Zderzenia doskonale niesprężyste

Na poprzedniej stronie, poświęconej zderzeniom niesprężystym, zostało pokazane, że ciała po zderzeniu mają najmniejszą energię kinetyczną wówczas, gdy po zderzeniu poruszają się razem. Efekt ten można zilustrować wykresem, który pokazuje, jak ta energia zależy od różnicy miedzy wartościami prędkości ciał po zderzeniu.

 

Widać, że minimalną wartość energia osiąga, gdy różnica wynosi 0, czyli ciała poruszają się razem. Minimalna wartość końcowej energii kinetycznej oznacza maksymalną stratę energii mechanicznej. Możemy zatem sformułować wniosek:

 Jeżeli w wyniku zderzenia ciała połączą się i dalej poruszają się razem, wówczas w zderzeniu takim tracona jest maksymalna ilość energii mechanicznej. Zderzenie takie nazywamy doskonale niesprężystym.

Ze względu na to, że jest tylko jedna prędkość końcowa v, stosunkowo łatwo ją wyznaczyć z zasady zachowania pędu. Dla przypadku zilustrowanego na rysunku

{m_1}{v_1} - {m_2}{v_2} =- \left( {{m_1} + {m_2}} \right)v,

skąd

v =- \frac{{{m_1}{v_1} - {m_2}{v_2}}}{{{m_1} + {m_2}}}.                                         (1)

Ciepło wydzielone w tym zderzeniu można wyznaczyć z zasady zachowania energii

{E_{K0}} = {E_K} + Q,

Q = {E_{K0}} - {E_K}.

Podstawiając wzory na energię kinetyczną

Q = \frac{{{m_1}v_1^2}}{2} + \frac{{{m_2}v_2^2}}{2} - \frac{{\left( {{m_1} + {m_2}} \right){v^2}}}{2}.

Do tego wzoru można z kolei wstawić wyrażenie na prędkość v wyrażoną wzorem (1)

Q = \frac{{{m_1}v_1^2}}{2} + \frac{{{m_2}v_2^2}}{2} - \frac{{\left( {{m_1} + {m_2}} \right){{\left( { - \frac{{{m_1}{v_1} - {m_2}{v_2}}}{{{m_1} + {m_2}}}} \right)}^2}}}{2},

Q = \frac{1}{2}\left[ {{m_1}v_1^2 + {m_2}v_2^2 - \frac{{{{\left( {{m_1}{v_1} - {m_2}{v_2}} \right)}^2}}}{{{m_1} + {m_2}}}} \right].

Po sprowadzeniu do wspólnego mianownika i przeprowadzeniu redukcji dostaniemy ostatecznie

Q = \frac{{{m_1}{m_2}}}{{2\left( {{m_1} + {m_2}} \right)}}{\left( {{v_1} + {v_2}} \right)^2}.