Rachunek różniczkowy funkcji jednej zmiennej

  Przykład 1
    Pokażemy, że funkcja $f(x)=\frac{e^{x-2}}{x}$ nie posiada punktów przegięcia.
    Rozwiązanie:
    Dziedziną funkcji jest zbiór $D=\mathbb{R}\backslash \left\{ 0\right\}$.
    Obliczamy pierwszą i drugą pochodną funkcji $f$:

$f^{\prime }(x)=\frac{e^{x-2}(x-1)}{x^{2}}$, $x\in \mathbb{R}\backslash \left\{ 0\right\}$,
$f^{\prime \prime }(x) =\frac{e^{x-2}(x^{2}-2x+2)}{x^{3}}$,  $x\in \mathbb{R}\backslash \left\{ 0\right\}\$

i przyrównujemy drugą pochodną do zera:

$f′′(x)=0 \iff \frac{e^{x-2}(x²-2x+2)}{x³}=0 \iff (e^{x-2}=0∨x²-2x+2=0)$. 
Ponieważ $e^{x-2}$ $>0$ i $x^{2}-2x+2\neq0$ dla każdego $x\in\mathbb{R}\backslash \left\{ 0\right\}$, więc powyższe równanie nie posiada rozwiązania, zatem funkcja $f$ nie posiada punktów przegięcia.
    Przykład 2
    Pokażemy, że funkcja $f(x)=4x^3+8x\ln x$ nie posiada punktów przegięcia.
    Rozwiązanie:

    Dziedziną funkcji jest zbiór $D=(0, +\infty)$.
    Obliczamy pierwszą i drugą pochodną funkcji $f$:

$f'(x) =12x^2+8\ln x+8\text{ , }x\in (0, +\infty)$, 
$f''(x)=24x+\frac 8x$, $x\in (0, +\infty)$.
Zauważmy, że dla każdego $x∈(0, +\infty)$ pochodna rzędu drugiego jest dodatnia, zatem nie jest spełniony warunek konieczny istnienia punktu przegięcia i funkcja $f$ nie posiada punktów przegięcia.

    Przykład 3
    Wyznaczymy punkty przegięcia funkcji $f(x)=-x³+6x²-9x+2$.
    Rozwiązanie
    Funkcja $f(x)=-x³+6x²-9x+2$ jest wielomianem, jest więc określona dla każdego $x∈R$.
    Obliczamy pierwszą i drugą pochodną funkcji $f$:

$f^{\prime }(x)=-3x^{2}+12x-9,\text{ }x\in \mathbb{R}$
$f^{\prime \prime }(x)=-6x+12$, $x\in \mathbb{R}$

i przyrównujemy drugą pochodną do zera:

$f^{\prime \prime }(x)=0\iff -6x+12=0\iff x=2$.

    Stąd wynika, że funkcja $f$ może mieć tylko jeden punkt przegięcia. Dalej o istnieniu punktu przegięcia rozstrzygamy stosując jedną z dwóch metod podanych poniżej.
    1 sposób (wykorzystamy I warunek wystarczający istnienia punktów przegięcia)
    Badamy, gdzie druga pochodna funkcji przyjmuje wartości dodatnie a gdzie ujemne:

$f^{\prime \prime }(x)>0\text{ }\Leftrightarrow -6x+12>0\text{ }\iff x$

oraz

    $f′′(x)$.

 Stąd wynika, że $f′′(x)>0$ dla $x∈ (-∞,2)$ (a zatem także dla pewnego lewostronnego sąsiedztwa 2) oraz $f′′(x)$ dla $x∈ (2,∞)$ (przedział ten można potraktować jako prawostronne sąsiedztwo 2). Zatem punkt $P=(2,0)$ jest punktem przegięcia funkcji $f$.
    Metodę tę stosujemy najczęściej wtedy, gdy jednocześnie mamy wyznaczyć przedziały wklęsłości i wypukłości funkcji $f$.

2 sposób (wykorzystamy II warunek wystarczający istnienia punktów przegięcia)
    Obliczamy trzecią pochodną funkcji $f$:

    $f′′′(x)=-6,  x∈R$.

Dla $x=2$ mamy:

    $f′′(2)  = 0$,
    $f′′′(2)  = -6≠0$.

Zatem punkt $P=(2,0)$ jest punktem przegięcia funkcji $f$.

Przykład 4
Wyznaczymy przedziały wypukłości i wklęsłości oraz punkty przegięcia funkcji $f(x)=xe^{x}$.

Rozwiązanie:

Funkcja $f(x)=xe^{x}$ jest określona dla każdego $x∈R$.
Obliczamy pierwszą i drugą pochodną funkcji $f$:

    $f′(x)  = e^{x}(1+x), x∈R$
     $f′′(x)  = e^{x}(2+x), x∈R$

i przyrównujemy drugą pochodną do zera:

    $f′′(x)=0⇔e^{x}(2+x)=0⇔(e^{x}=0∨2+x=0)$.

    Ponieważ $e^{x} >0$ dla każdego $x∈R$, więc$f′′(x)=0$ dla $x=-2$. Oczywiście $x=-2$ należy do dziedziny funkcji.
    Dalej badamy, gdzie druga pochodna funkcji przyjmuje wartości dodatnie a gdzie ujemne:

   $f′′(x)>0 ⇔e^{x}(2+x)>0 ⇔x>-2$

oraz

   $f′′(x)$.

  $f′′(x)>0$ dla $x∈ (-2,∞)$, więc funkcja jest wypukła na przedziale $(-2,∞)$,

$f′′(x)$ dla $x∈ (-∞,-2)$,  więc funkcja jest wklęsła na przedziale $(-∞,-2)$. Zatem punkt $P=(-2,-2e⁻²)$ jest punktem przegięcia funkcji $f$.
    Uzyskane wyniki i odpowiedź (uwzględniając również przedziały wypukłości i wklęsłości badanej funkcji) najczęściej zapisujemy w postaci tabeli.

Tabela

Przykład 5
  Wyznaczymy przedziały wypukłości i wklęsłości oraz punkty przegięcia funkcji $f(x)=arctgx-x$.
Rozwiązanie

Zauważmy, że funkcja $f(x)=arctgx-x$ jest określona dla każdego $x∈R$.
Obliczamy pierwszą i drugą pochodną funkcji $f$:

$f^{\prime }(x) =\frac{1}{1+x^{2}}-1, x\in \mathbb{R}$
${ }f^{\prime \prime }(x) =\frac{-2x}{\left( 1+x^{2}\right) ^{2}}\text{},\text{ }x\in \mathbb{R}$

i przyrównujemy drugą pochodną do zera:

$f^{\prime \prime }(x)=0\iff \frac{-2x}{\left( 1+x^{2}\right) ^{2}}=0\Longleftrightarrow -2x=0\iff x=0$.

Stąd wynika, że funkcja $f$ może mieć tylko jeden punkt przegięcia. Dalej badamy, gdzie druga pochodna funkcji przyjmuje wartości dodatnie a gdzie ujemne:

$f^{\prime \prime }(x)>0\text{ }\Leftrightarrow \frac{-2x}{\left(1+x^{2}\right) ^{2}}>0\text{ }\iff -2x>0\Longleftrightarrow x$

oraz

$f^{\prime \prime }(x)$.

Wyniki umieszczamy w tabeli:

Tabela

 Funkcja jest wypukła na przedziale $(-∞,0)$, wklęsła na przedziale $(0,+∞)$, a punkt $P=(0,0)$ jest punktem przegięcia.