Energia potencjalna grawitacji i sprężystości

Typowym zagadnieniem w kinematyce jest swobodny ruch ciała w polu grawitacyjnym. Ruch nazywamy swobodnym, gdy na ciało nie działają inne siły poza ciążeniem grawitacyjnym. O położeniu i prędkości w dowolnej chwili decydują warunki początkowe, czyli miejsce startu, wartość i kierunek prędkości ciała. W ogólnym przypadku wyznaczenie, np. prędkości końcowej wymaga trochę wysiłku. Zasada zachowania energii może znacznie przyspieszyć rozwiązanie.

Obliczmy dla przykładu prędkość, z jaką upada na ziemię kamyk rzucony z prędkością v_0 ukośnie w górę z wysokości h.

Jeżeli energia mechaniczna ma być zachowana, to znaczy, że ma stałą wartość w dowolnym momencie ruchu, czyli w szczególności energia tuż po wyrzuceniu E_0 równa się energii tuż przed upadkiem E

 {E_0} = E.

Na energię początkową składa się energia kinetyczna związana z prędkością v_0 oraz energia potencjalna grawitacji związana z wysokością h. Energia końcowa to tylko energia kinetyczna wynikająca z prędkości v, tutaj wysokość jest równa zeru, zatem

\frac{{mv_0^2}}{2} + mgh = \frac{{m{v^2}}}{2},

gdzie m jest masą kamyka. Stąd można otrzymać wzór na prędkość końcową

v = \sqrt {v_0^2 + mgh} .

Warto zauważyć, że wartość prędkości końcowej nie zależy od kierunku, w jakim kamyk został rzucony. Taki sam wynik dostaniemy, gdy zostanie rzucony pionowo w dół, pionowo w górę, poziomo i pod każdym innym kątem.

Prędkość jest wielkością wektorową, zatem powinniśmy również podać kierunek prędkości końcowej. Można to zrobić wyznaczając kąt, jaki tworzy ta prędkość z poziomem. Do tego jednak potrzebny będzie kąt, pod jakim wyrzucony został kamyk \alpha.

 

Z rysunku widać, że

 \cos \beta  = \frac{{{v_x}}}{v},                             (1)

ale prędkość pozioma nie zmienia się, ponieważ w poziomie nie działają na kamyk żadne siły, zatem

 {v_x} = {v_{0x}}.

Z kolei v_{0x} można wyznaczyć ze wzoru

\frac{{{v_{0x}}}}{v_0} = \cos \alpha

{v_{0x}} = {v_0}\cos \alpha,

zatem podstawiając v_{0x} i v do wzoru (1) dostaniemy

\cos \beta  = \frac{{{v_0}\cos \alpha }}{{\sqrt {v_0^2 + mgh} }}.