Rachunek różniczkowy funkcji jednej zmiennej

Przykład 1

Wyznaczymy równanie stycznej do wykresu funkcji $f(x)=\arcsin x$ w punkcie $x_{0}=\frac{1}{2}$.

Rozwiązanie

Równanie stycznej do wykresu funkcji wyznaczymy korzystając ze wzoru:

$y-f(x_{0})=f^{\prime }(x_{0})(x-x_{0})$.

Pochodna funkcji $f(x)=\arcsin x$ jest równa $f^{\prime }(x)=\frac{1}{ \sqrt{1-x^{2}}}$, $x\in (-1,1)$.

Obliczamy teraz wartości: funkcji i pochodnej funkcji w punkcie $x_{0}=\frac{1}{2}.$ Mamy $f\left( \frac{1}{2} \right) =\arcsin \left( \frac{1}{2}\right) =\frac{\pi }{6}$, $f^{\prime }(\frac{1}{2})=\frac{1}{\sqrt{1-(\frac{1}{2})^{2}}}=\frac{1}{\sqrt{1-\frac{1 }{4}}}=\frac{1}{\sqrt{\frac{3}{4}}}=\frac{\sqrt{4}}{\sqrt{3}}=\frac{2}{\sqrt{ 3}}=\frac{2\sqrt{3}}{3}$.

Podstawiamy obliczone wartości do równania stycznej i otrzymujemy:

$y-f\left( \frac{1}{2}\right) =f^{\prime }\left( \frac{1}{2}\right) \left( x- \frac{1}{2}\right)$,

$y-\frac{\pi }{6}=\frac{2\sqrt{3}}{3}\left( x-\frac{1}{2}\right)$,

$y=\frac{2\sqrt{3}}{3}\left( x-\frac{1}{2}\right) +\frac{\pi }{6}$.

Zatem styczna ma równanie

$y=\frac{2\sqrt{3}}{3}x-\frac{2\sqrt{3}-\pi }{6}$.

Przykład 2

Wyznaczymy równanie stycznej do wykresu funkcji $f(x)=e^{x}$ w punkcie $x_{0}=1$.

Rozwiązanie

Równanie stycznej do wykresu funkcji wyznaczymy korzystając ze wzoru:

$y-f(x_{0})=f^{\prime }(x_{0})(x-x_{0})$.

Pochodna funkcji $f(x)=e^{x}$ jest równa $f^{\prime }(x)=e^{x}$, $x\in \mathbb{R}$.

Obliczamy teraz wartości: funkcji i pochodnej funkcji w punkcie $x_{0}=1$. Otrzymujemy $f(1)=e^{1}=e$, $f^{\prime }(1)=e^{1}=e$.

Podstawiamy obliczone wartości do równania stycznej. Otrzymujemy:

$y-f(1)=f^{\prime }(1)(x-1)$,

$y-e=e(x-1)$,

$y=e(x-1)+e$.

Zatem styczna ma równanie

$y=ex$.