Zderzenia niesprężyste

W zderzeniu niesprężystym część energii mechanicznej układu ciał zamienia się w inne formy energii, np. w energię wewnętrzną. Oznaczając traconą energię kinetyczną symbolem  {E_T}, zasadę zachowania całkowitej energii można zapisać

{E_{K0}} = {E_K} + {E_T},

czyli

\frac{{{m_1}v_1^2}}{2} + \frac{{{m_2}v_2^2}}{2} = \frac{{{m_1}v_3^2}}{2} + \frac{{{m_2}v_4^2}}{2} + {E_T}.                                          (1)

 

 

Rysunek 1.

Często zapisujemy energię traconą jako ciepło wydzielone przy zderzeniu

{E_T} = Q

lub pracę wykonaną przeciwko siłom niezachowawczym podczas oddziaływania ciał przy zderzeniu

{E_T} = Q.

Patrząc na równanie (1) można dojść do wniosku, że zderzające się ciała mogą podzielić się energiami na różne sposoby. W rzeczywistości podział ten jest ograniczony przez zasadę zachowania pędu

{m_1}v_1^{} - {m_2}v_2^{} =  - {m_1}v_3^{} + {m_2}v_4.                               (2)

Załóżmy, że dane są masy ciał i ich prędkości początkowe. Z równania (2) można wyznaczyć prędkość {v_4}

{v_4} = \frac{{{m_1}{v_1} - {m_2}{v_2} + {m_1}{v_3}}}{{{m_2}}}.                                                       (3)

Końcowa energia kinetyczna obu ciał {E_K} jest wyrażona wzorem

{E_K} = \frac{{{m_1}v_3^2}}{2} + \frac{{{m_2}v_4^2}}{2}.

Jeżeli w miejsce {v_4} wstawimy wyrażenie (3), dostaniemy

{E_K} = \frac{1}{2}\left[ {{m_1}v_3^2 + {m_2}{{\left( {\frac{{{m_1}{v_1} - {m_2}{v_2} + {m_1}{v_3}}}{{{m_2}}}} \right)}^2}} \right].              (4)

Z tego wyrażenia wynika, że końcowa energia kinetyczna jest funkcją tylko jednej zmiennej {v_3}. Energia ta osiąga minimalną wartość[1], gdy

{v_3} = \frac{{{m_2}{v_2} - {m_1}{v_1}}}{{{m_1} + {m_2}}}.                                                                    (5)

Jeżeli we wzorze (3) w miejsce  {v_3} wstawimy wyrażenie ze wzoru (5), dostaniemy

{v_4} =  - \frac{{{m_2}{v_2} - {m_1}{v_1}}}{{{m_1} + {m_2}}}.                                                                 (6)

Porównując (5) i (6), można zauważyć, że

{v_4} =  - {v_3}.

Przyjmijmy, że wartość {v_4} jest dodatnia, czyli zgodnie rys. 1, skierowana w lewo. Ujemna wartość  {v_3} oznacza, że jest ona skierowana odwrotnie niż na rys. 1, czyli w lewo. Zatem oba ciała poruszają się w lewo z tą samą prędkością, czyli poruszają się razem.


[1] Można to wyznaczyć z warunku zerowania się pierwszej pochodnej po {v_3}.