Co można „wyciągnąć” z równania fali harmonicznej?
Pokażemy za chwilę, jak wiele można „wycisnąć” ze zwykłego równania ruchu falowego.
Załóżmy np., że drgania pewnego ośrodka liniowego (o gęstości liniowej \(\rho_{lin} = 3 \text{ kg/m}\)) opisane są równaniem
\(\Large{\psi (x,t) = \frac{2}{\pi} \cdot \sin (4 \pi \cdot t - 2 \pi \cdot x)}\),
gdzie wszystkie wielkości podane są w jednostkach podstawowych układu SI. Jest to równanie typu
\(\Large{\psi (x,t) = A \cdot \sin (\omega \cdot t - k \cdot x)}\).
Wstawiając w nim konkretne wartości \(x\) oraz \(t\) obliczymy wychylenie z położenia równowagi punktu ośrodka ulokowanego w pozycji \(x\) względem źródła fali, zmierzone w chwili \(t\) liczonej od momentu rozpoczęcia obserwacji drgań źródła. \(A\) oznacza amplitudę fali, \(\omega\) jej częstość, zaś \(k\) jest tzw. liczbą falową.
Przez porównanie obydwu powyższych równań można stwierdzić, że w naszym ośrodku liniowym rozchodzi się fala (biegnie od źródła w prawo, o czym świadczy minus), dla której:
amplituda \(\Large{A = \frac{2}{\pi} \text{ [m]}}\)
częstość \(\Large{\omega = 4 \pi \text{ [1/s]}}\)
liczba falowa \(\Large{k = \frac{2}{\pi}} \text{ [1/m]}\)
Znając częstość, możemy wyznaczyć także okres i częstotliwość fali:
okres \(\Large{T = \frac{2 \pi}{\omega} = \frac{1}{2} \text{ [s]}}\)
częstotliwość \(\Large{f = \frac{\omega}{2 \pi} = \frac{1}{T} = 2 \text{ [Hz]}}\)
Znając liczbę falową, znajdziemy długość fali:
długość fali \(\Large{\lambda = \frac{2 \pi}{k} = \frac{2 \pi}{2 \pi} = 1 \text{ [m]}}\)
Długość fali, to droga pokonywana przez falę w czasie równym jednemu okresowi. Prędkość fazową fali obliczymy zatem następująco:
prędkość fazowa fali \(\Large{v_f = \frac{\lambda}{T} = \frac{1}{\frac{1}{2}} = 2 \text{ [m/s]}}\)
Amplituda, częstość, okres i częstotliwość fali są równocześnie amplitudą, częstością, okresem i częstotliwością drgań cząstek falującego ośrodka.
Skoro zatem znamy częstość i amplitudę drgań cząstek ośrodka, to możemy także określić maksymalne wartości prędkości i przyspieszenia, z jakimi się one poruszają:
maksymalna prędkość cząstek ośrodka (nie fali) \(\Large{v_{cz}^{max} = A \omega = \frac{2}{\pi} \cdot 4 \pi = 8 \text{ [m/s]}}\)
maksymalne przyspieszenie cząstek ośrodka (nie fali) \(\Large{a_{cz}^{max} = A \omega ^2 = \frac{2}{\pi} \cdot (4 \pi)^2 = 32 \pi \text{ [m/s} ^2]}\)
Zwróćmy uwagę, że prędkość (fazowa) fali i prędkość ruchu cząsteczek to dwa odrębne pojęcia. Prędkość fali jest w danym ośrodku stała i dotyczy ruchu powierzchni identycznej fazy (czyli powierzchni falowych), a tym samym odnosi się również do transportu energii. Prędkość ruchu drgającego konkretnych cząstek ośrodka zmienia się sinusoidalnie pomiędzy \(- v_{cz}^{max}\) i \(+ v_{cz}^{max}\), które mogą mieć wartość bezwzględną zdecydowanie odbiegającą od prędkości fazowej fali (w naszym przypadku tak właśnie jest). Dodajmy jeszcze, że nawet kierunki ruchu cząstek ośrodka i całej fali mogą być zupełnie inne (fala poprzeczna). Uważajmy zatem, aby nie mylić tych dwóch pojęć.
Podano oprócz równania drgań również gęstość liniową falującego ośrodka, a to z kolei umożliwia nam określenie wartości wielkości odnoszących się do transportu energii w fali:
średnia (w okresie) gęstość liniowa energii niesionej przez falę \(\Large{\overline{\rho}_{E \: lin} = \frac{1}{2} \rho_{lin} A^2 \omega^2 = 96 \text{ [J/m]}}\),
średnie (w okresie) natężenie liniowe fali \(\Large{\overline{I}_{lin} = \overline{\rho}_{E \: lin} \cdot v_f = 192 \text{ [W]}}\),
gdzie ze względu na jednowymiarowość ośrodka (określonego gęstością liniową w kg/m, a nie zwykłą gęstością w kg/m\( ^3\)) posłużono się gęstością liniową energii (w J/m zamiast J/m\( ^3\)) i natężeniem linowym fali (w W zamiast W/m\( ^2\)). Uff! ... ;-)
Można też wybrać konkretne wartości \(x\) oraz \(t\), aby sprawdzić wychylenie wskazanego punktu z położenia równowagi we wskazanym momencie, ale chyba nam się już nie chce ;-)
To niewiarygodne jak wiele informacji zawartych jest w jednym niepozornym równaniu, nieprawdaż ? :]