Oscylator harmoniczny tłumiony w skrócie
Drgania opisywane równaniem typu
\(\Large{x(t) = A \sin (\omega_0 t + \varphi)}\),
czyli tzw. drgania harmoniczne proste, to przypadek wyidealizowany, nie uwzględniający tłumienia, będącego wynikiem szeroko rozumianych oporów ruchu (np. opór ośrodka, w którym zachodzą drgania lub tarcie na osi zawieszenia wahadła). W przypadku ruchów drgających o umiarkowanej intensywności, a takimi są drgania harmoniczne, można przyjąć, że siła tłumiąca drgania jest proporcjonalna do prędkości:
\(\Large{F_{oporu} = - \: b \cdot \frac{dx}{dt}}\).
Prędkość została tu zapisana w postaci pierwszej pochodnej wychylenia po czasie \(\frac{dx}{dt}\), zaś \(b\) to tzw. współczynnik oporu. Minus jest prostą konsekwencją faktu, iż siła oporu przeszkadza w ruchu, a więc musi być skierowana przeciwnie do prędkości. Przypomnijmy, że siła zwrotna była skierowana przeciwnie do wychylenia, gdyż jej z kolei rolą było zawracanie oscylatora w kierunku położenia równowagi.
Różniczkowe równanie ruchu ma teraz postać \(m \stackrel{..}{x} \; = - \: k \cdot x - \: b \; \cdot \stackrel{.}{x}\), a jego rozwiązaniem może być np. funkcja postaci:
\(\Large{x(t) = A_0 \text{e}^{- \beta \cdot t} \sin (\omega \cdot t + \varphi)}\),
opisująca zależność wychylenia oscylatora tłumionego z położenia równowagi od czasu. \(A_0\) oznacza amplitudę początkową, \(\beta = \frac{b}{2m}\) to tzw. współczynnik tłumienia, zaś \(\omega\) i \(\varphi\) to odpowiednio częstość dragań tłumionych i faza początkowa.
Amplituda drgań tłumionych \(A(t) = A_0 \text{e}^{- \beta \cdot t}\) maleje wykładniczo w czasie, wobec czego wykres drgań ma postać sinusoidy gasnącej
Zwróćmy uwagę, iż częstość drgań tłumionych pisana jest inaczej, niż to było w przypadku drgań nietłumionych, tzn. bez indeksu „0”. I nie jest to przypadek. Drgania tłumione odbywają się z mniejszą częstością i tym samym z większym okresem niż drgania proste (nietłumione):
\(\Large{\omega ^2 = \omega _0 ^2 - \: \beta ^2}\),
gdzie \(\omega _0 ^2 = k /m\) jest częstością drgań harmonicznych prostych, czyli nietłumionych. Tłumienie krytyczne \(\beta = \omega_0\) rozgranicza przypadki periodyczne (drgania tłumione) i aperiodyczne, polegające na zaniku wychylenia do zera bez drgań wokół położenia równowagowego.
Energia drgań tłumionych maleje w czasie wraz z kwadratem amplitudy, tzn. gdy amplituda maleje 2-krotnie, energia całkowita drgań maleje 4-krotnie.
Zmienność amplitudy i energii oscylatora tłumionego w czasie charakteryzuje się za pomocą następujących parametrów:
- dekrement logarytmiczny – logarytm naturalny ze stosunku dwóch amplitud występujących w odstępie czasu równym jednemu okresowi:
\(\Large{\Lambda = \ln {\frac{A(t)}{A(t+T)}} = \beta \cdot T = \frac{T}{\tau}}\)
- średni czas życia – czas, po jakim amplituda meleje e-krotnie:
\(\Large{\tau = \frac{1}{\beta}}\),
- dobroć – iloczyn odwrotności względnych strat energii oscylatora w jednym cyklu przez \(2 \pi\), równy dla niezbyt silnego tłumienia:
\(\Large{Q = \frac{\pi}{\beta T} = \frac{\omega}{2 \beta} = \frac{\pi}{\Lambda} = \frac{\pi \tau}{T} = \pi \cdot N_e}\)
gdzie \(N_e\) jest ilością cykli, po której amplituda drgań maleje e-krotnie. Dobroć przyjmuje wartości od zera (w przypadku tłumienia krytycznego) do nieskończoności (przy braku tłumienia).