Rachunek różniczkowy funkcji jednej zmiennej

Jeśli $f$ jest funkcją różniczkowalną w $x_0$ oraz $\Delta f=f(x_0+\Delta x)-f(x_0)$, to 

$\Delta f=d f+ \varepsilon$,

gdzie $\lim\limits_{\Delta x\to 0}\frac{\varepsilon}{\Delta x}=\lim\limits_{\Delta x\to 0}\frac{\Delta f - df}{\Delta x}=0$. To oznacza, dla dostatecznie małych przyrostów $\Delta x$  przyrost wartości funkcji $\Delta f$ można przybliżyć różniczką funkcji $df$ z błędem $\varepsilon$, przy czym $\vert \varepsilon \vert$. Uwzględniając definicję różniczki, otrzymujemy wzór wykorzystywany do wyznaczania przybliżonych wartości funkcji $f$:

$f(x_0+\Delta x)\approx f(x_0)+f^\prime(x_0)\cdot \Delta x$.

Jeżeli istnieje pochodna funkcji $f^\prime$ w punkcie $x_0$, to nazywamy ją pochodną rzędu drugiego funkcji $f$ w punkcie $x_0$ i oznaczamy przez $f^{\prime\prime}(x_0)$ lub $\frac{d^2f}{dx^2} (x_0)$.

Analogicznie definiujemy pochodne wyższych rzędów. Niech $n\in \mathbb{N}$. Wówczas:

$f^{(0)}(x)=f(x)$,

$f^{(1)}(x)=f'(x)=\frac{df}{dx} (x)$,

$\ \ \ \ \vdots$

$f^{(n)}(x)=\left( f^{(n-1)}(x)\right)'=\frac{d^nf}{dx^n} (x)$.