Fala harmoniczna jednowymiarowa – opis matematyczny
Fala, jak już wiemy, to kolektywna forma drgań całego ośrodka. Drgania zachodzą z pewnym poślizgiem czasowym w każdym jego punkcie, przy czym to, co dzieje się w jednym miejscu ma pewien wpływ na zachowania obserwowane w każdym innym. Aby opisać falę matematycznie musimy zdefiniować pewną funkcję zmiennych przestrzennych i czasu \(\psi (x,y,z,t)\), zwaną funkcją falową lub równaniem fali, której wartość odpowiadać będzie osiąganemu w chwili \(t\) wychyleniu punktu o współrzędnych \(x\), \(y\), \(z\) względem położenia równowagi. W przypadku ogólnym \(\psi\) może być dowolną wielkością, której określona zmiana oznacza odejście od stanu równowagi i powstanie czynnika zwrotnego działającego na rzecz jego przywróceniai. Mówiąc o falach mechanicznych będziemy jednak mieli na myśli wychylenie rozumiane dosłownie, a więc jako odległość między aktualną pozycją danego punktu i jego pozycją równowagową. W dalszym ciągu, dla uproszczenia rozważań, będziemy zajmować się wyłącznie falami jednowymiarowymi rozchodzącymi sie wzdłuż osi \(Ox\), opisywanymi funkcjami typu \(\psi (x,t)\). No i oczywiście będą to fale harmoniczne, czyli wytwarzane przez źródło drgające harmonicznie (sinusoidalnie).
Na rysunku poniżej pokazany jest wykres funkcji opisującej drgania wykonywane przez źródło (linia ciągła), przy czym dla uproszczenia grafiki przyjęto, że faza początkowa drgań \(\varphi = 0\), co rzecz jasna nie zmniejsza ogólności rozważań. W punkcie odległym o \(x\) od źródła dokładnie takie same drgania pojawiają się z pewnym opóźnieniem czasowym \(\tau = x / v_f\), gdzie \(v_f\) oznacza prędkość fali, a właściwie tzw. prędkość fazową fali, czyli prędkość wędrówki powierzchni falowych. Odpowiada im linia przerywana. Na rysunku zaznaczono również okres oscylacji \(T\) powiązany z częstością \(\omega\) zależnością \(T = 2 \pi / \omega\). Wprowadzenie niezerowej fazy początkowej \(\varphi\) spowoduje jedynie przesunięcie w lewo lub w prawo osi pionowej \(O \psi\) nie ruszając w ogóle samych krzywych funkcji dragń.
Równania drgań źródła i punktu \(x\) mają odpowiednio postać:
\(\Large{\psi (x=0,t) = A \sin (\omega t)}\) oraz \(\Large{\psi (x,t) = A \sin (\omega (t - \frac{x}{v_f} ) )}\)
W drugim z równań odległość od źródła \(x\) utożsamiono ze współrzędną \(x\) punktu ośrodka, nakładając na nią tym samym warunek \(x > 0\). Jest to zatem równanie fali biegnącej w kierunku dodatnich wartości \(x\), czyli w prawo. Zamieniając \(-\) na \(+\) uzyskamy równanie fali biegnącej w lewo.
Jeśli dołożymy jeszcze niezerową fazę początkową \(\varphi\), otrzymamy dla fali biegnącej w prawo ogólną postać wzoru na wychylenie \(\psi\) z położenia równowagi punktu odległego o \(x\) od źródła w chwili \(t\)
\(\Large{\psi (x,t) = A \sin (\omega (t - \frac{x}{v_f} ) + \varphi )}\)
Argument sinusa, czyli
\(\Large{\phi = \omega (t - \frac{x}{v_f} ) + \varphi }\)
nazywamy fazą fali. Ze względu na okresowość funkcji sinus fazy różniące się o \(2 \pi\) są ze względu na stan ruchu identyczne. Mówi się wręcz, że faza określona jest z dokładnością do \(2 \pi\).
Przekształćmy teraz wzór na \(\psi (x,t)\) pozbywając się wewnętrznego nawiasu w argumencie sinusa:
\(\Large{\psi (x,t) = A \sin (\omega (t - \frac{x}{v_f} ) + \varphi ) = A \sin(\omega t - \frac{\omega}{v_f} x + \varphi)}\)
Pamiętając o związku częstości z okresem, ułamek \(\omega / v_f\) można zapisać jako \(2 \pi / T v_f\)
\(\Large{\psi (x,t) = A \sin(\omega t - \frac{2 \pi}{T v_f} x + \varphi) = A \sin(\omega t - \frac{2 \pi}{\lambda} x + \varphi)}\)
Zauważmy że wprowadzona powyżej wielkość \(\lambda = T v_f\), będąca drogą pokonywaną przez falę w ciągu jednego okresu drgań, jest przestrzennym okresem funkcji falowej. Oznacza to, że punkty ośrodka oddalone od siebie wzdłuż promienia falowego o całkowitą wielokrotność \(\lambda\) znajdują się w identycznej fazie drgań. Wielkość \(\lambda\) nazywamy długością fali.
Wprowadźmy jeszcze jedno oznaczenie:
\(\Large{k = \frac{2 \pi}{\lambda}}\)
Jest to tzw. liczba falowa. Określa ile razy długość fali \(\lambda\) mieści się na odcinku o długości \(2 \pi\) metrów.
Przy użyciu liczby falowej \(k\) równania fal jednowymiarowych biegnących w prawo / lewo można ostatecznie zapisać następująco:
fala biegnąca w prawo: \(\Large{\psi (x,t) = A \sin(\omega t - k x + \varphi)}\)
fala biegnąca w lewo: \(\Large{\psi (x,t) = A \sin(\omega t + k x + \varphi)}\)
Częstość \(\omega\) i liczba falowa \(k\) niosą ze sobą dodatkowo informację o prędkości fazowej \(v_f\) i długości fali \(\lambda\):
\(\Large{v_f = \frac{\omega}{k}}\)
\(\Large{\lambda = T v_f = \frac{2 \pi}{k}}\)