Rachunek różniczkowy funkcji jednej zmiennej

Załóżmy, że funkcja $f$ jest określona na pewnym otoczeniu $U_{x_0}$ punktu $x_{0}$. Niech $\Delta x$ będzie różnym od zera przyrostem zmiennej $x$ takim, że $x_{0}+\Delta x$ należy do tego otoczenia. Niech $\Delta f=f(x_{0}+\Delta x)-f(x_{0})$ będzie przyrostem wartości funkcji odpowiadającym przyrostowi $\Delta x$. Ilorazem różnicowym funkcji $f$ w punkcie $x_{0}$ dla przyrostu $\Delta x$ nazywamy wyrażenie

$\frac{\Delta f}{\Delta x}=\frac{f(x_{0}+\Delta x)-f(x_{0})}{ \Delta x}$.

Jeżeli istnieje i jest skończona granica

$\lim\limits_{\Delta x\rightarrow 0}\frac{\Delta f}{\Delta x}$,

to nazywamy ją pochodną funkcji $f$ w punkcie $x_{0}$ i oznaczamy $f^{\prime }(x_{0})$ lub $\frac{df}{dx}(x_{0})$. Zatem

$f^{\prime }(x_{0})=\lim\limits_{\Delta x\rightarrow 0}\frac{ f(x_{0}+\Delta x)-f(x_{0})}{\Delta x}$

(o ile granica ta istnieje i jest skończona).