Podsumowanie - oscylator harmoniczny prosty

   Ruch harmoniczny prosty to jedna z form ruchu drgającego, polegająca na cyklicznym, sinusoidalnym wychylaniu się układu z położenia równowagi trwałej. Drgające ciało, czyli oscylator harmoniczny, podlega w tym ruchu działaniu tzw. siły zwrotnej (zawracającej) proporcjonalnej do wychylenia \(x\) z położenia równowagi  i przeciwnie do tego wychylenia skierowanej: 

\(\Large{F =  - \: k \cdot x}\)

gdzie \(k\) jest współczynnikiem zależnym od budowy układu, nazywanym współczynnikiem lub stałą sprężystości. Jest to, dodajmy, jedyna siła działająca na oscylator harmoniczny prosty. 

   Rozwiązaniem równania ruchu  \(m \stackrel{..}{x} \; =  - \: k \cdot x\)  jest np. funkcja

\(\Large{x(t) = A \cdot \sin{(\omega_0 t + \varphi)}}\)

opisująca zależność wychylenia z położenia równowagi od czasu. \(A\) oznacza tutaj amplitudę, czyli maksymalne wychylenie, natomiast \(\omega_0 = \sqrt{k / m}\) jest nazywana częstością kołową drgań własnych lub po prostu częstością. Tzw. faza początkowa \(\varphi\) nie posiada żadnego znaczenia fizycznego.  Okresowość funkcji \(x(t)\) opisują okres \(T\) i częstotliwość \(f\), które powiązane są z częstością \(\omega_0\) w następujący sposób: 

\(\Large{\omega_0 = 2 \pi f = \frac{2 \pi}{T}}\)

   Postać sinusoidalną ma nie tylko czasowa funkcja wychylenia, ale także czasowe funkcje prędkości i przyspieszenia: 

\(\Large{v(t) = A \omega_0 \cos{(\omega_0 t + \varphi)}}\)

\(\Large{a(t) = - \: A \omega_0 ^2 \sin{(\omega_0 t + \varphi)}}\)

przy czym zarówno \(v(t)\) jak i \(a(t)\) są względem \(x(t)\) przesunięte w fazie, co ilustruje poniższy rysunek:

Obraz

Resetuj rozmiar

Zamknij to okno

   Z drganiami harmonicznymi układu związana jest pewna energia kinetyczna \(E_k (t) = m v^2 (t) / 2\) oraz potencjalna \(E_p (t) = k x^2 (t) / 2\). Ich suma, czyli energia mechaniczna \(E_c = E_k (t) + E_p (t)\) jest stała w czasie. Gdy oscylator znajduje się w punkcie maksymalnego wychylenia energia potencjalna jest maksymalna a kinetyczna wynosi zero. Dokładnie odwrotnie jest, gdy oscylator przelatuje przez położenie równowagi. Zapamiętajmy zatem, że zachodzą następujące związki: 

\(\Large{E_c = E _k ^{max} = E _p ^{max} = \frac{k A^2}{2} = \frac{1}{2} m \omega_0 ^2 A^2}\)

Najważniejsze przykłady oscylatorów harmonicznych to: 

• oscylator sprężynowy – ciało o niewilkich rozmiarach i masie \(m\) zawieszone na sprężynie o stałej sprężystości \(k\); wahnięcia muszą mieć na tyle małą amplitudę, aby nie doszło do przekroczenia granicy odkształceń liniowych sprężyny; okres takiego oscylatora dany jest wzorem: 

\(\Large{T = 2 \pi \sqrt{\frac{m}{k}}}\)

• wahadło matematyczne – punkt materialny, a w praktyce niewielka masywna kulka zawieszona na cienkiej, nieważkiej, nierozciągliwej nici o długości \(l\), a całość w polu sił ciężkości opisywanym przyspieszeniem \(g\) (na Ziemi będzie to po prostu przyspieszenie ziemskie); wahania muszą mieć niewielką amplitudę (w praktyce poniżej \(5^{\circ}\)); okres takiego oscylatora dany jest wzorem: 

\(\Large{T = 2 \pi \sqrt{\frac{l}{g}}}\)

• wahadło fizyczne – bryła sztywna o masie \(m\) i momencie bezwładności \(I\), zawieszona na osi oddalonej o \(d\) od środka masy bryły, a całość w polu ciężkości opisywanym przyspieszeniem \(g\) (na Ziemi będzie to po prostu przyspieszenie ziemskie); wahania muszą mieć niewielką amplitudę kątową (w praktyce poniżej \(5^\circ\)); okres takiego oscylatora dany jest wzorem:

\(\Large{T = 2 \pi \sqrt{\frac{I}{mgd}}}\)