot \infty$).

Przykład 1

Obliczymy granice funkcji:

a)  $\underset{x\rightarrow 0}{\lim }\, \dfrac{e^x-1}{2\sin x}\quad$  b)  $\underset{x\rightarrow +\infty }{\lim }\, \dfrac{x}{\ln x} \quad$ c)  $\underset{x\rightarrow 0^{+}}{\lim }\, \dfrac{\ln x }{x}.$

Przykład 2

Obliczymy granice funkcji:

a) $\underset{x\rightarrow 0}{\lim }\,\dfrac{x\cos 2x}{x+\arcsin x}\qquad$  b) $\underset{x\rightarrow +\infty }{\lim }\dfrac{e^{x^{2}}}{x^{3}}\qquad$ c)  $\underset{x\rightarrow 0^{+}}{\lim }\,\dfrac{\ln (\sin x )}{\ln ^{2}{x}}.$

a) $\underset{x\rightarrow 0}{\lim }\,\dfrac{x\cos 2x}{x+\arcsin x} = \left[\dfrac{0}{0}\right]\overset{\text{H}}{=} \underset{x\rightarrow 0}{\lim }\dfrac{(x\cos 2x)'}{(x+\arcsin x)'}=\underset{x\rightarrow 0}{\lim }\,\dfrac{\cos 2x-x\sin 2x\cdot 2}{1+\frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}}}=$$\left[\dfrac{1-0}{1+1}\right]=\dfrac{1}{2}\,.$

b) W przypadku tej granicy regułę de l'Hospitala zastosujemy dwukrotnie:

$\underset{x\rightarrow + \infty }{\lim }\dfrac{e^{x^{2}}}{x^{3}}=\left[ \dfrac{\infty }{\infty }\right] \overset{\text{H}}{=}\underset{x\rightarrow +\infty } {\lim }\dfrac{(e^{x^{2}})^{\prime }}{(x^{3})^{\prime }}=\underset{ x\rightarrow +\infty }{\lim }\dfrac{e^{x^{2}}\cdot 2x}{3x^{2}}=\underset{ x\rightarrow +\infty }{\lim }\dfrac{2e^{x^{2}}}{3x}=\left[ \dfrac{\infty }{\infty }\right] \overset{\text{H}}{=}$

$=\underset{ x\rightarrow +\infty }{\lim }\dfrac{(2e^{x^{2}})^{\prime }}{(3x)^{\prime }}=\underset{x\rightarrow +\infty }{\lim }\dfrac{2e^{x^{2}}\cdot 2x}{3 }=\left[ \dfrac{\infty}{3} \right] =\infty .$

c)  $\underset{x\rightarrow 0^{+}}{\lim }\,\dfrac{\ln (\sin x )}{\ln ^{2}{x}}=\left[ \dfrac{-\infty }{\infty }\right] \overset{\text{H}}{=}\underset{x\rightarrow 0^{+}}{\lim }\,\dfrac{\frac{1}{\sin x}\cdot \cos x}{2\ln x \cdot \frac{1}{x}}=\underset{x\rightarrow 0^{+}}{\lim }\,\dfrac{x}{\sin x} \cdot \dfrac{\cos x}{2\ln x}=\left[ 1\cdot\dfrac{1}{-\infty}\right] =0$

Wykorzystaliśmy tutaj fakt, że $\underset{x\rightarrow 0}{\lim }\,\dfrac{\sin x}{x}=1$.

Przykład 3

Obliczymy granice funkcji:

a)  $\underset{x\rightarrow \infty}{\lim }\,\dfrac{x-\sin x }{x} \qquad$ b)  $\underset{x\rightarrow \infty}{\lim }\,\dfrac{\sqrt{x^2+1}}{x}$.

-------------------------------------------------------------

Zadanie 1.

Stosując regułę de l'Hospitala obliczyć granice funkcji:

(a) $\lim\limits_{x\to\infty}\frac {e^{3x}}{x+3}\quad$    Odp. $\infty$

(b) $\lim\limits_{x\to\infty}\frac{x^2+1}{\ln x};\quad$ Odp. $\infty$

(c) $\lim\limits_{x\to0}\frac{\sin x}{e^x-1};\quad$ Odp. $1$

(d) $\lim\limits_{x\to0}\frac{\mathrm{arctg}x}{\arcsin x};\quad$ Odp. $1$

(e) $\lim\limits_{x\to4^-}\frac{\mathrm{arctg}(x-4)}{\sqrt x-2};\quad$ Odp. $4$

(f) $\lim\limits_{x\to1^+}\frac{\ln(2-x)}{(x-1)^2};\quad$ Odp. $-\infty$

(g) $\lim\limits_{x\to0}\frac{x-\sin x}{x-\mathrm{tg} x};\quad$ Odp. $-\frac{1}2$

(h) $\lim\limits_{x\to-\infty}\frac{\sin\frac1x}{1-e^{\frac1x}};\quad$ Odp. $-1$

(i) $\lim\limits_{x\to0}\frac{x^2}{1-\sqrt{\cos x}};\quad$ Odp. $4$

Zadanie 2.

Obliczyć granice funkcji:

(a) $\lim\limits_{x\to\infty}\left(e^x-\ln x\right);\quad$ Wskazówka $\quad \left(e^x-\ln x\right)= e^x\cdot \left(1-\frac{\ln x}{e^ x}\right);\quad$ Odp.$\infty$

(b) $\lim\limits_{x\to0^+}\left(\frac1x-\frac{1}{\mathrm{tg} x}\right);\quad$ Wskazówka $\quad \left(\frac1x-\frac{1}{\mathrm{tg} x}\right)=\frac{\mathrm{tg} x-x}{x\mathrm{tg} x};\quad$ Odp. $0$

(c) $\lim\limits_{x\to-\infty}\left(x^2+1\right)\cdot e^x;\quad$ Wskazówka $\quad \left(x^2+1\right)\cdot e^x= \frac{x^2-1}{e^{-x}};\quad$ Odp. $0$

(d) $\lim\limits_{x\to0^+}\frac1{x\ln x};\quad$ Wskazówka $\quad x\cdot\ln x=\frac{\ln x}{\frac{1}x};\quad$ Odp. $-\infty$

(e) $\lim\limits_{x\to0^+}\left(1-e^x\right)\cdot\mathrm{ctg} x;\quad$ Wskazówka $\quad \left(1-e^x\right)\cdot\mathrm{ctg} x=\frac{1-e^x}{\mathrm{tg} x};\quad$ Odp. $-1$

(f) $\lim\limits_{x\to0^-}x\cdot e^{-\frac1x};\quad$ Wskazówka $\quad x\cdot e^{-\frac1x}=\frac{e^{-\frac1x}}{\frac1{x}};\quad$ Odp. $-\infty$

(g) $\lim\limits_{x\to0^+}\left(\sin x\right)^x;\quad$ Wskazówka $\quad\left(\sin x\right)^x=e^{x\ln (\sin x)},\; x\cdot\ln (\sin x)=\frac{\ln (\sin x)}{\frac{1}x};\quad$ Odp. $1$

(h) $\lim\limits_{x\to0^+}x^{\sin x};\quad$ Wskazówka $\quad x^{\sin x}=e^{\sin x\cdot\ln x},\; \sin x\cdot\ln x=\frac{\ln x}{\frac{1}{\sin x}};\quad$ Odp. $1$

Definicja. Załóżmy, że funkcja $f$ jest określona na pewnym otoczeniu $U_{x_0}$ punktu $x_0$. Mówimy, że $f$ ma w punkcie $x_0$ maksimum (minimum) lokalne, jeżeli istnieje otoczenie $U_{x_0}$, punktu $x_0$, takie, że dla wszystkich $x\in U_{x_0}$

$\ \qquad f(x)\leq f(x_0).$ $\ \ (f(x)\geq f(x_0).)$

Uwaga 1. Jeżeli $f'(x_0)\neq 0$, to funkcja $f$ nie ma ekstremum w punkcie $x_0$. \\

Uwaga 2. Funkcja może mieć ekstremum lokalne jedynie w punkcie $x_0$, takim że $f'(x_0)=0$ (gdy jest różniczkowalna w $x_0$) lub w punkcie $x_0$, w którym funkcja $f$ nie ma pochodnej.

Twierdzenie - warunek wystarczający istnienia ekstremum lokalnego. Jeżeli funkcja $f$ jest ciągła na pewnym otoczeniu $U_{x_0}$ i różniczkowalna na sąsiedztwie $S_{x_0}$ punktu $x_0$ oraz

1. $f'(x)>0$ dla $x\in S^-_{x_0}$ oraz $f'(x)$ dla $x\in S^+_{x_0}$
2. $f'(x)$ dla $x\in S^-_{x_0}$ oraz $f'(x)>0$ dla $x\in S^+_{x_0}$,

to funkcja $f$ ma w punkcie $x_0$ ekstremum lokalne właściwe. Jest to maksimum w przypadku (1), minimum gdy zachodzi warunek (2).

Twierdzenie - drugi warunek wystarczający istnienia ekstremum lokalnego. Jeżeli funkcja $f$ jest dwukrotnie różniczkowalna na pewnym otoczeniu punktu $x_0$ oraz

1. $f'(x_0)=0$,
2. $f''(x_0)\neq 0$,
3. $f''$ jest funkcją ciągłą w $x_0$,

to funkcja $f$ ma w punkcie $x_0$ ekstremum lokalne właściwe, przy czym jest to maksimum, jeżeli $f''(x_0)$, minimum, gdy $f''(x_0)>0$.

Przykład 1

Wykażemy, że funkcja określona wzorem $f(x)=x^{3}+3x$ nie posiada ekstremów lokalnych.

Funkcja $f$ jest wielomianem, zatem dziedziną funkcji jest zbiór $\mathbb{R}$. Obliczamy pochodną funkcji $f$:

$f^{\prime }(x)=(x^{3}+3x)^{\prime }=(x^{3})^{\prime }+(3x)^{\prime }=3x^{2}+3=3(x^{2}+1)$ dla $x\in \mathbb{R}$.

Ponieważ $f^{\prime }(x)\neq 0$ dla $x\in \mathbb{R}$, więc $f$ nie ma punktów stacjonarnych i w konsekwencji nie ma też ekstremów lokalnych (stosujemy wniosek z warunku koniecznego istnienia ekstremum lokalnego).

Przykład 2

Wykażemy, że funkcja określona wzorem $f(x)=\ln (x^{2}-4)$ nie posiada ekstremów lokalnych.

Wyznaczamy dziedzinę funkcji: $D=(-\infty ,-2)\cup (2,+\infty ).$

Obliczamy pochodną funkcji:

$f^{\prime }(x)=(\ln (x^{2}-4))^{\prime }=\frac{1}{x^{2}-4}(x^{2}-4)^{\prime }=\frac{2x}{x^{2}-4}$ dla $x\in D.$

Wyznaczamy punkty stacjonarne funkcji $f$ rozwiązując równanie: $f^{\prime }(x)=0.$

$\frac{2x}{x^{2}-4}=0\Leftrightarrow 2x=0\Leftrightarrow x=0.$

Jednakże $0\notin D$, zatem $f$ nie ma ekstremów lokalnych.

Przykład 3

Wyznaczymy ekstrema lokalne funkcji określonej wzorem $f(x)=x^{3}-3x^{2}.$

Zadanie rozpoczynamy od określenia dziedziny funkcji (w tym przypadku $\ D=\mathbb{R}$) i zbadania, czy funkcja posiada punkty stacjonarne. Obliczamy pochodną funkcji $f$:

$f^{\prime }(x)=(x^{3}-3x^{2})^{\prime }=3x^{2}-6x=3x\left( x-2\right) .$

Rozwiązujemy odpowiednie równanie:

$f^{\prime }(x)=0 \ \Leftrightarrow \; 3x\left( x-2\right) =0 \; \Leftrightarrow \; (x=0\vee x=2).$

Oba rozwiązania należą do dziedziny funkcji, a zatem $f$ ma dwa punkty stacjonarne. Dalej rozstrzygamy o istnieniu ekstremów lokalnych w tych punktach stosując jedną z dwóch metod podanych poniżej.

1 sposób (wykorzystujemy I warunek wystarczający istnienia ekstremum lokalnego)

Badamy, gdzie pochodna funkcji przyjmuje wartości dodatnie, a gdzie ujemne:

$f^{\prime }(x)>0\; \Leftrightarrow \; 3x\left( x-2\right) >0\; \Leftrightarrow \; x\in \left( -\infty ,0\right) \cup \left( 2,\infty \right)$ $f^{\prime }(x)$

Stąd wynika, że $f^{\prime }(x)>0$ dla $x\in \left( -\infty ,0\right)$ (a zatem także dla pewnego lewostronnego sąsiedztwa $0$) oraz $f^{\prime }(x)$dla $x\in (0,2)$ (przedział ten można potraktować jako prawostronne sąsiedztwo $0$). To oznacza, że $f$ ma w punkcie $0$ maksimum lokalne$.$ Pododnie $f^{\prime }(x)$ dla $x\in (0,2)$ oraz $f^{\prime }(x)>0$ dla $x\in \left( 2,\infty \right)$, czyli $f$ ma w punkcie $2$ minimum lokalne.

Metodę tę stosujemy najczęściej wtedy, gdy jednocześnie mamy wyznaczyć przedziały monotoniczności funkcji $f$.

2 sposób (wykorzystujemy II warunek wystarczający istnienia ekstremum lokalnego)

Obliczamy drugą pochodną funkcji $f$:

$f^{\prime \prime }(x)=(3x^{2}-6x)^{\prime }=6x-6.$

Ponieważ $f^{\prime \prime }(0)=-6$ a zatem $f$ ma w punkcie $0$ maksimum lokalne. Ponadto $f^{\prime \prime }(2)=6>0,$ co oznacza, że $f$ ma w punkcie $2$ minimum lokalne.

Ostatecznie stwierdzamy, że funkcja $f$ posiada dwa ekstrema lokalne: maksimum lokalne w punkcie $0$ o wartości $f(0)=0$ oraz minimum lokalne w punkcie $2$ o wartości $f(2)=-4$.

Przykład 4

Wyznaczymy ekstrema lokalne funkcji określonej wzorem $f(x)=(x^{2}-2x)\ln x-\frac{3}{2}x^{2}+4x.$

Funkcja $f$ jest to przykładem funkcji, dla której szukając ekstremów lokalnych wygodniej jest stosować II warunek wystarczający.

Dziedziną funkcji $f$ jest zbiór $D=(0,+\infty)$. Obliczamy pochodną funkcji $f$ i zapisujemy ją w postaci iloczynowej:

$f^{\prime }(x)=((x^{2}-2x)\ln x-\frac{3}{2}x^{2}+4x)^{\prime }=(2x-2)\ln x+(x^{2}-2x)\frac{1}{x}-3x+4=$

$=(2x-2)\ln x-2x+2=2\left( x-1\right) \left( \ln x-1\right)$ dla $x \in D.$

Wyznaczamy punkty stacjonarne funkcji $f$:

$f^{\prime }(x)=0\; \Leftrightarrow \; 2\left( x-1\right) \left( \ln x-1\right) \;\Leftrightarrow \;(x=1\vee \ln x=1)\;\Leftrightarrow \;(x=1\vee x=e).$

Dalej obliczamy drugą pochodną funkcji $f$:

$f^{\prime \prime }(x)=(2\left( x-1\right) \left( \ln x-1\right) )^{\prime }=2(1\cdot \left( \ln x-1\right) +\left( x-1\right) \frac{1}{x})=2\ln x-\frac{2}{x}$.

Ponieważ

$f^{\prime \prime }(1)=2\ln 1-2=-2$,

zatem $f$ ma w punkcie $1$ maksimum lokalne o wartości $\frac{5}{2}$. Z kolei

$f^{\prime \prime }(e)=2\ln e-\frac{2}{e}=2-\frac{2}{e}=\frac{2(e-1)}{e}>0$,

a zatem $f$ ma w punkcie $2$ minimum lokalne o wartości $2e - \frac{1}{2} e^2$.

Przykład 5

Wyznaczymy przedziały monotoniczności i ekstrema lokalne funkcji określonej wzorem $f(x)=x^{2}e^{-2x}$.

Na początek zauważmy, że $D=\mathbb{R}$. Obliczamy pochodną funkcji i zapisujemy ją w postaci iloczynowej:

$f^{\prime }(x)=(x^{2}e^{-2x})^{\prime }=2xe^{-2x}+x^{2}e^{-2x}(-2)=(-2x^{2}+2x)e^{-2x}=-2x\left( x-1\right) e^{-2x}$   dla $x\in \mathbb{R}$.

Wyznaczamy punkty stacjonarne funkcji $f$:

$f^{\prime }(x)=0\;\Leftrightarrow\; -2x\left( x-1\right) e^{-2x}=0.$

Ponieważ $e^{-2x}>0$ dla $x\in \mathbb{R}$, zatem

$f^{\prime }(x)=0\;\Leftrightarrow\; x\left( x-1\right)\;\Leftrightarrow \;(x=0\vee x=1).$

To oznacza, że funkcja $f$ ma dwa punkty stacjonarne. Aby sprawdzić, czy $f$ ma w nich ekstrema lokalne, zastosujemy I warunek wystarczający istnienia ekstremum lokalnego. W tym celu badamy, gdzie pochodna funkcji $f$ przyjmuje wartości dodatnie,  a gdzie ujemne:

$f^{\prime }(x)>0\Leftrightarrow -2x\left( x-1\right) e^{-2x}>0\Leftrightarrow -2x\left( x-1\right) >0\Leftrightarrow x\in (0,1)$

$f^{\prime }(x)$

Stąd wynika, że istnieją sąsiedztwa $S^{-}(0)$ i $S^{+}(0)$ takie, że $\ f^{\prime }(x)$  dla $x\in S^{-}(0)$ oraz $f^{\prime }(x)>0$ dla $x\in S^{+}(0),$ czyli $f$ ma w $0$ minimum lokalne. Podobnie uzasadniamy, że w $1$ istnieje maksimum lokalne.

Uzyskane wyniki i odpowiedź (uwzględniając również przedziały monotoniczności  badanej funkcji) najczęściej zapisujemy w postaci tabeli.

Przykład 6

Wyznaczymy przedziały monotoniczności i ekstrema lokalne funkcji określonej wzorem $f(x)=\frac{1}{x}+2\;$arctg$\,x$.

Na początek zauważmy, że $D=\mathbb{(-\infty },0)\cup (0,+\infty)$. Obliczamy pochodną funkcji $f$:

$f^{\prime }(x)=(\frac{1}{x}+2\,$arctg$\,x)^{\prime }=-\frac{1}{x^{2}}+\frac{2}{x^{2}+1}=\frac{x^{2}-1}{x^{2}\left( x^{2}+1\right) }=\frac{\left( x-1\right) \left( x+1\right) }{x^{2}\left( x^{2}+1\right) }$  dla $x\in D$.

Wyznaczamy punkty stacjonarne funkcji $f$:

$f^{\prime }(x)=0\;\Leftrightarrow \;\frac{\left( x-1\right) \left(x+1\right) }{x^{2}\left( x^{2}+1\right) }=0\;\Leftrightarrow\;\left( x-1\right) \left( x+1\right) =0 \; \Leftrightarrow\; (x=-1\vee x=1).$

Następnie badamy, gdzie pochodna funkcji $f$ przyjmuje wartości dodatnie, a gdzie ujemne:

$f^{\prime }(x)>0\;\Leftrightarrow \;( \frac{\left( x-1\right) \left(x+1\right) }{x^{2}\left( x^{2}+1\right) }>0\wedge x\in D)$

Ponieważ  $x^{2}\left( x^{2}+1\right) >0$ dla każdego $x\in D$ oraz

 $\left( x-1\right) \left( x+1\right) >0\; \Leftrightarrow \; x\in (-\infty ,-1)\cup (1,+\infty ),$

więc ostatecznie

$f^{\prime }(x)>0 \;\Leftrightarrow \;x\in \mathbb{(-\infty },-1)\cup (1,+\infty ).$

Analogicznie

$f^{\prime }(x)0\wedge x\in D)\; \Leftrightarrow\;x\in (-1,0)\cup (0,1)$

Uzyskane wyniki zapisujemy w tabeli:

Przykład 7

Wyznaczymy przedziały monotoniczności i ekstrema lokalne funkcji określonej wzorem $f(x)=4\ln x-\ln ^{2}x$.

Na początek zauważmy, że $D= (0,+\infty)$. Obliczamy pochodną funkcji $f$:

$f^{\prime }(x)=(4\ln x-\ln ^{2}x)^{\prime }=4\frac{1}{x}-2\ln x\cdot \frac{1}{x}=\frac{2(2-\ln x)}{x}$  dla $x\in D$.

Wyznaczamy punkty stacjonarne funkcji $f$:

$f^{\prime }(x)=0\ \Leftrightarrow \ \frac{2(2-\ln x)}{x}=0\ \Leftrightarrow \ 2-\ln x=0\ \Leftrightarrow \ \ln x=2\ \Leftrightarrow \ x=e^{2}$

Jeśli $x\in D$, to mianownik pierwszej pochodnej jest dodatni, a zatem

$f^{\prime }(x)>0\ \Leftrightarrow \ \frac{2(2-\ln x)}{x}>0\ \Leftrightarrow \ 2-\ln x>0\ \Leftrightarrow \ \ln x$

Analogicznie

$f^{\prime }(x)$

Uzyskane wyniki zapisujemy w tabeli:

Przykład 8

Wyznaczymy ekstrema lokalne i przedziały monotoniczności funkcji określonej wzorem $f(x)=\frac{x^2}{\ln x}$. Następnie naszkicujemy wykres funkcji $f$ wiedząc dodatkowo, że $\displaystyle \underset{x\rightarrow 0^+ }{\lim }f(x)=0$,  $\displaystyle \underset{x\rightarrow 1^- }{\lim }f(x)=-\infty$, $\displaystyle \underset{x\rightarrow 1^+ }{\lim }f(x)=+\infty$ oraz $\displaystyle \underset{x\rightarrow +\infty }{\lim }f(x)=+\infty$.

$D=(0,1)\cup (1,+\infty )$. Obliczamy pochodną funkcji $f$:

$f^{\prime }(x)=(\frac{x^2}{\ln x})^{\prime }=\frac{2x \ln x-x^2\cdot \frac{1}{x}}{\ln ^{2}x}=\frac{x(2\ln x-1)}{\ln ^{2}x}\;$ dla $x\in D$.

Wyznaczamy punkty stacjonarne funkcji $f$:

$f^{\prime }(x)=0\;\Leftrightarrow \;(\frac{x(2\ln x-1)}{\ln ^{2}x}=0\wedge x\in D)\;\Leftrightarrow \; 2\ln x-1=0\ \Leftrightarrow \ \ln x=\frac{1}{2}\ \Leftrightarrow \  x=\sqrt{e}$

Ponieważ $\frac{x}{\ln ^{2}x}>0$ dla $x\in D$ więc

$f^{\prime }(x)>0\;\Leftrightarrow \;\frac{x(2\ln x-1)}{\ln ^{2}x}>0\; \Leftrightarrow \; (2\ln x-1>0\wedge x\in D) \; \Leftrightarrow \; (\ln x>\ln e^\frac{1}{2}\wedge x\in D)\ \Leftrightarrow \ x>\sqrt{e}$

$f^{\prime }(x)$

Uzyskane wyniki zapisujemy w tabeli:

Na podstawie uzyskanych informacji szkicujemy wykres funkcji $f$:

obraz z wykresem

Ćwiczenie 1

Wybrane informacje o pierwszej i drugiej pochodnej pewnej funkcji $f:\mathbb{\mathbb{R}}\rightarrow \mathbb{\mathbb{R}}$ zawarte są w poniższej tabeli. Uzupełnij trzeci wiersz tabeli.

Zawartość pustych pól w tabeli możesz zmienić poprzez kliknięcie.

Ćwiczenie 6

Niech $f:(-1,+\infty )\rightarrow \mathbb{\mathbb{R}}.$ Informacje o pierwszej pochodnej funkcji $f$ zawarte są w poniższej tabeli. Uzupełnij trzeci wiersz tabeli.

Zawartość pustych pól w tabeli możesz zmienić poprzez kliknięcie.

Ćwiczenie 7

Niech $f:\mathbb{\mathbb{R}}\backslash \{0\}\rightarrow \mathbb{\mathbb{R}}.$ Informacje o pierwszej pochodnej funkcji $f$ zawarte są w poniższej tabeli. Uzupełnij trzeci wiersz tabeli.

Zawartość pustych pól w tabeli możesz zmienić poprzez kliknięcie.

Zadanie 1

Wyznaczyć ekstrema lokalne i przedziały monotoniczności funkcji określonej wzorem $f(x)=2x^3-3x^2.$

Wskazówka: $f^\prime(x)=6x^2-6x.$

Odpowiedź: Dziedziną funkcji jest zbiór $D=\mathbb{R}$. Funkcja jest rosnąca w każdym z przedziałów: $(-\infty,0)$, $(1,\infty)$, malejąca w przedziale $(0,1)$, w punkcie o odciętej $x=0$ funkcja ma maksimum lokalne, w punkcie o odciętej $x=1$ funkcja ma minimum lokalne. Wartość maksymalna funkcji wynosi $f(0)=0$, wartość minimalna funkcji wynosi $f(1)=-1.$

Zadanie 2

Wyznaczyć ekstrema lokalne i przedziały monotoniczności funkcji określonej wzorem $f(x)=\frac{x^2-1}{x^2-4}.$

Wskazówka:  $f^\prime(x)=\frac{- 6x}{(x^2-4)^2}.$

Odpowiedź:  Dziedziną funkcji jest zbiór $D=\mathbb{R}\setminus \{-2, 2\}$. Funkcja jest rosnąca w każdym z przedziałów: $(-\infty,-2)$, $(-2,0)$, malejąca w każdym z przedziałów: $(0,2)$, $(2,\infty)$ w punkcie o odciętej $x=0$  funkcja ma maksimum lokalne. Wartość maksymalna funkcji wynosi $f(0)=\frac14$.

Zadanie 3

Wyznaczyć ekstrema lokalne i przedziały monotoniczności funkcji określonej wzorem

$f(x)=x^2\cdot e^x$.

Wskazówka: $f^\prime(x)=(2x+x^2)\cdot e^x.$

Odpowiedź.  Dziedziną funkcji jest zbiór $D=\mathbb{R}$. Funkcja jest rosnąca w każdym z przedziałów: $(-\infty,-2)$, $(0,\infty)$, malejąca w przedziale $(-2,0)$, w punkcie o odciętej $x=0$ funkcja ma minimum lokalne, w punkcie o odciętej $x=-2$ funkcja ma maksimum lokalne. Wartość maksymalna funkcji wynosi $f(-2)=4e^{-2}$, wartość minimalna funkcji wynosi $f(0)=0$.

Zadanie 4

Wyznaczyć ekstrema lokalne i przedziały monotoniczności funkcji określonej wzorem

$f(x)=\frac{e^x}{x^2+1}$.

Wskazówka: $f^\prime(x)=\frac{e^x\cdot (x^2-2x+1)}{(x^2+1)^2}.$

Odpowiedź.  Dziedziną funkcji jest zbiór $D=\mathbb{R}$. Funkcja jest rosnąca w całej swojej dziedzinie.

Zadanie 5

Wyznaczyć ekstrema lokalne i przedziały monotoniczności funkcji określonej wzorem

$f(x)=\frac{\ln x+1}{2x}$.

Wskazówka: $f^\prime(x)=-\frac{\ln x}{2x^2}.$

Odpowiedź.  Dziedziną funkcji jest zbiór $D=(0, \infty)$. Funkcja jest rosnąca w przedziale $(0,1)$, malejąca w przedziale $(1,\infty)$, w punkcie o odciętej $x=1$ funkcja ma maksimum lokalne. Wartość maksymalna funkcji wynosi $f(1)=\frac12$.

Zadanie 6

Wyznaczyć ekstrema lokalne i przedziały monotoniczności funkcji określonej wzorem

$f(x)=x-5\mathrm{arctg}x$.

Wskazówka: $f^\prime(x)=\frac{x^2-4}{x^2+1}.$

Odpowiedź.  Dziedziną funkcji jest zbiór $D=\mathbb{R}$. Funkcja jest rosnąca w każdym z przedziałów: $(-\infty,-2)$, $(2,\infty)$, malejąca w przedziale $(-2,2)$, w punkcie o odciętej $x=-2$ funkcja ma maksimum lokalne, w punkcie o odciętej $x=2$ funkcja ma minimum lokalne. Wartość maksymalna funkcji wynosi $f(-2)=-2-5\mathrm{arctg}(-2)$, wartość minimalna funkcji wynosi $f(2)=2-5\mathrm{arctg}(2)$.

Zadanie 7

Wyznaczyć ekstrema lokalne i przedziały monotoniczności funkcji określonej wzorem

$f(x)=\frac{x}{x^2+4}$.

Wskazówka: $f^\prime(x)=\frac{4-x^2}{(4+x^2)^2}.$

Odpowiedź.  Dziedziną funkcji jest zbiór $D=\mathbb{R}$. Funkcja jest malejąca w każdym z przedziałów: $(-\infty,-2)$, $(2,\infty)$, rosnąca w przedziale $(-2,2)$, w punkcie o odciętej $x=-2$ funkcja ma minimum lokalne, w punkcie o odciętej $x=2$ funkcja ma maksimum lokalne. Wartość maksymalna funkcji wynosi $f(2)=\frac14$, wartość minimalna funkcji wynosi $f(-2)=-\frac{1}4$.

Zadanie 8

Wyznaczyć ekstrema lokalne i przedziały monotoniczności funkcji określonej wzorem

$f(x)=\frac{e^{2x}}{x^2}$.

Wskazówka: $f^\prime(x)=\frac{2e^{2x}\cdot (x^2-x)}{x^4}.$

Odpowiedź.  Dziedziną funkcji jest zbiór $D=\mathbb{R}\setminus \{0\}$. Funkcja jest rosnąca w każdym z przedziałów: $(-\infty,0)$, $(1,\infty)$, malejąca w przedziale $(0,1)$, w punkcie o odciętej $x=1$ funkcja ma minimum lokalne. Wartość minimalna funkcji wynosi $f(1)=e^2$.

Zadanie 9

Wyznaczyć ekstrema lokalne i przedziały monotoniczności funkcji określonej wzorem

$f(x)=x^3\cdot e^{-x}$.

Wskazówka: $f^\prime(x)=e^{-x}\cdot (3x^2-x^3)=x^2\cdot e^{-x}\cdot(3-x).$

Odpowiedź.  Dziedziną funkcji jest zbiór $D=\mathbb{R}$. Funkcja jest rosnąca w każdym z przedziałów: $(-\infty,0)$, $(0,3)$, malejąca w przedziale $(3,\infty)$, w punkcie o odciętej $x=3$ funkcja ma maksimum lokalne. Wartość maksymalna funkcji wynosi $f(3)=27e^{-3}$.

Zadanie 10

Wyznaczyć ekstrema lokalne i przedziały monotoniczności funkcji określonej wzorem

$f(x)=3x-x\cdot \ln(2x)$.

Wskazówka: $f^\prime(x)=2-\ln 2x.$

Odpowiedź.  Dziedziną funkcji jest zbiór $D=(0, \infty)$. Funkcja jest rosnąca w przedziale $\left(0,\frac12e^2\right)$, malejąca w przedziale $\left(\frac12e^2,\infty\right)$, w punkcie o odciętej $x=\frac12e^2$ funkcja ma maksimum lokalne. Wartość maksymalna funkcji wynosi $f(\frac12e^2)=\frac32e^2-e^2$.

Zadanie 11

Wyznaczyć ekstrema lokalne i przedziały monotoniczności funkcji określonej wzorem

$f(x)=\ln^3 x-3\ln^2 x$.

Wskazówka: $f^\prime(x)=\frac{3\ln^2 x-6\ln x}{x}.$

Odpowiedź.  Dziedziną funkcji jest zbiór $D=(0, \infty)$. Funkcja jest rosnąca w każdym z przedziałów: $(0,1)$, $\left(e^2,\infty\right)$, malejąca w przedziale $(1,e^2)$, w punkcie o odciętej $x=1$ funkcja ma maksimum lokalne, w punkcie o odciętej $x=e^2$ funkcja ma minimum lokalne. Wartość maksymalna funkcji wynosi $f(1)=0$, wartość minimalna funkcji wynosi $f(e^2)=-4$.

Zadanie 12

Wyznaczyć asymptoty, ekstrema lokalne i przedziały monotoniczności oraz naszkicować wykres funkcji określonej wzorem:

$f(x)=\frac{x^2}{x-1}$,

Wskazówka: Asymptotę pionową wykres funkcji $f$  może posiadać w punkcie $x=1$, ukośną w $-\infty, \; \infty$, $f^\prime(x)=\frac{x^2-2x}{(x-1)^2}.$

Odpowiedź.  Dziedziną funkcji jest zbiór $D=\mathbb{R}\setminus \{1\}$. Funkcja ma asymptotę pionową obustronną $x=1$. Funkcja jest malejąca w każdym z przedziałów: $(0,1)$, $(1,2)$, rosnąca w każdym z przedziałów: $(-\infty,0)$, $(2,\infty)$, w punkcie o odciętej $x=0$ funkcja ma maksimum lokalne, w punkcie o odciętej $x=2$ funkcja ma minimum lokalne. Wartość maksymalna funkcji wynosi $f(0)=0$, wartość minimalna funkcji wynosi $f(2)=4$.

Zadanie 13

Wyznaczyć asymptoty, ekstrema lokalne i przedziały monotoniczności oraz naszkicować wykres funkcji określonej wzorem:

$f(x)=x\cdot e^{-x}$,

Wskazówka: Asymptotę  ukośną wykres funkcji $f$ może posiadać w $-\infty, \; \infty$, asymptoty pionowej wykres funkcji $f$ nie posiada.$f^\prime(x)=e^{-x}\cdot (1-x).$ 

Dziedziną funkcji jest zbiór $D=\mathbb{R}$. Funkcja ma asymptotę poziomą $y=0$ w $\infty$. Funkcja jest rosnąca w przedziale $(-\infty, 1)$, malejąca w przedziale $(1,\infty)$, w punkcie o odciętej $x=1$ funkcja ma maksimum lokalne. Wartość maksymalna funkcji wynosi $f(1)=e^{-1}$.

Zadanie 14

Wyznaczyć asymptoty, ekstrema lokalne i przedziały monotoniczności oraz naszkicować wykres funkcji określonej wzorem:

$f(x)=\frac{x^2}{\ln x}$,

Wskazówka: Asymptotę  ukośną wykres funkcji $f$ może posiadać w $\infty$, asymptotę pionową wykres funkcji $f$ może posiadać w punkcie $x=1$, $f^\prime(x)=\frac{x\cdot (2\ln x-1)}{\ln^2 x}.$ 

Dziedziną funkcji jest zbiór $D=(0,1)\cup(1,\infty)$. Funkcja ma asymptotę pionową obustronną $x=1$. Funkcja jest malejąca w każdym z przedziałów: $(0,1)$, $\left(1,e^{\frac12}\right)$, rosnąca przedziale: $\left(e^{\frac12},\infty\right)$, w punkcie o odciętej $x=e^{\frac12}$ funkcja ma minimum lokalne. Wartość minimalna funkcji wynosi $f(e^{\frac12})=2e$.