Wprowadzenie

Po co pochodna cząstkowa?

 

Rozważmy przykładowy problem.

Jak wiadomo, objętość stożka V (rysunek poniżej) można policzyć z wzoru

V=\frac{1}{3}\pi R^{2}H\label{eq:1}

Stożek

 

Objętość V jest więc funkcją dwóch zmiennych:

  • promienia podstawy R
  • oraz wysokości stożka H

V=f(R,H)

Jeśli więc zmienimy promień podstawy R albo zmienimy wysokość stożka H wtedy objętość stożka zmieni się.

   

Chcemy się dowiedzieć jak zmiana poszczególnych wymiarów stożka wpłynie na jego objętość.

Patrząc na wzór

V=\frac{1}{3}\pi R^{2}H

łatwo zauważyć, że gdy zwiększymy promień podstawy R to objętość stożka \(\) wzrośnie. Analogicznie, gdy zwiększymy wysokość stożka H wtedy objętość stożka V także wzrośnie.

    

Ale nie zawsze odpowiedź będzie taka prosta. Na przykład:

  • Czy wzrost objętości V będzie większy gdy promień podstawy R zwiększymy o 10 % czy też wtedy gdy o 10 % zwiększymy wysokość H?
  • Co się stanie z objętością stożka V gdy promień podstawy R zwiększymy o 10 % zaś wysokość H zmniejszymy o 10 % ?

        

Oczywiście, w konkretnych przypadkach możemy podstawić liczby i to sprawdzić. Ale co, jeśli chcemy uzyskać odpowiedź bardziej ogólną?

Wiemy już, że narzędziem, które pozwala na opisanie jak jedna wielkość wpływa na drugą wielkość jest pochodna. Na przykład szybkość zmian prędkości samochodu w zależności od czasu opisuje pierwsza pochodna prędkości po czasie \frac{dv}{dt}.

Także w przypadku opisywanego stożka wykorzystać możemy pochodną, ale tym razem mamy problem, jak to zrobić kiedy wielkość zależy od większej ilości parametrów, czyli jest funkcją wielu zmiennych.

Do tego właśnie służy pochodna cząstkowa \frac{\partial\,wielkośś}{\partial\,parametr} którą omówimy w następnych krokach.