Składanie drgań prostopadłych o różnych częstościach
Identyczność częstości składanych drgań prostopadłych to oczywiście przypadek bardzo ważny, ale jednak szczególny. A co, jeśli częstości drgań będą się jednak różnić? Znów podobnie jak i w przypadku składania drgań równoległych istotnym okazuje się to, czy stosunek tych częstości jest liczbą wymierną czy też nie. Jeśli \(\omega_{1} : \omega_{2}\) jest liczbą wymierną, to wówczas ruch wypadkowy ma charakter drgań periodycznych (tzn. okresowych), o okresie \(T\) spełniającym warunek
gdzie \(n_{1}\) i \(n_{2}\) są dobrane jako najmniejsze możliwe liczby naturalne. Inaczej mówiąc, okres drgań wypadkowych \(T\) jest najmniejszą wspólną wielokrotnością okresów drgań składowych \(T_{1}\) i \(T_{2}\). Drgający punkt „kursuje” wówczas „w kółko” po pewnym torze zamkniętym albo „w tę i z powrotem” po pewnym torze otwartym, przy czym w każdym z przypadków tor mieści się w obrębie prostokąta o bokach \(2A\) na \(2B\) z centrum w punkcie równowagi. Tory te określa się wspólnym mianem krzywych Lissajous (od nazwiska ich odkrywcy).
Szczególnym przypadkiem krzywych Lissajous są pokazane już wcześniej tory ruchu dla \(\omega_{1} : \omega_{2} = 1 : 1\) (identyczne częstości).
Na rysunku poniżej pokazane są przykładowe krzywe Lissajous dla kilku prostszych wartości \(\omega_{1} : \omega_{2}\) i wybranych początkowych przesunięć fazowych \(\varphi\) między drganiami wzdłuż kierunków \(x\) i \(y\). W pierwszej kolumnie mamy „powtórkę” przypadku identycznych częstości.
Gdy stosunek częstości \(\omega_{1} : \omega_{2}\) zaczynamy wyrażać za pomocą coraz większych liczb naturalnych, kształt krzywych Lissajous komplikuje się coraz bardziej. Ich długość jest jednak zawsze skończona i w kwadracie lub prostokącie podwojonych amplitud pozostaje sporo wolnej „niezakreskowanej” przestrzeni – po prostu punkt drgając nawet nieskończenie długo porusza się cyklicznie po tej samej skończonej krzywej.
To, co pokazaliśmy do tej pory, dotyczyło sytuacji, w których \(\omega_{1} : \omega_{2}\) było liczbą wymierną. Jeśli jednak \(\omega_{1} : \omega_{2}\) będzie niewymierne (np. \(\sqrt{2}\), \(\pi\), \(e\)), wówczas drgania wypadkowe nie będą mieć charakteru okresowego, a punkt kreśląc sobie tor w obrębie kwadratu \(2A \times 2A\) (lub prostokąta \(2A \times 2B\)) stopniowo wypełni całą jego powierzchnię.
Rysunek poniżej pokazuje absolutne początki kreślenia toru przez drgający wypadkowo punkt, wykonane dla kilku różnych niewymiernych wartości \(\omega_{1} : \omega_{2}\). Strzałka wskazuje aktualną pozycję punktu. Na razie jest jeszcze nieco wolnej przestrzeni, ale już widać, że sytuacja mocno się zagęszcza i wierzcie, po dłuższej chwili nie zostanie już ani jeden wolny skrawek.
Istnieją rozmaite mechaniczne i optyczne metody wizualizacji krzywych Lissajous, ale najprościej chyba jest skorzystać z oscyloskopu, sterując wychyleniem poziomym i pionowym plamki (oscyloskop w trybie XY) za pomocą sygnałów z odpowiednio ustawionych generatorów napięcia sinusoidalnego.
Na dalszych stronach zaprezentujemy kilka spośród tych bardziej wyszukanych urządzeń służących do obrazowania efektów składania drgań prostopadłych. Będą to harmonograf, spirograf mechaniczny oraz spirograf optyczny.
Najpierw jednak kilka klasycznych animacji interaktywnych oraz nasza własna produkcja filmowa :)