Równanie drgań wymuszonych ustalonych
Z matematycznego punktu widzenia przedstawione w poprzednim punkcie równanie oscylatora wymuszonego zalicza się do tzw. niejednorodnych równań różniczkowych liniowych drugiego stopnia. Jego rozwiązanie ogólne opisywać będzie zarówno fazę drgań nieustalonych jak i ustalonych.
| Uwaga! Rozwiązaniem ogólnym równania różniczkowego jest funkcja z co najmniej jednym parametrem, czyli w istocie cała rodzina funkcji – wstawiając odpowiednią wartość tego parametru lub parametrów możemy uzyskać jawną postać dowolnej konkretnej pojedynczej już tym razem funkcji będącej tzw. rozwiązaniem szczególnym wyjściowego równania różniczkowego. |
Nas interesuje wyłącznie rozwiązanie szczególne odnoszące się do drgań ustalonych. Nie wdając się w szczegóły ścisłych matematycznych rozważań, a jedynie opierając się na obserwacjach cech ruchu wymuszonego, możemy zapostulować następujące równanie dla drgań harmonicznych wymuszonych ustalonych:
Drgania wymuszone ustalone są więc drganiami sinusoidalnymi, o częstości identycznej z częstością siły wymuszającej (!!! \(\Omega\) to nie to samo co \(\omega _{0}\) we wzorze na wychylenie w ruchu harmonicznym prostym !!!). Są one jednak opóźnione w fazie względem siły ze względu na pewną bezwładność reakcji układu na przykładane wymuszenie.
Podstawiając wychylenie \(x(t)\) do różniczkowego równania ruchu wymuszonego można otrzymać jawną postać zarówno amplitudy drgań \(A\) jak i opóźnienia fazowego \(\Theta\) wychylenia względem siły wymuszającej.