Pochodna funkcji jednej zmiennej

$D=\mathbb{R}$. $\lim\limits_{x\to -\infty}f(x)=\lim\limits_{x\to +\infty}f(x)=+\infty$, brak asymptot. Funkcja jest malejąca na przedziale $(-\infty, 0)$, rosnąca na przedziale $(0, +\infty)$, w punkcie $x=0$ funkcja ma minimum lokalne równe $0$. Funkcja jest wypukła na każdym z przedziałów: $(-\infty, \frac13)$, $(1, +\infty)$, wklęsła na przedziale $(\frac13, 1)$, punkty $\left(\frac13, \frac{11}{27}\right)$, $\left(1, 1\right)$ są punktami przegięcia wykresu funkcji.

$D=\left(-\infty, 2\right)\cup\left(2, +\infty\right)$. Wykres funkcji ma asymptotę pionową obustronną $x=2$, $\lim\limits_{x\to 2^-}f(x)=-\infty$, $\lim\limits_{x\to {2}^+}f(x)=+\infty$, oraz asymptotę ukośną o równaniu $y=x+2$ w $-\infty$ i $+\infty$. Funkcja jest rosnąca na każdym z przedziałów: $(-\infty, 0)$, $(4, +\infty)$, malejąca na każdym z przedziałów $(0, 2)$, $(2, 4)$, w punkcie $x=0$ funkcja ma maksimum lokalne równe $0$, w punkcie $x=4$ funkcja ma minimum lokalne równe $8$. Funkcja jest wklęsła na przedziale $(-\infty, 2)$, wypukła na przedziale $(2, +\infty)$, brak punktów przegięcia.

$D=\left(0, e^2\right)\cup \left(e^2, +\infty\right)$. $\lim\limits_{x\to {0}^+}f(x)=0$, wykres funkcji ma asymptotę pionową obustronną $x=e^2$, $\lim\limits_{x\to {e^2}^-}f(x)=+\infty$, $\lim\limits_{x\to {e^2}^+}f(x)=-\infty$, $\lim\limits_{x\to +\infty}f(x)=-\infty$, brak asymptoty ukośnej. Funkcja jest rosnąca na każdym z przedziałów: $(0, e^2)$, $(e^2, e^3)$, malejąca na przedziale $(e^3, +\infty)$, w punkcie $x=e^3$ funkcja ma maksimum lokalne równe $-e^3$. Funkcja jest wypukła na każdym z przedziałów $(0, e^2)$, $(e^4, +\infty)$, wklęsła na przedziale $(e^2, e^4)$, punkt $\left(e^4, -\frac{e^4}{2}\right)$ jest punktem przegięcia wykresu funkcji.

$D=\left(-\frac12, +\infty\right)$. Wykres funkcji ma asymptotę pionową prawostronną $x=-\frac12$, $\lim\limits_{x\to {-\frac12}^+}f(x)=+\infty$, $\lim\limits_{x\to +\infty}f(x)=+\infty$, brak asymptoty ukośnej. Funkcja jest malejąca na przedziale $\left(-\frac12, \frac12\right)$, rosnąca na przedziale $\left(\frac12, +\infty\right)$, w punkcie $x=\frac12$ funkcja ma minimum lokalne równe $\frac12-\ln 2$. Funkcja jest wypukła w całej dziedzinie.

$D=\left(-\infty, 0\right)\cup \left(0, +\infty\right)$. Wykres funkcji ma asymptotę pionową obustronną $x=0$, $\lim\limits_{x\to {0}^-}f(x)=-\infty$, $\lim\limits_{x\to {0}^+}f(x)=+\infty$ oraz asymptotę poziomą $y=-1$ w $-\infty$, $y=1$ w $+\infty$. Funkcja jest malejąca w całej swojej dziedzinie. Funkcja jest wklęsła na przedziale $(-\infty, 0)$, wypukła na przedziale $(0, +\infty)$, brak punktów przegięcia.

$D=(0, +\infty)$. $\lim\limits_{x\to 0^+}f(x)=0$, $\lim\limits_{x\to +\infty}f(x)=+\infty$, brak asymptot. Funkcja jest malejąca na przedziale $(0, e^{-\frac12})$, rosnąca na przedziale $(e^{-\frac12}, +\infty)$, w punkcie $x=e^{-\frac12}$ funkcja ma minimum lokalne równe $-\frac{e^{-1}}2$. Funkcja jest wypukła na przedziale: $(e^{-1}, +\infty)$, wklęsła na przedziale $(0, e^{-1})$, punkt $\left(e^{-1}, -e^{-2}\right)$ jest punktem przegięcia wykresu funkcji.

$D=\mathbb{R}$. Wykres funkcji ma asymptotę poziomą $y=0$ w $-\infty$, $\lim\limits_{x\to +\infty}f(x)=+\infty$. Funkcja jest malejąca na przedziale $(-3,1)$, rosnąca na każdym z przedziałów $(-\infty, -3)$, $(1, +\infty)$, w punkcie $x=1$ funkcja ma minimum lokalne równe $-2e$, w punkcie $x=-3$ funkcja ma maksimum lokalne równe $6e^{-3}$. Funkcja jest wypukła na każdym z przedziałów: $(-\infty, -2-\sqrt5)$, $(-2+\sqrt5, +\infty)$, wklęsła na przedziale $(-2-\sqrt5, -2+\sqrt5)$, punkty $\left(-2-\sqrt5, (6+4\sqrt5)e^{-2-\sqrt5}\right)$, $\left((-2+\sqrt5), (6-4\sqrt5)e^{-2+\sqrt5}\right)$ są punktami przegięcia wykresu funkcji.