Rachunek różniczkowy funkcji jednej zmiennej

Przykład 1 

Korzystając z definicji obliczymy pochodną funkcji $f(x)=1-x^{2}$ w punkcie $x_{0}=3.$

Rozw.

$f^{^{\prime }}(3)=\lim\limits_{x\rightarrow 3}\frac{f(x)-f(3)}{x-3} =\lim\limits_{x\rightarrow 3}\frac{(1-x^{2})-(1-3^{2})}{x-3} =\lim\limits_{x\rightarrow 3}\frac{1-x^{2}-1+9}{x-3}=$

$=\lim\limits_{x\rightarrow 3}\frac{-x^{2}+9}{x-3}=\lim\limits_{x\rightarrow 3}\frac{9-x^{2}}{x-3}=\lim\limits_{x\rightarrow 3}\frac{(3-x)(3+x)}{x-3}=$

$=\lim\limits_{x\rightarrow 3}\frac{-(x-3)(3+x)}{x-3}=\lim\limits_{x \rightarrow 3}\frac{-(3+x)}{1}=\lim\limits_{x\rightarrow 3}(-3-x)=-6.$

Przykład 2 

Obliczymy teraz pochodne jednostronne funkcji  $f(x)=|x-a|$ w punkcie $x_{0}=a$, gdzie $a\in R$.

Rozw.

Iloraz różnicowy ma postać:

$I(x)=\frac{f(x)-f(a)}{x-a}=\frac{|x-a|-|a-a|}{x-a}=\frac{|x-a|-0}{x-a}=\frac{ |x-a|}{x-a}.$

Korzystając z definicji modułu mamy

$|x-a|=$

Obliczamy teraz

$f_{+}^{^{\prime }}(a)=\lim\limits_{x\rightarrow a^{+}}\frac{|x-a|}{x-a} =\lim\limits_{x\rightarrow a^{+}}\frac{x-a}{x-a}=\lim\limits_{x\rightarrow a^{+}}(1)=1$

$f_{-}^{^{\prime }}(a)=\lim\limits_{x\rightarrow a^{-}}\frac{|x-a|}{x-a} =\lim\limits_{x\rightarrow a^{-}}\frac{-(x-a)}{x-a}=\lim\limits_{x \rightarrow a^{-}}(-1)=-1.$

Czyli

$f_{+}^{^{\prime }}(a)\not=f_{-}^{^{\prime }}(a)$

zatem nie istnieje pochodna funkcji   w punkcie  $x_ 0=a.$

Przykład 3 

Obliczymy pochodną funkcji $f(x)=\sqrt{x}$ w dowolnym punkcie $x_{0}>0.$

Rozw.

$f^{^{\prime }}(x_{0})=\lim\limits_{x\rightarrow x_{0}}\frac{f(x)-f(x_{0})}{ x-x_{0}}=\lim\limits_{x\rightarrow x_{0}}\frac{\sqrt{x}-\sqrt{x_{0}}}{x-x_{0} }=$

$=\lim\limits_{x\rightarrow x_{0}}\frac{\sqrt{x}-\sqrt{x_{0}}}{(\sqrt{x}- \sqrt{x_{0}})(\sqrt{x}+\sqrt{x_{0}})}=\lim\limits_{x\rightarrow x_{0}}\frac{1 }{\sqrt{x}+\sqrt{x_{0}}}=\frac{1}{\sqrt{x_{0}}+\sqrt{x_{0}}}..$

Czyli

$f^{^{\prime }}(x_{0})=\frac{1}{2\sqrt{x_{0}}}\text{.}$