Co można "wyciągnąć" z równania ruchu harmonicznego tłumionego?
Pokażemy poniżej, jak wiele można „wycisnąć” z równania ruchu harmonicznego tłumionego, opisującego zależność wychylenia z położenia równowagi od czasu.
Załóżmy, że drgania pewnego punktu materialnego o masie \(m = 3 \: \text{kg}\) opisane są następującym równaniem:
\(\Large{x(t) = \frac{2}{\pi} \; \text{e}^{- 3 \pi \cdot t} \sin ( 4 \pi \cdot t + \frac{\pi}{6})}\),
gdzie wszystkie wielkości podane są w jednostkach podstawowych układu SI.
Jest to równanie typu
\(\Large{x(t) = A_0 \; \text{e}^{- \beta \cdot t} \sin (\omega \cdot t + \varphi)}\),
opisujące, jak wiadomo, drgania harmoniczne tłumione o amplitudzie początkowej \(A_0\), współczynniku tłumienia \(\beta\), częstości \(\omega\) i fazie początkowej \(\varphi\).
Można zatem od razu przez porównanie obydwu równań stwierdzić, że nasz obiekt jest oscylatorem harmonicznym tłumionym, dla którego:
amplituda \(\Large{A_0 = \frac{2}{\pi} \text{ [m]}}\)
współczynnik tłumienia \(\Large{\beta = 3 \pi \text{ [1/s]}}\)
częstość \(\Large{\omega = 4 \pi \text{ [1/s]}}\)
faza początkowa \(\Large{\varphi = \frac{\pi}{6}} \text{ [–]}\)
Znając częstość, możemy wyznaczyć także okres i częstotliwość:
okres \(\Large{T = \frac{2 \pi}{\omega} = \frac{1}{2} \text{ [s]}}\)
częstotliwość \(\Large{f = \frac{\omega}{2 \pi} = \frac{1}{T} = 2 \text{ [Hz]}}\)
Skoro znamy częstość i współczynnik tłumienia, to można także znaleźć częstość drgań harmonicznych prostych (nietłumionych):
częstość drgań nietłumionych \(\Large{\omega_0 = \sqrt{\omega^2 + \beta ^2} = 5 \pi \text{ [1/s]}}\)
Nasz oscylator zacząłby drgać z taką częstością, gdybyśmy stłumili tłumienie do zera (no chociaż prawie do zera). Opory powietrza - zamykając oscylator w komorze próżniowej, opory na osi zawieszenia wahadła - smarując oś WD-40 ;-)
Znając częstość drgań nietłumionych i masę, znajdziemy dalej współczynnik sprężystości, określający siłę zwrotną:
współczynnik sprężystości \(\Large{k = m \omega _0 ^2 = 3 \cdot (5 \pi)^2 = 75 \pi^2 \text{ [N/m]}}\)
No i nie zapominajmy o podstawowej roli równania drgań – można z jego pomocą znaleźć wartość wychylenia oscylatora z położenia równowagi albo samą amplitudę w dowolnej chwili \(t\). Zróbmy to np. dla \(t = 2 \text{s}\):
amplituda \(\Large{A(t=2 \text{s}) = \frac{2}{\pi} \text{e} ^{-3 \pi \cdot 2} = \frac{2}{\pi} \text{e}^{-6 \pi} \text{ [m]}}\)
wychylenie \(\Large{x(t=2 \text{s}) = \frac{2}{\pi} \text{e}^{-6 \pi} \cdot \sin (4 \pi \cdot 2 + \frac{\pi}{6}) = \frac{2}{\pi} \text{e}^{-6 \pi} \cdot \sin (\frac{\pi}{6}) = \frac{2}{\pi} \text{e}^{-6 \pi} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{\pi} \text{e}^{-6 \pi} \text{ [m]}}\)
To może teraz zapytajmy, ile czasu musi upłynąć, aby energia tych drgań zmalała 4-krotnie? Energia jest jak wiadomo proporcjonalna do kwadratu amplitudy, zatem rozwiązaniem naszego problemu będzie odpowiedź na pytanie, ile czasu musi upłynąć, aby amplituda zmalała \(\sqrt{4}\) krotnie, czyli 2-krotnie. Trzeba w tym celu rozwiązać względem \(t\) równanie:
\(\Large{\frac{A(t+ \Delta t)}{A(t)} = 2}\)
Stosując w powyższym równaniu wzór na amplitudę otrzymamy kolejno:
\(\Large{\frac{\text{e}^{- \beta t}}{\text{e}^{- \beta (t+\Delta t)}} = \text{e}^{- \beta t + \beta (t+ \Delta t)} = \text{e}^{\beta \Delta t} = 2 }\)
i dalej z definicji logarytmu:
\(\Large{\beta \Delta t = \ln{2}}\)
Poszukiwany czas będzie zatem równy:
\(\Large{\Delta t = \frac{\ln{2}}{\beta} = \frac{\ln{2}}{3 \pi} \text{ [s]}}\)
No to może jeszcze poszukajmy dekrementu logarytmicznego i dobroci (tłumienie nie jest niestety małe, więc nie wolno stosować uproszczonej wersji wzoru):
dekrement logarytmiczny \(\Large{\Lambda = \beta \cdot T = 3 \pi \cdot \frac{1}{2} = \frac{3 \pi}{2} \text{ [–]}}\)
dobroć \(\Large{Q = \frac{2 \pi}{1 - \text{e}^{- 2 \Lambda}} = \frac{2 \pi}{1 - \text{e}^{- 3 \pi}} \text{ [–]}}\)
No i znowu musimy powiedzieć: to niewiarygodne jak wiele informacji zawartych jest w jednym niepozornym równaniu, nieprawdaż ? :]