Zderzenia sprężyste

W zderzeniu sprężystym energia kinetyczna układu ciał przed zderzeniem jest równa energii kinetycznej obu ciał po zderzeniu

{E_{K0}} = {E_K}

czyli

 \frac{{{m_1}v_1^2}}{2} + \frac{{{m_2}v_2^2}}{2} = \frac{{{m_1}v_3^2}}{2} + \frac{{{m_2}v_4^2}}{2},

lub po uproszczeniu

{m_1}v_1^2 + {m_2}v_2^2 = {m_1}v_3^2 + {m_2}v_4^2.                   (1)

Równocześnie obowiązuje zasada zachowania pędu, co można wyrazić wzorem

{m_1}v_1^{} - {m_2}v_2^{} =  - {m_1}v_3^{} + {m_2}v_4^{}                          (2)

Warto zwrócić uwagę, że o ile w tym równaniu niektóre składniki mogą być ujemne,  ponieważ pęd jest wektorem i może mieć różne zwroty, to w równaniu (1) wszystkie energie są zawsze dodatnie, ponieważ energia kinetyczne nie może być ujemna.

Jeżeli znane są masy ciał {m_1}, {m_2}  i ich prędkości początkowe {v_1} oraz {v_2} , to możemy wyznaczyć prędkości końcowe obu ciał {v_3} oraz {v_4}. Można to zrobić rozwiązując układ równań (1) i (2), wówczas

 v_3 = \frac{{{v_1}\left( {{m_2} - {m_1}} \right) + 2{m_2}{v_2}}}{{{m_1} + {m_2}}},                      (3)

 {v_4} = \frac{{{v_2}\left( {{m_1} - {m_2}} \right) + 2{m_1}{v_1}}}{{{m_1} + {m_2}}}.                               (4)

Jeżeli prędkości będą miały inne zwroty, to nie trzeba od nowa rozwiązywać układu równań (1) i (2) wystarczy zmienić znaki przy odpowiednich prędkościach we wzorach (3) i (4). Na przykład dla sytuacji z rysunku,

 

w porównaniu z poprzednią sytuacją uległy zmianie zwroty prędkości  {v_2} i  {v_3}, więc we wzorach (3) i (4), należy zastąpić je wyrażeniami   - {v_2} i - {v_3}. Zatem

- {v_3} = \frac{{{v_1}\left( {{m_2} - {m_1}} \right) + 2{m_2}\left( { - {v_2}} \right)}}{{{m_1} + {m_2}}},

{v_4} = \frac{{ - {v_2}\left( {{m_1} - {m_2}} \right) + 2{m_1}{v_1}}}{{{m_1} + {m_2}}}.