Rachunek różniczkowy funkcji jednej zmiennej

Definicja 1 Załóżmy, że funkcja $f$ jest określona na pewnym otoczeniu $U_{x_{0}}$ punktu $x_{0}$. Niech $\triangle x$ będzie różnym od zera przyrostem zmiennej $x$ takim,  że $x_{0}+\triangle x$ należy do tego otoczenia. Niech $\triangle f=f(x_{0}+\triangle x)-f(x_{0})$ będzie przyrostem wartości funkcji odpowiadającym przyrostowi $\triangle x.$ Ilorazem różnicowym funkcji $f$ w punkcie $x_{0}$ dla przyrostu  $\triangle x$  nazywamy wyrażenie

$\frac{\triangle f}{\triangle x}=\frac{f(x_{0}+\triangle x)-f(x_{0})}{\triangle x}.$

Jeżeli istnieje i jest skończona granica

$\lim\limits_{\triangle x\rightarrow 0}\frac{\triangle f}{\triangle x},$

to nazywamy ją pochodną funkcji $f$ w punkcie $x_{0}$ i oznaczamy $f^{\prime }(x_{0})$ lub $\frac{df}{dx}(x_{0})$.

Zatem

$f^{\prime }(x_{0})=\lim\limits_{\triangle x\rightarrow 0}\frac{ f(x_{0}+\triangle x)-f(x_{0})}{\triangle x}$

(o ile granica ta istnieje i jest skończona).

Uwaga 1  Iloraz różnicowy może być także zapisany w postaci

$\frac{\triangle f}{\triangle x}=\frac{f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0}},\text{ }x\in U_{x_{0}}.$

Wówczas pochodna funkcji $f$ w punkcie $x_{0}$ ma postać

$f^{\prime }(x_{0})=\lim\limits_{\triangle x\rightarrow 0}\frac{ f(x_{0}+\triangle x)-f(x_{0})}{\triangle x}.$

Definicja 2 Załóżmy, że funkcja $f$ jest określona na pewnym prawostronnym otoczeniu $x_{0}$. Niech $\triangle x$ będzie różnym od zera przyrostem zmiennej $x$ takim, że $x_{0}+\triangle x$ należy do tego otoczenia. Niech $\triangle f=f(x_{0}+\triangle x)-f(x_{0})$ będzie przyrostem funkcji odpowiadającym przyrostowi $\triangle x.$ Jeżeli istnieje i jest skończona granica

$\lim\limits_{\triangle x\rightarrow 0^{+}}\frac{f(x_{0}+\triangle x)-f(x_{0})}{\triangle x}$

to nazywamy ją pochodną prawostronną funkcji $f$ w punkcie $x_{0}$ i oznaczamy $f_{+}^{^{\prime }}(x_{0})$ lub $\frac{df}{dx} (x_{0}^{+})$. Zatem

$f_{+}^{^{\prime }}(x_{0})=\lim\limits_{\triangle x\rightarrow 0^{+}}\frac{ f(x_{0}+\triangle x)-f(x_{0})}{\triangle x}.$

Uwaga 2   Pochodna prawostronna funkcji $f$ w punkcie $x_{0}$ może być także zapisana w postaci

$f_{+}^{^{\prime }}(x_{0})=\lim\limits_{x\rightarrow x_{0}^{+}}\frac{ f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0}},\text{ }x\in U^{+}_{x_{0}}.$

Definicja 3  Załóżmy, że funkcja $f$ jest określona na pewnym lewostronnym otoczeniu $x_{0}$. Niech $\triangle x$ będzie różnym od zera przyrostem zmiennej $x$ takim, że $x_{0}+\triangle x$ należy do tego otoczenia. Niech $\triangle f=f(x_{0}+\triangle x)-f(x_{0})$ będzie przyrostem funkcji odpowiadającym przyrostowi $\triangle x.$ Jeżeli istnieje i jest skończona granica

$\lim\limits_{\triangle x\rightarrow 0^{-}}\frac{f(x_{0}+\triangle x)-f(x_{0})}{\triangle x}$

to nazywamy ją pochodną lewostronną funkcji $f$ w punkcie $x_{0}$ i oznaczamy $f_{-}^{^{\prime }}(x_{0})$ lub $\frac{df}{dx}(x_{0}^{-})$. Zatem

$f_{-}^{^{\prime }}(x_{0})=\lim\limits_{\triangle x\rightarrow 0^{-}}\frac{ f(x_{0}+\triangle x)-f(x_{0})}{\triangle x}$

Uwaga 3   Pochodna lewostronna funkcji $f$ w punkcie $x_{0}$ może być także zapisana w postaci

$f_{-}^{^{\prime }}(x_{0})=\lim\limits_{x\rightarrow x_{0}^{-}}\frac{ f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0}},\text{ }x\in U^{-}_{x_{0}}.$

Twierdzenie 1 Warunek konieczny i wystarczający istnienia pochodnej w punkcie Funkcja $f$ ma pochodną w punkcie $x_{0}$ wtedy i tylko wtedy, gdy istnieją i są sobie równe pochodne jednostronne funkcji $f$ w punkcie $x_{0}$. Wówczas

$f^{^{\prime }}(x_{0})=f_{+}^{^{\prime }}(x_{0})=f_{-}^{^{\prime }}(x_{0}).$

Definicja 4 Załóżmy, że funkcja $f$ jest określona i ciągła na pewnym otoczeniu punktu $x_{0}$. Mówimy, że funkcja $f$ ma pochodną niewłaściwą w punkcie $x_{0}$, gdy

$\lim\limits_{\triangle x\rightarrow 0}\frac{f(x_{0}+\triangle x)-f(x_{0})}{ \triangle x}=-\infty \text{ lub }\lim\limits_{\triangle x\rightarrow 0}\frac{f(x_{0}+\triangle x)-f(x_{0})}{\triangle x}=+\infty \text{.}$

Wówczas piszemy

  $f^{^{\prime }}(x_{0})=-\infty \text{ lub }f^{^{\prime }}(x_{0})=+\infty \text{.}$

Definicja 5 Załóżmy, że funkcja $f$ jest określona i ciągła na pewnym prawostronnym otoczeniu punktu $x_{0}$. Mówimy, że funkcja $f$ ma pochodną niewłaściwą prawostronną w punkcie $x_{0}$, gdy

$\lim\limits_{\triangle x\rightarrow 0^{+}}\frac{f(x_{0}+\triangle x)-f(x_{0}) }{\triangle x}=-\infty \text{ lub }\lim\limits_{\triangle x\rightarrow 0^{+}} \frac{f(x_{0}+\triangle x)-f(x_{0})}{\triangle x}=+\infty \text{.}$

Wówczas piszemy

$f_{+}^{^{\prime }}(x_{0})=-\infty \text{ lub }f_{+}^{^{\prime }}(x_{0})=+\infty \text{.}$

Definicja 6 Załóżmy, że funkcja $f$ jest określona i ciągła na pewnym lewostronnym otoczeniu punktu $x_{0}$. Mówimy, że funkcja $f$ ma pochodną niewłaściwą prawostronną w punkcie $x_{0}$, gdy

$\lim\limits_{\triangle x\rightarrow 0^{-}}\frac{f(x_{0}+\triangle x)-f(x_{0}) }{\triangle x}=-\infty \text{ lub }\lim\limits_{\triangle x\rightarrow 0^{-}}\frac{f(x_{0}+\triangle x)-f(x_{0})}{\triangle x}=+\infty \text{.}$

Wówczas piszemy

$f_{-}^{^{\prime }}(x_{0})=-\infty \text{ lub }f_{-}^{^{\prime }}(x_{0})=+\infty \text{.}$

Definicja 7  Załóżmy, że funkcja f jest określona, ciągła i ma pochodną w każdym punkcie x zbioru A. Funkcję

$f^{^{\prime }}:x\rightarrow f^{^{\prime }}(x),x\in \text{A}$

nazywamy funkcją pochodną lub pochodną funkcji $f$ na zbiorze A.

Definicja 8 Funkcję jednej zmiennej, która ma pochodną w punkcie $x_{0}$ nazywamy funkcją różniczkowalną w tym punkcie.

Twierdzenie 2 Jeżeli funkcja $f$ jest różniczkowalna w punkcie $x_{0}$, to jest ciągła w tym punkcie.

Uwaga 4 Implikacja odwrotna nie zachodzi, tzn. nie jest prawdą, że jeżeli funkcja jest ciągła w punkcie $x_{0}$, to jest różniczkowalna w tym punkcie. Przykładem funkcji, która jest ciągła i nieróżniczkowalna w $x_{0}=0$ jest $f(x)=|x|$.