Rachunek różniczkowy funkcji jednej zmiennej

Załóżmy, że funkcja $f$ jest określona na pewnym otoczeniu $U_{x_0}$ punktu $x_{0}$. Niech $\Delta x$ będzie różnym od zera przyrostem zmiennej $x$ takim, że $x_{0}+\Delta x$ należy do tego otoczenia. Niech $\Delta f=f(x_{0}+\Delta x)-f(x_{0})$ będzie przyrostem wartości funkcji odpowiadającym przyrostowi $\Delta x$. Ilorazem różnicowym funkcji $f$ w punkcie $x_{0}$ dla przyrostu $\Delta x$ nazywamy wyrażenie

$\frac{\Delta f}{\Delta x}=\frac{f(x_{0}+\Delta x)-f(x_{0})}{ \Delta x}$.

Jeżeli istnieje i jest skończona granica

$\lim\limits_{\Delta x\rightarrow 0}\frac{\Delta f}{\Delta x}$,

to nazywamy ją pochodną funkcji $f$ w punkcie $x_{0}$ i oznaczamy $f^{\prime }(x_{0})$ lub $\frac{df}{dx}(x_{0})$. Zatem

$f^{\prime }(x_{0})=\lim\limits_{\Delta x\rightarrow 0}\frac{ f(x_{0}+\Delta x)-f(x_{0})}{\Delta x}$

(o ile granica ta istnieje i jest skończona).

Iloraz różnicowy może być także zapisany w postaci

$\frac{\Delta f}{\Delta x}=\frac{f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0}},\text{ } x\in U_{x_0}$.

Wówczas pochodna funkcji $f$ w punkcie $x_{0}$ ma postać

$f^{\prime }(x_{0})=\lim\limits_{x\rightarrow x_{0}}\frac{f(x)-f(x_{0})}{ x-x_{0}}$.

Załóżmy, że funkcja $f$ jest określona na pewnym prawostronnym otoczeniu $x_{0}$. Niech $\Delta x$ będzie różnym od zera przyrostem zmiennej $x$ takim, że $x_{0}+\Delta x$ należy do tego otoczenia. Niech $\Delta f=f(x_{0}+\Delta x)-f(x_{0})$ będzie przyrostem funkcji odpowiadającym przyrostowi $\Delta x$. Jeżeli istnieje i jest skończona granica

$\lim\limits_{\Delta x\rightarrow 0^{+}}\frac{f(x_{0}+\Delta x)-f(x_{0})}{\Delta x}$,

to nazywamy ją pochodną prawostronną funkcji $f$ w punkcie $x_{0}$ i oznaczamy $f_{+}^{^{\prime }}(x_{0})$ lub $\frac{df}{dx}(x_{0}^{+})$. Zatem

$f_{+}^{^{\prime }}(x_{0})=\lim\limits_{\Delta x\rightarrow 0^{+}}\frac{f(x_{0}+\Delta x)-f(x_{0})}{\Delta x}$.

Pochodna prawostronna funkcji $f$ w punkcie $x_{0}$ może być także zapisana w postaci

$f_{+}^{^{\prime }}(x_{0})=\lim\limits_{x\rightarrow x_{0}^{+}}\frac{ f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0}},\text{ } x\in U^{+}_{x_0}$.

Załóżmy, że funkcja $f$ jest określona na pewnym lewostronnym otoczeniu $x_{0}$. Niech $\Delta x$ będzie różnym od zera przyrostem zmiennej $x$ takim, że $x_{0}+\Delta x$ należy do tego otoczenia. Niech $\Delta f=f(x_{0}+\Delta x)-f(x_{0})$ będzie przyrostem funkcji odpowiadającym przyrostowi $\Delta x$. Jeżeli istnieje i jest skończona granica

$\lim\limits_{\Delta x\rightarrow 0^{-}}\frac{f(x_{0}+\Delta x)-f(x_{0}) }{\Delta x}$

to nazywamy ją pochodną lewostronną funkcji $f$ w punkcie $x_{0}$ i oznaczamy $f_{-}^{^{\prime }}(x_{0})\text{ lub }\frac{df}{dx}(x_{0}^{-})$. Zatem

$f_{-}^{^{\prime }}(x_{0})=\lim\limits_{\Delta x\rightarrow 0^{-}}\frac{f(x_{0}+\Delta x)-f(x_{0})}{\Delta x}$.

Pochodna lewostronna funkcji $f$ w punkcie $x_{0}$ może być także zapisana w postaci

$f_{-}^{^{\prime }}(x_{0})=\lim\limits_{x\rightarrow x_{0}^{-}}\frac{ f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0}},\text{ }x\in U^{-}_{x_0}$.

Funkcja $f$ ma pochodną w punkcie $x_{0}$ wtedy i tylko wtedy, gdy istnieją i są sobie równe pochodne jednostronne funkcji $f$ w punkcie $x_{0}$. Wówczas

$f^{^{\prime }}(x_{0})=f_{+}^{^{\prime }}(x_{0})=f_{-}^{^{\prime }}(x_{0})$.

Załóżmy, że funkcja $f$ jest określona i ciągła na pewnym otoczeniu punktu $x_{0}$. Mówimy, że funkcja $f$ ma pochodną niewłaściwą w punkcie $x_{0}$, gdy

$\lim\limits_{\Delta x\rightarrow 0}\frac{f(x_{0}+\Delta x)-f(x_{0})}{ \Delta x}=-\infty$   lub    $\lim\limits_{\Delta x\rightarrow 0}\frac{ f(x_{0}+\Delta x)-f(x_{0})}{\Delta x}=+\infty$.

Wówczas piszemy

$f^{^{\prime }}(x_{0})=-\infty$   lub    $f^{^{\prime }}(x_{0})=+\infty$.

Załóżmy, że funkcja $f$ jest określona i ciągła na pewnym prawostronnym otoczeniu punktu $x_{0}$. Mówimy, że funkcja $f$ ma pochodną niewłaściwą prawostronną w punkcie $x_{0}$, gdy

$\lim\limits_{\Delta x\rightarrow 0^{+}}\frac{f(x_{0}+\Delta x)-f(x_{0}) }{\Delta x}=-\infty$    lub    $\lim\limits_{\Delta x\rightarrow 0^{+}} \frac{f(x_{0}+\Delta x)-f(x_{0})}{\Delta x}=+\infty \text{.}$

Wówczas piszemy

$f_{+}^{^{\prime }}(x_{0})=-\infty$    lub    $f_{+}^{^{\prime }}(x_{0})=+\infty$.

Załóżmy, że funkcja $f$ jest określona i ciągła na pewnym lewostronnym otoczeniu punktu $x_{0}$. Mówimy, że funkcja $f$ ma pochodną niewłaściwą lewostronną w punkcie $x_{0}$, gdy

$\lim\limits_{\Delta x\rightarrow 0^{-}}\frac{f(x_{0}+\Delta x)-f(x_{0}) }{\Delta x}=-\infty$    lub    $\lim\limits_{\Delta x\rightarrow 0^{-}} \frac{f(x_{0}+\Delta x)-f(x_{0})}{\Delta x}=+\infty$.

Wówczas piszemy

$f_{-}^{^{\prime }}(x_{0})=-\infty$    lub    $f_{-}^{^{\prime }}(x_{0})=+\infty$.

Załóżmy, że funkcja $f$ jest określona na zbiorze $D\subset \mathbb{R}$. Jeżeli $f$ ma pochodną w każdym punkcie zbioru $A\subset D$, to funkcję

$f^{^{\prime }}:x\mapsto f^{^{\prime }}(x),\text{ } x\in A$

nazywamy funkcją pochodną lub pochodną funkcji $f$ na zbiorze $A$.

Załóżmy, że funkcja $f$ jest określona na pewnym otoczeniu punktu $x_0$. Jeżeli $f$ jest różniczkowalna w punkcie $x_{0}$, to jest ciągła w tym punkcie.

Implikacja odwrotna nie zachodzi, tzn. nie jest prawdą, że jeżeli funkcja jest ciągła w punkcie $x_{0}$, to jest różniczkowalna w tym punkcie. Przykładem funkcji, która jest ciągła i nieróżniczkowalna w $x_{0}=0$ jest $f(x)=|x|$.

Załóżmy, że funkcja $f$ jest różniczkowalna na na pewnym otoczeniu $U_{x_0}$ punktu $x_0$. Niech $\Delta x$ oznacza dowolny, różny od zera, przyrost argumentu. Różniczką funkcji $f$ w punkcie $x_0$ dla dla przyrostu $\Delta x$ nazywamy iloczyn $f^\prime(x_0)\cdot\Delta x$ i oznaczamy symbolem $df(x_0)$. Zatem $df(x_0)=f^\prime(x_0)\cdot\Delta x$.

Zauważmy, że jeżeli $f(x)=x$, to $dx=df(x_0)=1\cdot\Delta x = \Delta x$, a więc dla dowolnej funkcji $f$ zachodzi równość

$df(x_0)=f^\prime(x_0)\cdot dx$.

Jeśli $f$ jest funkcją różniczkowalną w $x_0$ oraz $\Delta f=f(x_0+\Delta x)-f(x_0)$, to 

$\Delta f=d f+ \varepsilon$,

gdzie $\lim\limits_{\Delta x\to 0}\frac{\varepsilon}{\Delta x}=\lim\limits_{\Delta x\to 0}\frac{\Delta f - df}{\Delta x}=0$. To oznacza, dla dostatecznie małych przyrostów $\Delta x$  przyrost wartości funkcji $\Delta f$ można przybliżyć różniczką funkcji $df$ z błędem $\varepsilon$, przy czym $\vert \varepsilon \vert$. Uwzględniając definicję różniczki, otrzymujemy wzór wykorzystywany do wyznaczania przybliżonych wartości funkcji $f$:

$f(x_0+\Delta x)\approx f(x_0)+f^\prime(x_0)\cdot \Delta x$.

Jeżeli istnieje pochodna funkcji $f^\prime$ w punkcie $x_0$, to nazywamy ją pochodną rzędu drugiego funkcji $f$ w punkcie $x_0$ i oznaczamy przez $f^{\prime\prime}(x_0)$ lub $\frac{d^2f}{dx^2} (x_0)$.

Analogicznie definiujemy pochodne wyższych rzędów. Niech $n\in \mathbb{N}$. Wówczas:

$f^{(0)}(x)=f(x)$,

$f^{(1)}(x)=f'(x)=\frac{df}{dx} (x)$,

$\ \ \ \ \vdots$

$f^{(n)}(x)=\left( f^{(n-1)}(x)\right)'=\frac{d^nf}{dx^n} (x)$.