Rachunek różniczkowy funkcji jednej zmiennej

$f^{^{\prime }}(3)=\lim\limits_{x\rightarrow 3}\frac{f(x)-f(3)}{x-3} = \lim\limits_{x\rightarrow 3}\frac{(1-x^{2})-(1-3^{2})}{x-3} =\lim\limits_{x\rightarrow 3}\frac{1-x^{2}-1+9}{x-3}=$

$=\lim\limits_{x\rightarrow 3}\frac{-x^{2}+9}{x-3}=\lim\limits_{x\rightarrow 3}\frac{9-x^{2}}{x-3}=\lim\limits_{x\rightarrow 3}\frac{(3-x)(3+x)}{x-3}=$

$=\lim\limits_{x\rightarrow 3}\frac{-(x-3)(3+x)}{x-3}=\lim\limits_{x \rightarrow 3}\frac{-(3+x)}{1}=\lim\limits_{x\rightarrow 3}(-3-x)=-6$.

Niech $a\in \mathbb{R}$. Iloraz różnicowy funkcji $f$ w punkcie $a$ ma postać:

$I(x)=\frac{f(x)-f(a)}{x-a}=\frac{|x-a|-|a-a|}{x-a}=\frac{|x-a|-0}{x-a}=\frac{ |x-a|}{x-a}$.

Korzystając z definicji modułu mamy:

$|x-a|=\left\{ \begin{array}{lll} x-a & \text{dla} & x\geq a \\ -(x-a) & \text{dla} & x$.

Obliczymy teraz pochodne jednostronne w punkcie $a$:

$f_{+}^{^{\prime }}(a)=\lim\limits_{x\rightarrow a^{+}}\frac{|x-a|}{x-a} =\lim\limits_{x\rightarrow a^{+}}\frac{x-a}{x-a}=\lim\limits_{x\rightarrow a^{+}}(1)=1$,

$f_{-}^{^{\prime }}(a)=\lim\limits_{x\rightarrow a^{-}}\frac{|x-a|}{x-a} =\lim\limits_{x\rightarrow a^{-}}\frac{-(x-a)}{x-a}=\lim\limits_{x \rightarrow a^{-}}(-1)=-1$.

Zauważmy, że

$f_{+}^{^{\prime }}(a)\not=f_{-}^{^{\prime }}(a)\text{.}$

Zatem nie istnieje pochodna funkcji $f$ w punkcie $x_{0}=a$.

Niech $x_0 >0$.

$f^{^{\prime }}(x_{0})=\lim\limits_{x\rightarrow x_{0}}\frac{f(x)-f(x_{0})}{ x-x_{0}}=\lim\limits_{x\rightarrow x_{0}}\frac{\sqrt{x}-\sqrt{x_{0}}}{x-x_{0} }=$

$=\lim\limits_{x\rightarrow x_{0}}\frac{\sqrt{x}-\sqrt{x_{0}}}{(\sqrt{x}- \sqrt{x_{0}})(\sqrt{x}+\sqrt{x_{0}})}=\lim\limits_{x\rightarrow x_{0}}\frac{1 }{\sqrt{x}+\sqrt{x_{0}}}=\frac{1}{\sqrt{x_{0}}+\sqrt{x_{0}}}$.

Czyli

$f^{^{\prime }}(x_{0})=\frac{1}{2\sqrt{x_{0}}}, \; x_0>0$.

Dziedziną funkcji $f$ jest przedział $[1,+\infty)$, zatem możemy rozważać tylko pochodną prawostronną funkcji $f$ w punkcie $x_0=1$.

$f_{+}^{^{\prime }}(1)=\lim\limits_{x\rightarrow 1^{+}}\frac{f(x)-f(1)}{x-1} =\lim\limits_{x\rightarrow 1^{+}}\frac{\sqrt{x-1}-\sqrt{1-1}}{x-1}= \lim\limits_{x\rightarrow 1^{+}}\frac{\sqrt{x-1}}{x-1}=\lim\limits_{x \rightarrow 1^{+}}\frac{1}{\sqrt{x-1}}=\left[\frac{1}{0^{+}}\right]=+\infty .$

Ponieważ $f$ jest funkcją ciągłą, więc $f$ ma w $x_0=1$ pochodną prawostronną niewłaściwą.

Przybliżoną wartość pierwiastka wyznaczymy korzystając ze wzoru:

$f(x_0+\Delta x)\approx f(x_0)+f^\prime(x_0)\cdot \Delta x$.

Przyjmijmy $f(x)=\sqrt[3]{x}$,  $x_0=1000$ oraz $\Delta x=3$. Wówczas

$f'(x)=\left(x^\frac{1}{3}\right)'=\frac{1}{3} x^{-\frac{2}{3}}=\frac{1}{3 \sqrt[3]{x^2}}$,

$f'(x_0)=\frac{1}{3( \sqrt[3]{1000})^2}=\frac{1}{300}$.

Stąd

$\sqrt[3]{1003}=f(1000+3)\approx f(1000)+f^\prime(1000)\cdot 3 = 10+\frac{1}{300}\cdot 3=10.01$.