Składanie drgań prostopadłych o identycznych częstościach
Drgania, których superpozycji mamy dokonać, niekoniecznie muszą zachodzić wzdłuż tej samej prostej. Rozważmy na początek przypadek, gdy oscylacje odbywają się wzdłuż dwóch wzajemnie prostopadłych kierunków, mają identyczne częstości \(\omega\) oraz amplitudy \(A\) i są przesunięte w fazie o \(\varphi\). Równania opisujące takie oscylacje będą miały następującą postać:
Współrzędne \((x,y)\) punktu wykonującego równocześnie oba te ruchy można określić w dowolnym momencie podstawiając po prostu czas do obydwu wzorów. Są one zatem tzw. parametrycznymi równaniami toru ruchu z czasem \(t\) jako parametrem. Równania parametryczne są niestety mało czytelne. Aby „zobaczyć” kształt krzywej toru ruchu należy je połączyć w jeden wzór redukując czas – czyli inaczej mówiąc, należy zapisać \(y\) w funkcji \(x\). Zacznijmy od zastosowania w równaniu definiującym \(y\) wzoru na cosinus różnicy kątów. Nasz układ równań przyjmie postać:
Po uwzględnieniu pierwszego równania w drugim (zamieniamy \(A \cos \omega t\) na \(x\), a powstały w ten sposób wyraz \(x \cos \varphi\) przenosimy na lewą stronę) oraz po pomnożeniu pierwszego obustronnie przez \(\sin \varphi\) otrzymujemy:
Podnosząc oba wzory do kwadratu i sumując je stronami oraz dzieląc wynik stronami przez kwadrat amplitudy znajdujemy na koniec równanie toru ruchu w czytelniejszej postaci:
Jest to równanie elipsy wpisanej w kwadrat o boku \(2 A\) w ten sposób, że jej osie leżą na przekątnych kwadratu.
Elipsa ta redukuje się do odcinka gdy przesunięcie fazowe \(\varphi\) równe jest \(0\) lub \(\pi\), natomiast w przypadku, gdy wynosi ono \(\pi / 2\) lub \(3 \pi / 2\) staje się okręgiem. Punkt krąży po elipsie zgodnie (dla \(\varphi \in (0, \pi)\)) lub przeciwnie (dla \(\varphi \in (\pi , 2 \pi)\)) do ruchu wskazówek zegara. Na rysunku poniżej pokazany jest kształt toru ruchu dla przesunięć fazowych od \(0\) do \(2 \pi\) z krokiem co \(\pi /4\). Strzałka pokazuje kierunek obiegania toru przez punkt.
Jeśli składane drgania, inaczej niż w poprzednim przypadku, różnią się także amplitudami (\(A\), \(B\)), to wówczas postępując analogicznie można wykazać, że równanie toru ruchu wypadkowego będzie miało postać:
Jest to w ogólnym przypadku elipsa, wpisana w prostokąt o boku poziomym \(2 A\) i pionowym \(2 B\). Ustawienie i sposób obiegania toru przez drgający wypadkowo punkt pokazuje dla tych samych co poprzednio przypadków poniższy rysunek:
Najistotniejsza różnica, w porównaniu z przypadkiem identycznych amplitud, polega na tym, że dla \(\pi /2\) oraz \(3 \pi /2\) mamy teraz zamiast okręgu elipsę o osiach równoległych do boków wspomnianego prostokąta \(2A \times 2B\).