Pochodna funkcji jednej zmiennej

Mówimy, że funkcja $f$ ma w punkcie $x_0$ maksimum lokalne, jeżeli istnieje zawarte w dziedzinie funkcji $f$ otoczenie $U_{x_0}$ punktu $x_0$ takie, że dla wszystkich $x\in U_{x_0}$

$\ \qquad f(x)\leq f(x_0).$

Mówimy, że funkcja $f$ ma w punkcie $x_0$ minimum lokalne, jeżeli istnieje zawarte w dziedzinie funkcji $f$ otoczenie $U_{x_0}$ punktu $x_0$ takie, że dla wszystkich $x\in U_{x_0}$

$\ \qquad f(x)\geq f(x_0).$

Jeżeli dla każdego $x\in S_{x_0}$ zachodzi nierówność $f(x)< f(x_0)$ $(f(x)> f(x_0))$, to mówimy o maksimum (minimum) lokalnym właściwym.

Jeżeli funkcja $f$ jest różniczkowalna w punkcie $x_0$ i ma w tym punkcie ekstremum lokalne, to $f'(x_0)=0.$

Jeżeli funkcja $f$ jest różniczkowalna w $x_0$ i $f'(x_0)\neq 0$, to funkcja $f$ nie ma ekstremum lokalnego w punkcie $x_0$.

Funkcja może mieć ekstremum lokalne jedynie w punkcie $x_0$, takim że $f'(x_0)=0$ (gdy jest różniczkowalna w $x_0$) lub w punkcie $x_0$, w którym funkcja $f$ nie ma pochodnej.

Punkty, w których pochodna funkcji zeruje się nazywamy punktami stacjonarnymi tej funkcji.

Jeżeli funkcja $f$ jest ciągła na pewnym otoczeniu $U_{x_0}$ i różniczkowalna na sąsiedztwie $S_{x_0}$ punktu $x_0$ oraz

1. $f'(x)>0$ dla $x\in S^-_{x_0}$ oraz $f'(x)$ dla $x\in S^+_{x_0}$

lub

2. $f'(x)$ dla $x\in S^-_{x_0}$ oraz $f'(x)>0$ dla $x\in S^+_{x_0}$,

to funkcja $f$ ma w punkcie $x_0$ ekstremum lokalne właściwe. Jest to maksimum lokalne w przypadku 1, minimum lokalne gdy zachodzi warunek 2.

Jeżeli funkcja $f$ jest dwukrotnie różniczkowalna na pewnym otoczeniu punktu $x_0$ oraz

1. $f'(x_0)=0$,

2. $f''(x_0)\neq 0$,

to funkcja $f$ ma w punkcie $x_0$ ekstremum lokalne właściwe, przy czym jest to maksimum lokalne, jeżeli $f''(x_0)$, minimum lokalne, gdy $f''(x_0)>0$.