Co można "wyciągnąć" z równania ruchu harmonicznego?
Pokażemy poniżej, jak wiele można „wycisnąć” z równania ruchu harmonicznego, opisującego zależność wychylenia z położenia równowagi od czasu.
Załóżmy, że drgania pewnego punktu materialnego o masie \(m = 3 \: \text{kg}\) opisane są następującym równaniem:
\(\Large{x(t) = \frac{2}{\pi} \sin ( 4 \pi \cdot t + \frac{\pi}{6})}\),
gdzie wszystkie wielkości podane są w jednostkach podstawowych układu SI.
Jest to równanie typu
\(\Large{x(t) = A \sin (\omega_0 t + \varphi)}\),
opisujące, jak wiadomo, drgania harmoniczne proste o amplitudzie \(A\), częstości własnej \(\omega_0\) i fazie początkowej \(\varphi\).
Można zatem od razu przez porównanie obydwu równań stwierdzić, że nasz obiekt jest oscylatorem harmonicznym, dla którego:
amplituda \(\Large{A = \frac{2}{\pi} \text{ [m]}}\)
częstość \(\Large{\omega_0 = 4 \pi \text{ [1/s]}}\)
faza początkowa \(\Large{\varphi = \frac{\pi}{6}} \text{ [–]}\)
Znając częstość, możemy wyznaczyć także okres i częstotliwość:
okres \(\Large{T = \frac{2 \pi}{\omega_0} = \frac{1}{2} \text{ [s]}}\)
częstotliwość \(\Large{f = \frac{\omega_0}{2 \pi} = \frac{1}{T} = 2 \text{ [Hz]}}\)
Skoro znamy częstość i amplitudę, to można także określić maksymalne wartości prędkości i przyspieszenia, z jakimi porusza się oscylator:
maksymalna prędkość \(\Large{v_{max} = A \omega_0 = \frac{2}{\pi} \cdot 4 \pi = 8 \text{ [m/s]}}\)
maksymalne przyspieszenie \(\Large{a_{max} = A \omega_0 ^2 = \frac{2}{\pi} \cdot (4 \pi)^2 = 32 \pi \text{ [m/s} ^2]}\)
Podano oprócz równania drgań również masę oscylatora, a to z kolei umożliwia nam określenie wartości stałej sprężystości drgającego układu oraz energii zgromadzonej w tych drganiach:
stała sprężystości \(\Large{k = m \omega^2 = 3 \cdot (4 \pi)^2 = 48 \pi^2 \text{ [N/m]}}\)
energia drgań \(\Large{E_c = E_k ^{max} = E_p ^{max} = \frac{1}{2} k A^2 = \frac{1}{2} \cdot 48 \pi^2 \cdot (\frac{2}{\pi})^2} = 96 \text{ [J]}\)
No i nie zapominajmy o podstawowej roli równania drgań – można z jego pomocą znaleźć wartość wychylenia oscylatora z położenia równowagi w dowolnej chwili \(t\). Zróbmy to np. dla chwili \(t = 2 \text{s}\):
\(\Large{x(t=2 \text{s}) = \frac{2}{\pi} \cdot \sin (4 \pi \cdot 2 + \frac{\pi}{6}) = \frac{2}{\pi} \cdot \sin (\frac{\pi}{6}) = \frac{2}{\pi} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{\pi} \text{ [m]}}\)
To niewiarygodne jak wiele informacji zawartych jest w jednym niepozornym równaniu, nieprawdaż ? :]