Przedstawienie drgań harmonicznych za pomocą ruchu po okręgu
Z jednowymiarowym ruchem harmonicznym o częstości \(\omega\) i amplitudzie \(A\) można skojarzyć ruch po okręgu o promieniu \(A\), odbywający się ze stałą prędkością kątową \(\omega\), przy czym identyczność oznaczeń dla częstości i prędkości kątowej oraz amplitudy i promienia okręgu nie jest tu wcale dziełem przypadku.
Przyjrzyjmy się najpierw ruchowi kołowemu punktu materialnego. W przedstawionym na rysunku przypadku porusza się on przeciwnie do ruchu wskazówek zegara w ten sposób, że jego wektor wodzący wiruje ze stałą prędkością kątową \(\omega\), co oznacza, że sam punkt porusza się z prędkością liniową o stałej wartości \(v = A \cdot \omega\).
Przyjmijmy, że w momencie uruchomienia zegara, odmierzającego czas ruchu, punkt znajduje się w pozycji P, gdzie wektor jego położenia (tzw. wektor fazowy lub krócej „fazor” albo "wskaz") tworzy z osią Ox kąt \(\phi\). Podczas gdy nasz punkt przemierza dystans od P do dowolnie ustalonego na obwodzie S, na co poświęca czas \(t\), fazor wykonuje obrót o dodatkowy kąt \(\omega t\), zatem jego pozycję względem osi Ox opisuje kąt fazowy (faza) \(\theta = \omega t + \phi\) . Rzutując S prostopadle na oś Ox otrzymujemy punkt Q, którego współrzędna x-owa wynosi \(x(t) = A \cos (\omega t + \phi)\). Tak więc, podczas gdy fazor kręci się cyklicznie wokół osi przechodzącej przez środek okręgu, rzut jego końca na oś Ox oscyluje po czerwonej linii pomiędzy X’ i X”, przy czym oscylacje te opisane są funkcją sinusoidalną. Okres obydwu ruchów wynosi rzecz jasna \(T = 2 \pi / \omega\).
Skojarzenie z ruchem harmonicznym jest tu aż nazbyt oczywiste, nieprawdaż?
Jeśliby zaś komuś przeszkadzał cosinus, to można się posługiwać rzutami na oś Oy (prostopadłą względem Ox) i ich współrzędnymi y-owymi, dzięki czemu pojawiać się będzie sinus. Zresztą sinus a cosinus to tylko kwestia przesunięcia fazowego o \(\pi / 2\).
Reasumując, reprezentacją jednowymiarowego ruchu harmonicznego jest ruch punktu po okręgu. Wektor łączący środek okręgu (środek układu współrzędnych) z punktem, czyli tzw. fazor wiruje w czasie ze stałą prędkością kątową (częstością) \(\omega\), a współrzędną x-ową (lub y-ową) jego zakończenia utożsamiamy z położeniem oscylatora.
Ta reprezentacja (tzw. metoda wirujących fazorów lub metoda wskazów) okazuje się bardzo przydatna przy analizowaniu drgań złożonych.