Składanie drgań równoległych metodą wskazów.
W lekcji „Składanie drgań równoległych” pominęliśmy wszystkie bardziej zawiłe szczegóły matematyczne. Teraz, dysponując już odpowiednim aparatem matematycznym, możemy te niedoróbki uzupełnić.
Składanie drgań równoległych o identycznych częstościach.
Rozważmy dwie oscylacje harmoniczne o identycznych częstościach \(\omega\), lecz dowolnie ustalonych, różnych amplitudach i fazach początkowych:
Obiekt (oscylator) uczestniczy w obydwu tych ruchach jednocześnie, a jego wychylenie zgodnie z zasadą superpozycji jest sumą wychyleń składowych:
Sprowadzimy powyższe wyrażenie do bardziej czytelnej postaci posługując się przedstawieniem drgań za pomocą ruchu jednostajnego po okręgu, czyli metodą wskazów (fazorów).
W chwili \(t = 0\) wskazy zajmują położenia jak na rysunku powyżej. Wskaz wychylenia wypadkowego \(x\) jest wektorową sumą wskazów odpowiadających wychyleniom \(x_{1}\) oraz \(x_{2}\). Dzięki identyczności częstości obydwu drgań ten układ wskazów wiruje w niezmiennym kształcie (stałe w czasie wartości kątów pomiędzy wszystkimi wskazami), co oznacza, że ruch wypadkowy jest, podobnie jak ruchy składowe, ruchem harmonicznym o częstości \(\omega\) i można go zapisać równaniem:
Znajdziemy teraz amplitudę \(A\) oraz fazę początkową \(\phi (0) = \varphi\).
Korzystając z twierdzenia cosinusów otrzymujemy dla trójkąta OPQ:
Amplituda drgań wypadkowych jest więc zależna od amplitud drgań składowych oraz różnicy faz i wynosi:
Aby z kolei znaleźć fazę początkową drgań wypadkowych można np. skorzystać z definicji tangensa:
skąd ostatecznie:
Na rysunku poniżej przedstawiono przykładowo ogólny przypadek składania dwóch drgań harmonicznych równoległych (linie kreskowana i kropkowana) o identycznych częstościach i amplitudach, lecz różniących się fazami. Wynik superpozycji zaznaczono linią ciągłą.
Składanie drgań równoległych o różnych częstościach.
Rozważmy z kolei dwie oscylacje harmoniczne o różnych częstościach \(\omega_{1}\) i \(\omega_{2}\):
Różnica faz obydwu drgań, czyli różnica argumentów cosinusów w definiujących je wzorach, zmienia się teraz nieustannie. Dokonując ich superpozycji otrzymujemy wychylenie wypadkowe:
Stosując metodę wirujących wskazów możemy, jak i poprzednio, zapostulować efekt takiej superpozycji w postaci iloczynu amplitudy i cosinusoidalnego członu oscylacyjnego
jednakże tym razem zarówno amplituda jak i argument cosinusa będą zależne od czasu, przy czym argumentu cosinusa nie da się już niestety zapisać z użyciem jednolitej częstości \(\omega\):
Przedstawione powyżej rozwiązanie ogólne może mieć charakter periodyczny (wykres w postaci okresowej funkcji czasu) lub aperiodyczny (wykres w postaci nieokresowej funkcji czasu). Zależy to od stosunku częstości drgań składowych. Jeśli jest on wymierny, czyli wyrażony ułamkiem zwykłym, wówczas (i tylko wówczas !!!) rezultat jest periodyczny.