Który wzór na energię potencjalną jest dobry? (R)

Który wzór na energię potencjalną jest dobry? (R)

 

Poznaliśmy dwa różne wzory na energię potencjalną ciała w polu grawitacyjnym Ziemi. Jeden, gdy pole można uznać za jednorodne i drugi, gdy ujawnia się jego centralny charakter. Powstaje zatem pytanie, który z tych wzorów jest prawidłowy. Zobaczymy zaraz, że oba wzory są sobie równoważne, przy spełnieniu pewnych warunków.

 

Niech punkt A znajduje się na powierzchni Ziemi a punkt B na pewnej wysokości h nad nim. Zobaczmy, jak różni się energia potencjalna ciała o masie m

{E_p} =  - \frac{{GmM}}{r}

 między punktami A i B. Oznaczmy przy tym , jako że  jest bardzo małe w porównaniu z promieniem Ziemi . Wówczas różnica energii staje się różniczką

d{E_p} = \frac{{GmM}}{{{r^2}}}dr.

W pobliżu powierzchni Ziemi r \approx R i

d{E_p} = \frac{{GmM}}{{{R^2}}}dr.

Z kolei wyrażenie \frac{{GM}}{{{R^2}}} to przyspieszenie ziemskie a h = dr, zatem

\begin{array}{c}d{E_p} = mgdr = \\ = mgh.\end{array}

Jeżeli przyjmiemy dla wygody, że na powierzchni Ziemi h = 0 i {E_{pA}} = 0,to energia potencjalna w punkcie B będzie równa

{E_{pB}} = mgh.

Widać więc, że z pierwszego wzoru na energię wynika drugi przy założeniu h \ll R.