7. Pochodna w zastosowaniach praktycznych - przykłady

1

Od podwojonej pewnej liczby ujemnej odjęto kwadrat jej odwrotności. Jaka powinna być ta liczba, aby wartość tak otrzymanego wyrażenia była największa?

Oznaczmy przez

x

Niech

x

gdzie

f(x)=x^2-3

będzie poruszała się wzdłuż prostej padania i po odbiciu wróci wzdłuż prostej odbicia.

Prosta s jest styczną do paraboli w punkcie, w którym uderzy bila, prosta n jest prostopadła do stycznej, kąty padania i odbicia pokazane są na rysunku.

Zakładamy, że bilę umieścimy na stole bilardowym w punkcie (0,-2.5).

Wówczas należy uderzyć bilę w kierunku prostej o równaniu y=\frac{1}{2}x-2\frac{1}{2} w kierunku lewej bandy (w przypadku uderzania w prawą bandę, prosta miałaby równanie y=-\frac{1}{2}x-2\frac{1}{2}).

Bila odbije się od bandy w punkcie \left(-\frac{1}{2},-\frac{11}{4}\right).

Styczna do bandy w tym punkcie ma równanie y=-x-\frac{13}{4}, zaś prosta odbicia y=2x-1.75.

Bila, po odbicu, potoczy się do wskazanego otworu.

7

Koszt całkowity produkcji zależny od wielkości produkcji określa funkcja: K\left(x\right)=\frac{1}{2}x^2+10x+450.

(a) Wyznaczymy koszt krańcowy dla pewnych wielkości produkcji.

(b) Sprawdzimy, kiedy producent zrealizuje maksymalny zysk (optimum ekonomiczne) przy określonej cenie sprzedaży jednostki produktu.

(c) Ustalimy wielkość produkcji zapewniającą minimalny koszt jednostkowy (optimum techniczne).

(a) Koszt krańcowy produkcji jest równy pochodnej funkcji K:

K'\left(x\right)=x+10.

Dla wielkości produkcji x=40, K'\left(40\right)=50, zaś dla x=50, K'\left(50\right)=60. Oznacza to, że wytworzenie dodatkowej jednostki produktu przy wielkości produkcji 40 jednostek wynosi 50 jednostek pieniężnych, a przy wielkości produkcji 50 jednostek wynosi więcej, bo 60 jednostek pieniężnych.

(b) Zakładamy, że cała produkcja może zostać sprzedana. Załóżmy teraz , że cena sprzedaży jednostki produktu wynosi 70 j.p. Niech funkcja P oznacza przychód ze sprzedaży, Z - zysk producenta. Wtedy: Z\left(x\right)=P\left(x\right)-K\left(x\right)=70x-\left(\frac{1}{2}x^2+10x+450\right)=-\frac{1}{2}x^2+60x-450. Z'\left(x\right)=-x+60, Z'\left(x\right)=0\Leftrightarrow x=60. Ponadto Z''\left(x\right)=-2. Oznacza to, że przy wielkości produkcji x=60 jednostek producent osiągnie maksymalny zysk w wysokości Z\left(60\right)=-\frac{1}{2}3600+3600-450=1350, czyli 1350 j.p. (c) Niech funkcja k oznacza koszt jednostkowy.  k\left(x\right)=\frac{K\left(x\right)}{x}=\frac{1}{2}x+10+\frac{450}{x}. k'\left(x\right)=\frac{1}{2}-\frac{450}{x^2}. Stąd k'\left(x\right)=0\Leftrightarrow \frac{1}{2}-\frac{450}{x^2}=0\Leftrightarrow x=30. Ponadto k''\left(x\right)=\frac{900}{x^3} i k''\left(30\right)=\frac{1}{30}>0. Tym samym przy produkcji x=30 j.p. koszt jednostkowy jest minimalny i wynosi K\left(30\right)=40 j.p.