3.2 Ekstrema lokalne funkcji (*)

Teoria

Definicja. Załóżmy, że funkcja f jest określona na pewnym otoczeniu U_{x_0} punktu x_0. Mówimy, że f ma w punkcie x_0 maksimum  lokalne, jeżeli istnieje otoczenie U_{x_0}, punktu x_0, takie, że dla wszystkich x\in U_{x_0}

\ \qquad f(x)\leq f(x_0). 

Definicja. Załóżmy, że funkcja f jest określona na pewnym otoczeniu U_{x_0} punktu x_0. Mówimy, że f ma w punkcie x_0 minimum lokalne, jeżeli istnieje otoczenie U_{x_0}, punktu x_0, takie, że dla wszystkich x\in U_{x_0}

\ \qquad f(x)\geq f(x_0).

Uwaga. Jeżeli dla każdego x\in U_{x_0}\setminus \{ x_0 \} zachodzi nierówność f(x)< f(x_0)   (f(x)> f(x_0)), to mówimy o maksimum (minimum) lokalnym właściwym.

Twierdzenie - warunek konieczny istnienia ekstremum lokalnego dla funkcji różniczkowalnej.  Jeżeli funkcja f jest różniczkowalna w punkcie x_0 i ma w tym punkcie ekstremum lokalne, to f'(x_0)=0.

Uwaga. Jeżeli f'(x_0)\neq 0, to funkcja f nie ma ekstremum w punkcie x_0. 

Uwaga. Funkcja może mieć ekstremum lokalne jedynie w punkcie x_0, takim że f'(x_0)=0 (gdy jest różniczkowalna w x_0) lub w punkcie x_0, w którym funkcja f nie ma pochodnej.

Definicja. Punkty, w których pochodna funkcji się zeruje nazywamy punktami stacjonarnymi tej funkcji.

Twierdzenie - warunek wystarczający istnienia ekstremum lokalnego. Jeżeli funkcja f jest ciągła na pewnym otoczeniu U_{x_0} i różniczkowalna na sąsiedztwie S_{x_0} punktu x_0 oraz

1. f'(x)>0 dla x\in S^-_{x_0} oraz f'(x) dla x\in S^+_{x_0}

lub

2. f'(x) dla x\in S^-_{x_0} oraz f'(x)>0 dla x\in S^+_{x_0},

to funkcja f ma w punkcie x_0 ekstremum lokalne właściwe. Jest to maksimum lokalne w przypadku (1), minimum lokalne gdy zachodzi warunek (2).

Twierdzenie - drugi warunek wystarczający istnienia ekstremum lokalnego. Jeżeli funkcja f jest dwukrotnie różniczkowalna na pewnym otoczeniu punktu x_0 oraz

  1. f'(x_0)=0,
  2. f''(x_0)\neq 0,

to funkcja f ma w punkcie x_0 ekstremum lokalne właściwe, przy czym jest to maksimum lokalne,

jeżeli f''(x_0), minimum lokalne, gdy f''(x_0)>0.