Oscylator harmoniczny wymuszony w skrócie
Aby mogły zaistnieć drgania harmoniczne układu posiadającego punkt równowagi trwałej, musi na niego działać tzw. siła zwrotna, proporcjonalna do wychylenia \(x\) i przeciwnie do niego skierowana.
\(\Large{F = \; – k \cdot x}\)
Zawraca ona układ w kierunku położenia równowagi.
Oprócz siły zwrotnej, w realnych układach drgających występuje również siła tłumiąca, wynikająca z ogólnie rozumianych oporów ruchu. W przypadku oscylacji o umiarkowanej intensywności jest ona proporcjonalna do prędkości i przeciwnie do niej skierowana.
\(\Large{F_{tł} = \; – b \: \cdot \stackrel{.}{x}}\)
Siła tłumiąca wygasza stopniowo drgania, odbierając im energię. Jeśli chcemy drgania podtrzymywać na niezmienionym poziomie musimy te straty energii rekompensować. Robi się to przykładając do oscylatora cykliczną siłę wymuszającą drgania, najlepiej sinusoidalną o pewnej częstości \(\Omega\).
\(\Large{F_{wym}(t) = F_0 \cdot \sin{\Omega t}}\)
Efektem równoczesnego działania tych trzech sił będą tzw. drgania harmoniczne wymuszone, opisywane równaniem ruchu
\(\Large{m \stackrel{..}{x} = \; – k x \; – b \stackrel{.}{x} + F_0 \sin \Omega t}\)
którego rozwiązanie w fazie ustalonej może mieć np. postać
\(\Large{x(t) = A \sin (\Omega t – \Theta)}\)
Są to zatem drgania sinusoidalne o ustalonej amplitudzie i częstości identycznej z częstością siły wymuszającej. Zarówno amplituda \(A\) jak i przesunięcie fazowe \(\Theta\) między wychyleniem i siłą wymuszającą są skomplikowanymi funkcjami parametrów drgającego układu i siły wymuszającej – głównie jej częstości. Szczególnie istotny jest kształt wykresu zależności amplitudy wychyleń od częstości siły wymuszającej. Przyjmuje on postać tzw. krzywej rezonansowej, o wyraźnie zaznaczonym maksimum (dla nieprzesadnie dużych tłumień), zlokalizowanym w pobliżu częstości odpowiadającej drganiom własnym układu, tzn. drganiom, jakie wykonuje ów układ, pod nieobecność sił wymuszających.
Zjawisko osiągania przez amplitudę ekstremalnych wartości nazywamy rezonansem amplitudy, a częstość siły wymuszającej, przy której owo maksimum się pojawia, nazywamy częstością rezonansu amplitudy lub po prostu częstością rezonansową.
\(\Large{\Omega_{rez.ampl.} = \sqrt{\omega_0^2 - 2 \beta^2}}\)
W przypadku braku tłumienia (współczynnik tłumienia \(\beta = 0\)) rezonans zachodzi dokładnie dla częstości odpowiadającej częstości drgań własnych \(\omega_0\), zaś amplituda rezonansowa dąży wtedy do nieskończoności. W miarę pojawiania się i wzrostu wartości tłumienia (\(\beta > 0\)), rezonans przesuwa się stopniowo w kierunku coraz mniejszych częstości, zaś sama krzywa rezonansowa staje się coraz bardziej rozpłaszczona, by w końcu całkiem zatracić charakter rezonansowy dla tłumienia krytycznego.
Zjawisko rezonansu ma szczególne znaczenie praktyczne – możliwe efekty niepożądane, polegające na osiąganiu przez drgające układy niebezpiecznie wysokiego poziomu drgań.